2023年江苏省南京市玄武区中考数学三模试卷(含解析 )

2023年江苏省南京市玄武区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列无理数中，与最接近的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是一个几何体的三视图，这个几何体是(    )

 

A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥

5.  如图，将正六边形放入平面直角坐标系后，若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  已知一次函数为常数，，为常数，的图象如图所示，则函数的图象可能是(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：______．

8.  据统计，全国义务教育学校共有万名学生参加了课后服务，将万用科学记数法表示为______ ．

9.  已知关于的方程的根是和，则          ．

10.  计算： ______ ．

11.  分解因式的结果是______ ．

12.  一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为，则可列方程为：______ ．

13.  如图，的半径为，将沿弦折叠得到，且恰好经过圆心，则
新月形阴影部分的面积为           ．
 

14.  如图，在扇形中，点、在上，连接、交于点，若，的度数为，则 ______

15.  如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，且轴，轴，若点的横坐标为，则的值为______．

16.  如图，在四边形中，，，，，为四边形边上的任意一点，当时，的长为___________ ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  化简：

四、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组并在数轴上表示出解集．

19.  本小题分
某班有甲、乙两名同学报名参加米跑步比赛，他们在赛前进行了次训练将两人的次训练成绩分别绘制成如图统计图．

根据统计图把下列表格补充完整：

从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．

20.  本小题分
甲、乙两人在一座六层大楼的第层进入电梯，从第层到第层，甲、乙两人各随机选择一层离开电梯．
甲离开电梯的楼层恰好是第层的概率是______；
求甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率．

21.  本小题分
如图，已知，是两个全等的等腰三角形，底边、在同一直线上，且，，与交于点．
求证：∽；
求的周长．

22.  本小题分
如图，在四边形中，点，分别在边，上，连接，，已知≌．
若，求证：四边形是菱形；
以下条件：；；如果用其中的一个替换中的“”，也可以证明四边形是菱形，那么可以选择的条件是______填写满足要求的所有条件的序号．
 

23.  本小题分
如图，山顶的正上方有一塔，为了测量塔的高度，在距山脚一定距离的处测得塔尖顶部的仰角，测得塔底部的仰角，然后沿方向前进到达处，此时测得塔尖仰角三点在同一直线上，求塔的高度．
参考数据：，
 

24.  本小题分
某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降当机内温度降至时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机已知早餐机的机内初始温度为降温速度是加热速度的倍早餐机的机内温度与开机之后的时间之间的函数关系部分图象如图所示．
早餐机的加热速度为______ ；
求线段所表示的与之间的函数表达式；
将食物放入该早餐机自开机之后，要使机内温度不低于的累计时间不少于，至少需要______

25.  本小题分
已知二次函数为常数，且．
求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
不论为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．

26.  本小题分
如图，在中，是边上的点，过点作交边于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为．
连接，求证∽；
若，，，
当时，求的半径；
当点在边上运动时，半径的最小值为______ ．

 

27.  本小题分
如图，在中，，，，经过点的与的每条边都相交．与边的另一个公共点为，与边的另一个公共点为，与边的两个公共点分别为、设的半径为．
【操作感知】
根据题意，仅用圆规在图中作出一个满足条件的，并标明相关字母；
【初步探究】
求证：；
当时，则的最大值为______；
【深入研究】
直接写出满足题意的的取值范围；对于范围内每一个确定的的值，都有最大值，每一个最大值对应的圆心所形成的路径长为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：原式，
故选D  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记合并同类项法则，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则判断．
【解答】
解：、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
与最接近的是：．
故选：．
直接利用估算无理数的大小方法得出最接近的无理数．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的无理数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

5.【答案】 

【解析】解：由点、的坐标分别为、知、两点关于轴对称，
则、两点也关于轴对称，
，
，
故选：．
由、两点的纵坐标相等而横坐标互为相反数知、两点关于轴对称，所以、两点也关于轴对称，据此可得答案．
本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象知：，，
且，，
，
，
当，，当时，，
抛物线过，，且，
抛物线开口向下，
由图象知：，，

故选：．
由一次函数的图象与性质判断出，的符号，以及图象与轴交点坐标即可．
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，判断出二次函数图象与轴交点坐标是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则也考查了相反数．
根据绝对值的意义求解．
【解答】
解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是或负数．
故答案为：答案不唯一  

8.【答案】 

【解析】解：将万用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数的关系得，，则可分别求出、的值，然后计算它们的和即可．
【解答】
解：根据根与系数的关系得，，
解得，，
所以．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先化简二次根式，进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，原式

．
故答案为：．
依据题意，由因式分解的一般方法即可得解．
本题主要考查了因式分解的方法，解题时要熟练掌握并灵活运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：长减少，菜地就变成正方形，
设原菜地的长为米，则宽为米，
根据题意得：，
故答案为：．
根据“如果它的长减少，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，可以求得弓形的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积．
【解答】
解：作于点，交于点，连接，，
由折叠的性质可知，，
，，

，
，，
，
弓形的面积是：，
新月形阴影部分的面积为：，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：作所对的圆周角，连接、、，如图，
，
，
的度数为，
，
，
，
．
故答案为．
作所对的圆周角，连接、、，如图，利用圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的性质得，接着根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，则
，然后利用三角形外角性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，则，
轴，
点的纵坐标为，
设，
轴，
点的横坐标为，
，
，
，
整理得，解得，，
经检验，都为原方程的解，
．
故答案为．
先确定，则可设，再表示出，利用得到，然后解方程得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：如图，连接．

，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当与重合时，，此时，
作于，则四边形是矩形，
易知，此时，
当时，，此时，
综上所述，的长为或或．
故答案为或或．
如图，连接首先证明是等边三角形，分三种情形讨论即可解决问题．
本题考查等边三角形的判定、矩形的判定、度的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：


．
故答案为． 

【解析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：，；

两人训练成绩的平均数都是，说明两人成绩整体实力相当；
甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定．
或：甲跑进以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更加有可能创造出好成绩． 

【解析】

【分析】
此题考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了统计图．
根据方差计算公式求出甲的方差即可；根据扇形统计图可求乙跑进以内不包括的占比；
从平均数与方差，或从跑进以内不包括的占比与最好成绩两个不同角度评价即可．
【解答】
解：甲同学次训练的成绩为：，，，，，，，，，，平均数为，
所以方差为：，
乙跑进以内不包括的占比为：．
故答案为：，；
见答案．  

20.【答案】解：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数为，
所以甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
直接根据概率公式计算；
利用树状图展示所有种等可能的结果，再找出甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：甲离开电梯的楼层恰好是第层的概率为；
故答案为：；  

21.【答案】证明：，是两个全等的等腰三角形，且底边、在同一直线上，
，，
，
，，
．
又，
∽；

解：，是两个全等的等腰三角形，且底边、在同一直线上，
，
．
，
，，
过作于，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
的周长． 

【解析】根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出，，求出，根据相似三角形的判定得出即可；
求出求出，求出和，即可求出答案．
本题考查了三角形的中位线，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：≌，
，．
，
．
．
．
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
． 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
根据全等三角形的性质和菱形的判定解答即可；
根据菱形的判定解答即可．
【解答】
见答案；
解：≌，
，．
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
，
，．
连接，

，
，，
，
，
，
又，
，
四边形是菱形，
故答案为：．  

23.【答案】解：延长交于点，

设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，米，
在中，，
米，
米，
塔的高度约为米． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
 

24.【答案】   

【解析】解：早餐机的加热速度为：，
故答案为：；
设线段所表示的与之间的函数表达式为，
由降温温度是加热速度的倍，所以降温速度为，即，
图象经过，
，
解得，
；
由题意可知，机内温度由降至所需时间为：；
机内温度由升高到所需时间为，
机内温度由升高到所需时间为：，
，
需升高到时再降温次，
自开机之后，要使机内温度不低于的累计时间不少于，至少需要：．
故答案为：．
根据图象的数据列式计算即可；
利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
分别求出机内温度由降至所需时间，从升高到所需时间，再列式计算即可．
此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出早餐机的加热速度是解题关键．
 

25.【答案】证明：令，即，
，
方程总有实数根，
该函数的图像与轴总有公共点；

解：．
因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当时，，
当，即时，，
所以该函数图象始终过定点、． 

【解析】，即可求解；
由，所以当时，，当，即时，，即可求得定点坐标．
本题考查的是抛物线与轴的交点，一元二次方程的根的判别式，解决此题的关键是用方程知识来处理函数问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
在中，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
∽；
连接，如图：

，
，
，
中，，
，
，
，
中，，
，
∽，
，
，
，
，
中，，
，
，
在上，且，
是的直径，
；
如图：

设，同的道理，
，
，
，且∽，有，
，
，
中，，


，
当时，有最小值，最小值为，
的最小值为，半径最小值是，
故答案为：．
证明的两个余角和相等，的内接四边形的一个外角等于内对角，即可得证；
由，可得，结合和∽，可得，，中用勾股定理即可得答案；
设，同可得，即可得的最小值，从而得半径的最小值．
本题考查圆性质的综合运用，涉及相似三角形、三角函数、二次函数等知识，解题的关键是由∽得到，从而得到．
 

27.【答案】解：如图即为所求，


证明：如图中，连接．

，
为直径，即，
，

．

． 

【解析】

【分析】
根据要求画出图形即可如图所示．
如图中，连接利用勾股定理即可解决问题．
因为是定值，是的弦，的半径为定值 ，所以弦心距越小则弦越长，圆心在以为圆心为半径的圆上，当时，到距离最短，此时最大，由此即可解决问题．
首先确定的范围．圆心距离最近时的值最大，当半径比较小时，在上时的值最大，当圆心在 上，圆正好经过点时，设，在中，则有，解得，当时，若还在上，则点在圆内，圆不与边相交，推出此时圆心应该是在中垂线上，推出时，在上，时，在中垂线上，则的值最大，推出路径如下图折线 
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
【解答】
见答案；
见答案；
解：如图中，

是定值，是的弦，的半径为定值 ，
弦心距越小则弦越长，圆心在以为圆心为半径的圆上，
当时，到距离最短，此时最大，
，
，
，
，
，
，

的最大值．
故答案为．
如图中，

当 与相切时，的直径最小，最小值为，此时，
当圆心在上时，圆直径最大等于，
，
圆心距离最近时的值最大，
当半径比较小时，在上时的值最大，
当圆心在 上，圆正好经过点时，设，
在中，则有，解得，
，
当时，若还在上，则点在圆内，圆不与边相交，
此时圆心应该是在中垂线上，
时，在上，
时，在中垂线上，则的值最大，
路径如图折线 
，，
，
，，
，
，
点路径长．
故答案为．