2024年江苏省南京市玄武外国语学校中考数学三模试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，求一个数的算术平方根，根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断．
【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个，
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，完全平方公式，幂的乘方和同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
3. 据省统计局发布，2023年我省有效发明专利数比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我省有效发明专利分别为万件和万件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了增长率问题，弄清题意、找到各量之间的数量关系是解题的关键．
根据题意可知2023年我省有效发明专利数为万件，2024年我省有效发明专利数为，再结合题意即可解答．
【详解】解：由题意得：2023年我省有效发明专利数为万件，
2024年我省有效发明专利数为万件，即万件．
故选：B．
4. 2024年“五一”假日期间，某省银联网络交易总金额接近192亿元，其中192亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：根据题意192亿用科学记数法表示为．
故选：B．
5. 为激发青少年对科学的兴趣，某校组织了中学生应急科普教育活动，九（1）班的小安和另外2名学生以及九（2）班的小徽、小美共5名学生成绩名列前茅．若学校决定从九（1）班的这3名学生中抽取1人，从九（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参观防灾减灾科普馆，则抽到的恰好是小安和小徽的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率为所求情况数与总情况数之比，熟练掌握知识点以及概率计算公式是解题的关键．
根据题意列出表格，由表格找出所有的等可能结果数以及抽到小安和小徽的结果，再根据概率计算公式计算即可．
【详解】解：由题意可列表为
所有的等可能结果有6种，其中抽到小安和小徽只有1种情况，
∴抽到小安和小徽的概率为：，
故选：C．
6. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质等多个知识点．设点E的坐标为，点F的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∴点B的坐标为，
设点E的坐标为，点F的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点E坐标为，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
解得，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题即可．
【详解】由题意可得，
解得，
故答案为：．
9. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
10. 关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解是解题的关键．根据不等式组有且只有两个整数解列出关于m的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵不等式组有且只有两个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，，动点D从点B出发以的速度沿向点C匀速运动，过点D作，交边于点E，当点E落在边上的中点处时，点D移动的时间为____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，先证是的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，即可求出的度数，再根据锐角三角函数的定义即可求出的长，于是有的长，根据的长即可求解．本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

，点为的中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
是的外角，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即，
点移动的时间，
故答案为：
12. 如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，
得出，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点，
∵是的切线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∵，
∵，，，
即，
∴四边形是矩形，
∴，，
则，
∵是的切线，是的切线，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键．
13. 如图，在边长为 2的等边三角形中，D 是 的中点，点 E 在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为________.

【答案】
【解析】
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明. 从而可以得出作点关于的对称点， 连接， 则依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可.
【详解】如图，连接，

∵都是等边三角形，
∴，，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，， 则，
∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得
是等边三角形，

，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的性质的运用.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.
14. 雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接，
∵六边形是正六边形，点是中心，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案：．
15. 如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用正方形的面积减去一个扇形的面积加上两个半圆的面积即可得出结果．
【详解】解：由图可知：
阴影部分的面积
；
故答案：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，按此作法进行下去，则的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征的问题，点的坐标规律，利用直线是第一象限的角平分线是解决本题的突破口．因为直线解析式为，故可以证明直线是第一象限的角平分线，所以，所以可以证明△为等腰直角三角形，可以利用的坐标求出的长度，得到其坐标，用同样的方法求得，，而对应的、、、同理可得，横坐标相等，根据规律即可求得的坐标即可解决
【详解】解：直线解析式为，可知为第一象限角平分线，
与轴正半轴夹角为，所有上的点横纵坐标相等，
，
是等腰直角三角形，
作轴于点，
，
，
，
轴，
同理：是等腰直角三角形，
，
，
同理：是等腰直角三角形，
，
，，
轴
，，
同理：，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊三角函数值和实数混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．
先计算负整数指数幂，绝对值，二实数乘法，特殊三角函数值，再合并即可；
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
19. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
20. 如图，点C是线段的中点，点D、E在线段的上方，连接、、、，，求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据“”即可证明．
【详解】证明：∵点C是线段的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
21. 矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积．
【答案】原矩形的面积为
【解析】
【分析】本题考查的是整式的乘法运算，一元一次方程的应用，先设原矩形的长为，则宽为，再分别表示，，再建立方程求解即可．
【详解】解：设原矩形的长为，则宽为，
∴，
，
∵比多，
∴，
解得：，
∴原矩形的面积为；
答：原矩形的面积为．
22. 每年的4月15日是国家安全教育日．为推进国家安全教育，某校在“国家安全教育日”当天进行了一次国家安全知识速答测试（从七、八年级各随机抽取25名学生进行国家安全知识速答测试，测试结果采取积分方式），将测试结果分为A，B，C，D四个等级，其中A等级可积10分，B等级可积8分，C等级可积6分，D等级可积5分，测试结束后，江老师将七年级和八年级的测试结果整理并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，并分别写出七、八年级测试结果的中位数；
（2）在此次测试中，某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是_______（填“七”或“八”）年级的学生，请说出理由；
（3）若该校七、八年级各有500名学生，请你估计该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生人数．
【答案】（1）统计图见解析，七年级测试结果的中位数为：分，八年级测试结果的中位数为：6分；
（2）八，理由见解析；
（3）该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生有人．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图、中位数定义、用样本估计总体、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意求出C等级人数，然后补全条形统计图即可，在理由中位数的定义求解，即可解题；
（2）根据条形统计图得到七年级同学的测试结果为C等级时，其则所在年级的最高排名，即可作出判断；
（3）用七、八年级各自的总人数乘以各自测试结果达到A等级的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：（人），
条形统计图补充如下：
由题知，七年级测试结果的中位数为：分，
八年级测试结果的中位数为：6分；
【小问2详解】
解：某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是八年级的学生，
理由如下：
七年级同学的测试结果为C等级，则所在年级的最高排名为第17名，与他所在的年级排名为第11名不符，
故某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是八年级的学生，
故答案为：八．
【小问3详解】
解：由题知，（人），
答：该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生有人．
23. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了900米，到达菜园B处采摘蔬菜，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东方向走了600米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
【答案】菜园与果园之间的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．作，作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用解直角三角形算出、，进而算出，推出，根据即可算出菜园与果园之间的距离．
【详解】解：作，作的延长线于点，
由题知，，，，，，
可得四边形为矩形，
，，
，，
，，
，
，
，
．
答：菜园与果园之间的距离为．
24. 如图，是的直径，点C，E在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）或．
【解析】
【分析】（）根据的坐标求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再把的坐标代入，求出一次函数的解析式即可；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，正确求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可得，当或时，．
26. 如图，矩形的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是，D为边上一点，将矩形沿折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x轴相交于点
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，若P是上一动点，交于M，交于N，设，，求s与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）设，则，再求出的长，在中，根据勾股定理求出a的值，即可求解；
（2）延长交于，则，先证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再证明，即可求解；
（3）分三种情况：当时；当时；当时，即可求解．
【小问1详解】
解：在矩形中，，
，，
设，则，，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，延长交于，则，
∵，
，
，
，
，
由（1）知：，
，又，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∵，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
；
【小问3详解】
分三种情况：
①当时，如图3，
，，
∽，
，
，即，
解得：，
∴，
，，
；
②当时，如图4，过M作于H，与的延长线交于点G，
有，
，
，
，
即，
，
∽，
，即，
解得：，
代入得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴的纵坐标为：，
；
③当时，如图5，
过点N作于Q，
，
，
∽，
，
又，
，，
，
，
代入得：，
同理可得：；
综上，点P的坐标是或或
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．
27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围；
（3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案；
（3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，

设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，且，则，
，
将代入，得到
，
，，
轴，轴，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，
的最大值为，
；
【小问3详解】
当点绕着点顺时针旋转得到点时，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，

，，
，
，
，
，
，，
点在直线：上，设点，
则，，
，，
点的坐标为，
点在抛物线上，代入抛物线解析式得：，
解得：，，
点的坐标为或
当点绕着点逆时针旋转得到点时，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

同理可得点的坐标为
点在抛物线上，代入抛物线解析式得：，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．小安
学生A
学生B
小徽
小安/小徽
学生A/小徽
学生B/小徽
小美
小安/小美
学生A/小美
学生B/小美