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    北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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    北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)

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    这是一份北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版),文件包含北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共41页, 欢迎下载使用。

    考查目标
    1.知识:人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》全部内容,《一次函数》部分内容.
    2.能力:数学运算能力,逻辑推理能力,阅读理解能力,实际应用能力,数形结合能力,分类讨论能力.
    考生须知:
    1.本试卷分为第I卷、第Ⅱ卷和答题卡,共16页;其中第I卷2页,第Ⅱ卷6页,答题卡8页.全卷共三大题,28道小题.
    2.本试卷满分100分,考试时间120分钟.
    3.在第I卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号.
    4.考试结束,将答题卡交回.
    第I卷(选择题共16分)
    一、选择题(以下每题只有一个正确的选项,每小题2分,共18分)
    1. 下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可.
    【详解】解:A.被开方数是分数,故A不符合题意;
    B.,故B不符合题意;
    C.,故C不符合题意;
    D.是最简二次根式,故D符合题意.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用,判断最简二次根式可以从以下三个方面入手:(1)根号内不含分母;(2)分母中不含有根号;(3)被开方数不含有开方开得尽的因数或因式.
    2. 下列各组数分别是三条线段的长度,其中能围成直角三角形的是( )
    A. 1,1,2B. 1,2,3C. 3,4,5D. 2,3,4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
    【详解】解:A、,故不是直角三角形,故此选项不符合题意;
    B、,故不是直角三角形,故此选项不符合题意;
    C、,故是直角三角形,故此选项符合题意;
    D、,故不是直角三角形,故此选项不符合题意.
    故选:C.
    3. 若一次函数的图象经过点和点,当时,,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了一次函数的性质,由题意得出一次函数随的增大而减小,即可得出,求解即可,熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键.
    【详解】解:由题意得:一次函数随的增大而减小,

    解得:,
    故选:A.
    4. 下列不能表示y是x的函数的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据函数的定义,一个x只能对应一个y,函数的表示方法有图象法,列表法和关系式法,根据定义判断即可.
    【详解】解:A选项是列表法表示的函数,,一个x只对应了一个y,所以y是x的函数,故本选项不符合题意;
    B选项从图象上看,一个x对应了两个y,不符合函数定义,故本选项符合题意;
    C选项从图象上看,一个x对应了一个y,符合函数定义,故本选项不符合题意;
    D选项是关系式法表示的函数,一个x对应了一个y,符合函数定义,故本选项不符合题意.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了函数的定义,掌握函数的概念是解题关键.
    5. 顺次连接矩形各边的中点,所成的四边形一定是( )
    A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 不确定
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了三角形中位线定理,矩形的性质,菱形的判定,熟练掌握三角形中位线平行于第三条边,且等于等三条边的一半.连接、,由三角形中位线定理可知,,,,,再结合矩形的性质,得出,即可判断四边形的形状.
    【详解】解:如图,连接、,

    、、、分别是、、、的中点,
    是的中位线,是的中位线,是的中位线,是的中位线,
    ,,,,
    在矩形中,,

    四边形为菱形.
    故选A.
    6. 如图,在中,点分别是边的中点,点是线段上的一点.连接,且,则的长是( )
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质,由三角形中位线定理得出,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出,即可得解.
    【详解】解:点分别是边中点,
    是的中位线,

    ,点是的中点,


    故选:A.
    7. 如图,将长方形沿对角线折叠,使点落在点处,,则重叠部分(即)的面积为( )
    A. 6B. 10C. 12D. 16
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式,由矩形的性质得出,从而得出,结合折叠的性质得出,推出,设,则,由勾股定理求出,再由三角形面积公式计算即可得出答案.
    【详解】解:四边形是矩形,
    ,,

    由折叠的性质可得:,


    设,则,
    由勾股定理得:,即,
    解得:,


    故选:B.
    8. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了“赵爽弦图”,流传至今.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,设每个直角三角形的两条直角边分别为,斜边为,给出下面三个结论:
    ①; ②; ③.
    上述结论中,所有正确结论的序号是( )
    A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查了勾股定理,因式分解的应用.根据三角形的三边关系得: ,故①正确;再由,可得,故②正确;根据,可得,故③正确,即可.
    【详解】解:由三角形的三边关系得: ,故①正确;
    ∵,

    即,故②正确;
    由勾股定理得:,
    ∵,


    ∴,
    ∵,
    ∴,故③正确;
    故选:D.
    第II卷(非选择题共84分)
    二、填空题(共16分,每题2分)
    9. 若式子有意义,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】直接根据二次根式有意义的条件列不等式求解即将.
    【详解】解:若式子有意义,则,∴.
    故答案为.
    【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件,根据题意正确列出不等式是解答本题的关键.
    10. 当时,化简: ______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了化简绝对值、二次根式的性质,由题意得出,,再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.
    【详解】解:,
    ,,

    故答案为:.
    11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为_______________.
    【答案】x2+62=(10-x)2
    【解析】
    【分析】根据题意画出图形,由题意则有AC=x,AB=10﹣x,BC=6,根据勾股定理即可列出关于x的方程.
    【详解】根据题意画出图形,折断处离地面的高度为x尺,则AB=10﹣x,BC=6,
    在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即x2+62=(10﹣x)2,
    故答案为x2+62=(10﹣x)2.
    【点睛】本题考查了勾股定理的应用,正确画出图形,熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.
    12. 如图,在平面直角坐标系中,点坐标分别为,若直线与有公共点,则的取值范围为______.

    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征,将、、分别代入一次函数解析式,求出的值,即可得出答案.
    【详解】解:直线与有公共点,
    当直线经过点时,,解得:,
    当直线经过点时,,解得:,
    当直线经过点时,,解得:,
    的取值范围为,
    故答案为:.
    13. 如图,在正方形中,点分别是边上的点,连接,若,则的度数为______.
    【答案】##60度
    【解析】
    【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理,作于,则,由正方形的性质得出,,则四边形为矩形,得出,求出,证明,即可得解.
    【详解】解:如图,作于,则,
    四边形是正方形,
    ,,
    ,,
    四边形为矩形,




    ,即,
    故答案为:.
    14. 如图,已知菱形的两条对角线分别为6和8,点是边的中点,点是边上一点,点是对角线上一点,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题,菱形的性质,勾股定理的应用,菱形的面积,解此题的关键是能确定出当时有最小值.作M关于的对称点Q,连接,交于P,连接,则,要使的值最小,则当时,有最小值,则连接,求出,根据勾股定理求出长,再根据等面积法即可得出答案.
    【详解】解:作M关于的对称点Q,连接,交于P,连接,

    要使的值最小,即要最小,
    四边形是菱形,

    又 ,是边的中点,
    即Q在上,且为中点,
    当时,有最小值,
    四边形是菱形,
    的值最小为,
    故答案为:.
    15. 如图,在等边中,,射线,点从点出发沿射线以的速度运动,点从点出发沿射线以的速度运动.如果点同时出发,设运动时间为,则当_____时,以为顶点的四边形是平行四边形.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用,分两种情况:当点在的右侧时;当点在的左侧时;由当时,四边形是平行四边形,建立一元一次方程,解方程即可得出答案.
    【详解】解:当点在的右侧时,
    由题意得:,,则,

    当时,四边形是平行四边形,即,
    解得:;
    当点在的左侧时,
    由题意得:,,则,

    当时,四边形是平行四边形,即,
    解得:;
    综上所述,当或时,以为顶点的四边形是平行四边形,
    故答案为:或.
    16. 已知A、B两地是一条直路,甲骑自行车从A地到B地,乙骑摩托车从B地到A地,两人同时出发,乙先到达目的地,两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示,则下列结论正确的有_______.
    ①两人出发后相遇;②甲骑自行车的速度为;③乙比甲提前到达目的地;④乙到达目的地时两人相距.
    【答案】①②④
    【解析】
    【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息,解题的关键在于能够正确读懂函数图象.先根据在一开始时,两人的距离为,得到A、B两地的距离为,从而可以求出甲的速度,即可判断②;根据在出发后,两人相距为,即可判断①;求出两人的合速度,从而求出乙到达目的地的花费时间即可判断③④.
    【详解】解:∵在一开始时,两人的距离为,
    ∴A、B两地的距离为,
    ∵乙先到底目的地,
    ∴甲到目的地花费的时间为,
    ∴甲的速度为,故②正确;
    ∵在出发后,两人相距为,即此时两人相遇,故①正确;
    ∵两人出发2h相遇,
    ∴两人的合速度为,
    ∴乙的速度为,
    ∴乙到目的地花费的时间为,
    ∴乙比甲提前到达目的地,故③错误;
    ∵,
    ∴乙到达目的地时两人相距,故④正确;
    ∴正确的有①②④,
    故答案为:①②④.
    三、解答题(共68分,其中第17—22题每题5分,第23—26题每题6分,第27—28题每题7分)
    17. 计算:.
    【答案】3
    【解析】
    【分析】本题考查实数的混合运算,熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法法则是解题的关键.先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法,再进行加减计算即可.
    【详解】解:原式

    18. 计算:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了二次根式的混合运算,根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质,计算即可得出答案.
    【详解】解:

    19. 已知,求代数式的值.
    【答案】6
    【解析】
    【分析】本题考查了求代数式的值,完全平方公式,解题的关键是熟练掌握完全平方公式,
    利用完全平方公式进行求解即可
    【详解】解:
    20. 分别在以下网格中画出图形.
    (1)在图1中,以格点为顶点,画一个面积为5的正方形;
    (2)在图2中,以格点为顶点,画出一个腰长为,面积为3的等腰三角形.
    【答案】(1)作图见解析
    (2)作图见解析
    【解析】
    【分析】本题考查了作图—应用与设计作图,解题的关键是熟练掌握勾股定理,
    (1)由正方形的面积可得出正方形的边长,再根据勾股定理即可求解;
    (2)根据腰长利用勾股定理求出底,高,即可求解;
    【小问1详解】
    解:
    此正方形的边长为,
    由勾股定理得:,
    故作图如下:
    【小问2详解】
    解:,
    则等腰三角形的底、高分别为、3,

    则作图如下:
    21. 如图,中,.
    求作:矩形.
    作法:
    ①作线段的垂直平分线交于点;
    ②连接并延长,在延长线上截取;
    ③连接.
    则四边形为所求作的矩形.
    (1)使用直尺和圆规,依作法补全尺规作图(保留作图痕迹);
    (2)完成下面的证明.
    证明:是线段的垂直平分线,


    四边形为平行四边形(______)(填推理依据).

    平行四边形为矩形(______)(填推理依据).
    【答案】(1)见解析 (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形;有一个角是直角的四边形是平行四边形
    【解析】
    【分析】本题考查了作图—复杂作图,平行四边形的判定、矩形的判定、线段垂直平分线的性质,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
    (1)根据作图过程即可补全图形;
    (2)根据平行四边形的判定与矩形的判定方法即可完成证明.
    【小问1详解】
    解:补全图形如图所示:
    【小问2详解】
    证明:是线段的垂直平分线,


    四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).

    平行四边形为矩形(有一个角是直角的四边形是平行四边形),
    故答案为:对角线互相平分的四边形是平行四边形;有一个角是直角的四边形是平行四边形.
    22. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD(如图所示)的周长,其中边 CD上有水池及建筑遮挡,没有办法直接测量其长度.
    小东经测量得知 AB=AD=5 m,∠A=60°,BC=12 m,∠ABC=150°.
    小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度.
    你同意小明的说法吗?若同意,请求出 CD 的长度;若不同意,请说明理由.
    【答案】同意,13m
    【解析】
    【分析】直接利用等边三角形的判定方法得到△ABD是等边三角形,再利用勾股定理得出答案即可.
    【详解】解:同意,理由如下:
    连接 BD
    ∵AB=AD=5,∠A=60°
    ∴△ABD是等边三角形
    ∴BD=AB=5,∠ABD=60°
    ∵∠ABC=150°
    ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=150°-60°=90°
    在中,BD=5,BC=12

    答:CD的长度为13米.
    【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定,正确得出△ABD是等边三角形是解题的关键.
    23. 在平面直角坐标系中,某一次函数的图象是由直线平移得到的且经过点,交轴于点.
    (1)求此一次函数的表达式;
    (2)若点为此一次函数图象上一点,且的面积为6,求点的坐标.
    【答案】(1)此一次函数的解析式为
    (2)点的坐标为或
    【解析】
    【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
    (1)设此一次函数的解析式为:,利用待定系数法求解即可;
    (2)求出,得到,设点,根据的面积为6得出,求出的值即可得解.
    【小问1详解】
    解:设此一次函数的解析式为:,
    将代入解析式得:,
    解得:,
    此一次函数的解析式为;
    小问2详解】
    解:在中,当时,,


    设点,
    的面积为6,

    解得:或,
    当时,,即,
    当时,,即,
    综上所述,点的坐标为或.
    24. 如图,矩形中,,相交于点O,,.
    (1)求证:四边形是菱形;
    (2)若,求四边形的面积.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据,,得出四边形是平行四边形,再由矩形的性质得出,从而可证明四边形是菱形;
    (2)连接交于点,由菱形的性质得出,,,由,证明是等边三角形,求出,再由勾股定理求出,进而,即可得出答案.
    【小问1详解】
    证明:如图1,
    ,,
    四边形是平行四边形,
    四边形是矩形,
    ,,,

    四边形是菱形;
    【小问2详解】
    解:如图2,连接交于点,
    四边形是菱形,
    ,,,


    是等边三角形,




    【点睛】本题考查了矩形的性质,菱形的判定与性质,掌握矩形的性质,等边三角形的判定与性质,解题的关键是掌握菱形的判定与性质,勾股定理,菱形面积公式.
    25. 如图,在等腰中,.点为的中点,动点从点出发,沿着方向运动至点处停止,过点作,交于点.设点运动的路程为,点的距离为.
    (1)请直接写出关于的函数表达式,并注明自变量的取值范围;
    (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
    (3)解决问题:当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时,点的距离是______.
    【答案】(1)
    (2)图见解析,函数的最大值为
    (3)
    【解析】
    【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用,含角的直角三角形的性质,理解题意,正确求出函数解析式,采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键.
    (1)分两种情况讨论,根据含角的直角三角形的性质即可求解;
    (2)根据(1)中的解析式画出函数图象,结合函数图象即可得解;
    (3)分两种情况,分别建立方程,求解即可.
    【小问1详解】
    解:,

    点为的中点,

    当点在上运动时,,

    由题意得:,则,
    ,,


    当点在上运动时,,

    由题意得:,则,
    ,,


    综上所述,;
    【小问2详解】
    解:画出函数图象如图所示:

    由图象可得,函数的最大值为;
    【小问3详解】
    解:当时,由题意得:,
    解得:,此时;
    当时,由题意得:,
    解得:(不符合题意,舍去);
    综上所述:当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时,点的距离是,
    故答案为:.
    26. 阅读:将一个量,用两种方法分别计算一次,由结果相同构造等式解决问题,这种思维方法称为“算两次”原理.在学习第十七章勾股定理时,我们就是利用“算两次”原理,用不同的方式表示同一图形的面积,探究出了勾股定理.
    (1)【问题探究】
    小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题:
    如图1,在中,,求斜边边上的高的值.
    小明用两种方法表示出的面积:
    ①;
    ②.
    图1
    由勾股定理,得斜边的长度为5,由此可以算出______.
    (2)【学以致用】
    如图2,在矩形中,,点是边上任意一点,过点作,垂足分别为.则可以运用“算两次”原理,用不同的方式表示的面积,求出的值为______.
    图2
    (3)【拓展延伸】
    如图3,已知直线与直线相交于点,且这两条直线分别与轴交于点.在线段上有一点,且点到直线的距离为4,请利用以上所学的知识求出点的坐标.
    图3
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】本题考查一次函数的综合应用,涉及待定系数法,三角形面积,解题的关键是读懂题意,用两种不同的方法表示同一个三角形的面积.
    (1)根据题意,得即可;
    (2)连接,过点作于点,,求出,再根据即可;
    (3)过作于,过作于,连接,根据即可.
    【小问1详解】
    解:由题意,得,

    故答案为:;
    【小问2详解】
    解:连接,过点作于点,
    在矩形中,,
    ,,

    解得:,



    故答案为:;
    【小问3详解】
    过作于,过作于,连接,如图:
    在中,令得,

    在中令得,

    联立:,
    解得:,

    ,,
    ,点到直线的距离为4,

    解得,即的纵坐标为,
    在中,令得,

    27. 如图,正方形中,点是对角线上任意一点,连接,以点为垂足,过点作,交于点,连接,取的中点,连接.
    (1)依题意补全图形;
    (2)若,求的大小(用含的式子表示);
    (3)用等式表示线段与之间的数量关系,并证明.
    【答案】(1)见解析 (2)
    (3),证明见解析
    【解析】
    【分析】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,三角形的外角性质,解题的关键是能正确作出辅助线,构造全等三角形和等腰直角三角形,
    (1)根据描述即可解答;
    (2)根据正方形的性质可求出,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及三角形的外角性质,即可求解,
    (3)利用证明得出,再证明,以及可得出为等腰直角三角形,进而可求解;
    【小问1详解】
    解:补全图形如下:
    【小问2详解】
    解: 四边形为正方形
    为的中点,
    【小问3详解】
    解:
    证明:连接,如图所示:
    四边形为正方形
    在和中,

    为的中点,
    由(2)可知
    为等腰直角三角形,
    28. 在平面直角坐标系中,对于点和线段,其中,给出如下定义:若存在实数,使得,则称点是点关于线段的“中旋点”.
    (1)已知点,点是关于线段的“中旋点”.
    ①若点坐标是,则点的坐标是______;
    ②若点的坐标是,点的坐标是,点是线段上任意一点,求线段长的取值范围;
    (2)已知点,以为对角线构造正方形,在该正方形边上任取两点(包括顶点)构造线段,若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”,直接写出的取值范围.
    【答案】(1)①;②
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)①根据新定义求出,即可得到;②先求出直线解析式为,可设,则,利用勾股定理求出,再利用作差法证明当时,的值随着m增大而减小,则当时,有最大值,当时,有最小值8,即可得到;
    (2)如图2-1所示,当点M在上,点N在上时,设,则,可推出当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域即为四个点组成的正方形区域(不包括顶点E);同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时,点Q的运动区域为组成的正方形区域(不包括四个顶点);如图2-2所示,当点M在上,点N在上时,设,则,可推出当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域即为线段;同理由对称性可知当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域为线段;综上所述,点Q的运动区域为组成的正方形区域(不包括四个顶点);若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”,则直线与组成的正方形区域至少有一个交点(不包括顶点),当直线恰好经过时,可得 ;当直线恰好经过时,可得;据此结合函数图象可得答案.
    【小问1详解】
    解:①由题意得,,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:;
    ②设直线解析式为,
    ∴,
    ∴,
    ∴直线解析式为,
    ∵点是线段上任意一点,
    ∴可设,
    ∵点是关于线段的“中旋点”.
    ∴,
    ∴,
    ∴,


    令,


    ∵,
    ∴,
    ∴当时,的值随着m增大而减小,
    ∴当时,有最大值,当时,有最小值8,
    ∴;
    【小问2详解】
    解:如图2-1所示,当点M在上,点N在上时,
    设,
    ∴,
    ∴,

    当点M固定时,点N从点C运动到点D,那么点Q的纵坐标不变,横坐标从0运动到,
    当点N固定时,点M从点A运动到点D,那么点Q的横坐标不变,纵坐标从0运动到2,
    ∴当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域即为四个点组成的正方形区域(不包括顶点E),
    同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时,点Q的运动区域为组成的正方形区域(不包括四个顶点);
    如图2-2所示,当点M在上,点N在上时,
    设,
    ∴,
    ∴,

    当点M固定时,点N从点C运动到点D,那么点Q的纵坐标不变,横坐标从运动到,
    当点N固定时,点M从点A运动到点D,那么点Q的纵坐标不变,横坐标从运动到,
    ∴当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域即为线段;
    同理由对称性可知当点M在上,点N在上时,点Q的运动区域为线段;
    当点M和点N都在上时,设,同理得,
    ∴此时点Q的运功区域为线段(不包括端点),
    由对称性可知,当M、N在同一边时,点Q的运动区域即为线段(不包括端点),
    综上所述,点Q的运动区域为组成的正方形区域(不包括四个顶点);
    ∵直线上至少存在一个点关于的“中旋点”,
    ∴直线与组成的正方形区域至少有一个交点(不包括顶点),
    当直线恰好经过时,,解得;
    当直线恰好经过时,,解得;
    ∴如图2-3所示,当或直线与组成的正方形区域至少有一个交点(不包括顶点),
    ∴若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”,则或.
    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合,正方形的性质,勾股定理等等,解(2)的关键在于确定点Q在一条直线上,进而利用勾股定理求解;解(3)的关键在于确定点Q的运动区域.
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