2022年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷（含答案解析）

2022年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷

1. 计算的结果是

A. 1 B.  C. 5 D.

2. 计算的结果是

A. 1 B.  C.  D.

3. 下面四个几何体中，主视图是四边形的几何体共有
    

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 下列整数，在与之间的是

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

5. 已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

6. 如图，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形下列关于四边形EFGH的说法正确的是
   ①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；
   ②存在无数个四边形EFGH是菱形；
   ③存在无数个四边形EFGH是矩形；
   ④存在无数个四边形EFGH是正方形

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
8. 计算的结果是______.
9. 分解因式的结果是______.
10. 设，是方程的两个根，则的值是______.
11. 已知反比例函数的图象经过点，当时，______.
12. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径，扇形的圆心角，该圆锥的高为______
    
    
    
     

13. 如图，PA，PB是的切线，A，B是切点，，C是上的动点异于A，，连接CA，CB，则的度数为______
    
    
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且，，若，则点A的坐标是______.
    
     

15. 如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则______

16. 如图，在中，，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，若，，则DE的长为______.
    
    
     

17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
     
18. 先化简，再求值：，其中
19. 为了了解某初中校学生平均每天的睡眠时间单位：，需抽取部分学生进行调查．整理样本数据，得到下列统计图．
    
    根据以上信息，回答下列问题：
    下列抽取学生的方法最合适的是______.
    A.随机抽取该校一个班级的学生
    B.随机抽取该校一个年级的学生
    C.随机抽取该校一部分男生
    D.分别从该校初一，初二，初三年级中各随机抽取的学生
    补全条形统计图；
    扇形统计图中“平均每天的睡眠时间为5h的人数”所对应的扇形圆心角度数是______；
    该校共有400名学生，试估计该校学生平均每天的睡眠时间不低于8h的人数．
20. 甲、乙两人在一座六层大楼的第1层进入电梯，从第2层到第6层，甲、乙两人各随机选择一层离开电梯．
    甲离开电梯的楼层恰好是第3层的概率是______；
    求甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点
    求证；
    连接AC，DF，若AC平分，求证：四边形ACDF为矩形．
    
     

22. 已知一次函数为常数和
    若一次函数的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
    当时，，结合图象，直接写出m的取值范围．
23. 已知，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图保留作图痕迹，不写作法
    在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得；
    在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得
     

24. 如图，山顶的正上方有一塔AB，为了测量塔AB的高度，在距山脚M一定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角，测得塔底部B的仰角，然后沿CM方向前进30m到达D处，此时测得塔尖仰角三点在同一直线上，求塔AB的高度．
    参考数据：，

25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度即为3：以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点，
    求这段抛物线表示的二次函数表达式；
    在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
    落点P与坡顶C之间的距离为______

26. 如图，在中，，是的外接圆，CD是的切线，C为切点，且，连接AD，与交于点
    求证；
    若，，求的半径．

27. 生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
    【数学概念】
    点和点是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率用以下方式定义：
    【数学理解】
    点，是函数图象上不同的两点，求证：是一个定值，并求出这个定值．
    点，是函数图象上不同的两点，且当时，则点C的坐标为______.
    点，是函数图象上不同的两点，且，求的取值范围．
    【问题解决】
    实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离单位：是汽车速度单位：的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：

当时，y的值为______.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：原式

，
故选：
先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案．
本题考查了有理数的减法，绝对值，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】D

【解析】解：原式
，
故选：
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】B

【解析】解：仔细观察图象可知：圆锥的主视图为三角形，圆柱的主视图也为四边形，
球的主视图为圆，只有正方体的主视图为四边形；
故选
仔细观察图象，根据主视图的概念逐个分析即可得出答案．
本题主要考查三视图的主视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

4.【答案】C

【解析】解：，，，，
在与之间的是3，
故选：
根据在与之间判断即可．
本题主要考查估算无理数的大小，根据有理数的大小判断无理数的大小是解题的关键．
 

5.【答案】D

【解析】解：数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，
，
，
若，则，此时中位数为4，不符合题意，舍去；
若，则，此时中位数为4，不符合题意，舍去；
若，则，此时中位数为4，不符合题意，舍去；
若，则，此时中位数为3，符合题意；
故选：
先根据算术平均数的概念得出，再分别求出、8、9、10时的中位数，从而得出答案．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】C

【解析】解：①如图，
四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，

过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故①正确；
②如图，当时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故②正确；
③如图，当时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故③正确；
④当四边形EFGH是正方形时，，
则≌，
，，
，
，
四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④错误；
故选：
根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可知：，

故答案为：
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：原式


故答案为：
直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式

故答案为：
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由一元二次方程根与系数关系可知：，，
则
故答案为：
首先利用一元二次方程的根与系数的关系求出和，然后把变形即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

11.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，有，

故答案为：
把代入函数解析式求出k的值，然后将代入反比例函数解析式中求出x值即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：设圆锥的底面半径为r cm，
根据题意得 ，
解得，
所以该圆锥的高
故答案为：
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，求出r后利用勾股定理计算圆锥的高
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】59或121

【解析】解：连接OA，OB，
，PB是的两条切线，
，，
，，而，
，
当点P在劣弧AB上，则，
当点P在优弧AB上，则
故答案为：59或
根据切线的性质得到，，再根据四边形内角和得到，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求的度数．
本题切线的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
∽，
，
，，
，
，
解得，
作于点E，
是等边三角形，
，，
，
点A的坐标为，
故答案为：
根据三角形相似，可以求得BO的长，然后根据等边三角形的性质即可得到点A的坐标．
本题考查等边三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点A的坐标．
 

15.【答案】36

【解析】解：如图，过M作，
五边形AEFGH是正五边形，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故答案为：
过M作，由正五边形的性质得，再由菱形的性质得，则，然后由平行线的性质得，，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、正五边形的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和正五边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接DC，
是BC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
由勾股定理得：，
故答案为：
连接DC，根据线段垂直平分线的性质得到，证明∽，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，证明∽是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：




，
当时，
原式


 

【解析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】D 36

【解析】解：为了保证样本的随机性，最合适的方法是D，
故答案为：D；
人，
睡眠时间为7h的有：人，
补图如下：

，
故答案为：36；
人；
答：该校学生平均每天的睡眠时间不低于8h的人数约为130人．
根据样本的随机性可得答案；
根据“6h”的人数和所占百分比可得总人数，用总人数减去其他各组人数可得“7h”的人数；
用“5h”所占的比例即可；
由学校总人数该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果．
本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．
 

20.【答案】

【解析】解：甲离开电梯的楼层恰好是第3层的概率为；
故答案为：；
画树状图为：

共有25种等可能的结果，其中甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数为8，
所以甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的概率
直接根据概率公式计算；
利用树状图展示所有25种等可能的结果，再找出甲、乙两人离开电梯的楼层恰好相邻的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
 

21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是AD中点，
，
，，，
≌，
；
如图，

，，
四边形ACDF是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，即，
四边形ACDF为矩形．

【解析】由题意可得，，，则可证≌，则可得结论；
由，可得四边形ACDF是平行四边形，再根据对角线相等可得结论．
本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
 

22.【答案】解：中，，且一次函数的图象与x轴的交点在y轴右侧，
，
；
，
，
，
当时，，
，
，

【解析】根据一次函数的性质即可得出，求得；
由，得到，解得，根据题意结合图象即可得出，解得
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图①中，即为所求；
如图②中，即为所求．
 

【解析】作点A关于BC的对称点M，连接BM，CM即可；
在的基础上，作的外接圆，连接BN，CN即可．
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】解：延长AB交CM于点E，

设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，米，
在中，，
米，
米，
塔AB的高度约为18米．

【解析】延长AB交CM于点E，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出AE，CE的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】50

【解析】解：为70m，
，
设二次函数表达式为，
把代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
如图，作轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度即为3：4，
，即，
设线段BC的关系式为，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为，
设，则，
则，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是米；
如图，

由题意得，
解得，舍去，即，
米，米，
米，
米，
答：落点P与坡顶C之间的距离为50米，
故答案为：
设二次函数表达式为，把代入可得关系式；
作轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案；
计算抛物线和线段BC的交点P的坐标，再利用勾股定理可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
 

26.【答案】证明：，
，
是的切线，C为切点，
，
，
，，
≌，
；
连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，

≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
或舍去，
，
，
，，
是BC的垂直平分线，
，，
，
设的半径为r，
在中，，
，
，
的半径为

【解析】根据等腰三角形的性质可得，再利用弦切角定理可得，从而可得，然后证明≌，利用全等三角形的性质即可解答；
连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，利用的结论可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质可求出DE的长，再利用线段垂直平分线的逆定理可得AF是BC的垂直平分线，从而在中，利用勾股定理求出AF的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，弦切角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】

【解析】证明：点，是函数图象上不同的两点，
，，
，
是一个定值，这个定值为；
解：点，是函数图象上不同的两点，
，，
，
，
又，
联立方程组，
解得，
，
，
故答案为：；
解：点，是函数图象上不同的两点，
，，
，
，
，
，
；
解：由表中数据知，当时，，当时，，
根据题意得：，
解得：
故答案为：
根据题目中的计算方法代入计算即可得出结果；
根据题意得出，与题中已知条件联立求解即可得；
先根据题意得出，利用不等式的性质即可得出结果；
利用题中结论将数据代入求解即可．
本题主要考查一次函数、二次函数及反比例函数综合应用，理解题意是解题关键．