北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考查目标
1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》全部内容，《一次函数》部分内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．
考生须知：
1．本试卷分为第I卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第I卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第I卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第I卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共18分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可．
【详解】解：A．被开方数是分数，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用，判断最简二次根式可以从以下三个方面入手：（1）根号内不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数不含有开方开得尽的因数或因式．
2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，2，3C. 3，4，5D. 2，3，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数随的增大而减小，即可得出，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：一次函数随的增大而减小，
，
解得：，
故选：A．
4. 下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，一个x只能对应一个y，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可．
【详解】解：A选项是列表法表示的函数，，一个x只对应了一个y，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
B选项从图象上看，一个x对应了两个y，不符合函数定义，故本选项符合题意；
C选项从图象上看，一个x对应了一个y，符合函数定义，故本选项不符合题意；
D选项是关系式法表示的函数，一个x对应了一个y，符合函数定义，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．
5. 顺次连接矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线平行于第三条边，且等于等三条边的一半．连接、，由三角形中位线定理可知，，，，，再结合矩形的性质，得出，即可判断四边形的形状．
【详解】解：如图，连接、，

、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选A．
6. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，由三角形中位线定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得解．
【详解】解：点分别是边中点，
是的中位线，
，
，点是的中点，
，
，
故选：A．
7. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，，则重叠部分（即）的面积为（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式，由矩形的性质得出，从而得出，结合折叠的性质得出，推出，设，则，由勾股定理求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故选：B．
8. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，给出下面三个结论：
①； ②； ③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，因式分解的应用．根据三角形的三边关系得： ，故①正确；再由，可得，故②正确；根据，可得，故③正确，即可．
【详解】解：由三角形的三边关系得： ，故①正确；
∵，
，
即，故②正确；
由勾股定理得：，
∵，
∴
，
∴，
∵，
∴，故③正确；
故选：D．
第II卷（非选择题共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次根式有意义的条件列不等式求解即将．
【详解】解：若式子有意义，则，∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键．
10. 当时，化简： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值、二次根式的性质，由题意得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________．
【答案】x2＋62＝(10－x)2
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.
【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为，若直线与有公共点，则的取值范围为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，将、、分别代入一次函数解析式，求出的值，即可得出答案．
【详解】解：直线与有公共点，
当直线经过点时，，解得：，
当直线经过点时，，解得：，
当直线经过点时，，解得：，
的取值范围为，
故答案为：．
13. 如图，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，作于，则，由正方形的性质得出，，则四边形为矩形，得出，求出，证明，即可得解．
【详解】解：如图，作于，则，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
故答案为：．
14. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理的应用，菱形的面积，解此题的关键是能确定出当时有最小值．作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，则，要使的值最小，则当时，有最小值，则连接，求出，根据勾股定理求出长，再根据等面积法即可得出答案．
【详解】解：作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，
，
要使的值最小，即要最小，
四边形是菱形，
，
又 ，是边的中点，
即Q在上，且为中点，
当时，有最小值，
四边形是菱形，
的值最小为，
故答案为：．
15. 如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当_____时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：当点在的右侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
当点在的左侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
16. 已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有_______．
①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始时，两人的距离为，得到A、B两地的距离为，从而可以求出甲的速度，即可判断②；根据在出发后，两人相距为，即可判断①；求出两人的合速度，从而求出乙到达目的地的花费时间即可判断③④．
【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为，
∴A、B两地的距离为，
∵乙先到底目的地，
∴甲到目的地花费的时间为，
∴甲的速度为，故②正确；
∵在出发后，两人相距为，即此时两人相遇，故①正确；
∵两人出发2h相遇，
∴两人的合速度为，
∴乙的速度为，
∴乙到目的地花费的时间为，
∴乙比甲提前到达目的地，故③错误；
∵，
∴乙到达目的地时两人相距，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法法则是解题的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质，计算即可得出答案．
【详解】解：
．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，
利用完全平方公式进行求解即可
【详解】解：
20. 分别在以下网格中画出图形．
（1）在图1中，以格点为顶点，画一个面积为5的正方形；
（2）在图2中，以格点为顶点，画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理，
（1）由正方形的面积可得出正方形的边长，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据腰长利用勾股定理求出底，高，即可求解；
【小问1详解】
解：
此正方形的边长为，
由勾股定理得：，
故作图如下：
【小问2详解】
解：，
则等腰三角形的底、高分别为、3，
，
则作图如下：
21. 如图，中，．
求作：矩形．
作法：
①作线段的垂直平分线交于点；
②连接并延长，在延长线上截取；
③连接．
则四边形为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形为平行四边形（______）（填推理依据）．
，
平行四边形为矩形（______）（填推理依据）．
【答案】（1）见解析 （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定、矩形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定与矩形的判定方法即可完成证明．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
【小问2详解】
证明：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
，
平行四边形为矩形（有一个角是直角的四边形是平行四边形），
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是平行四边形．
22. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD（如图所示）的周长，其中边 CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知 AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°．
小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度．
你同意小明的说法吗？若同意，请求出 CD 的长度；若不同意，请说明理由．
【答案】同意，13m
【解析】
【分析】直接利用等边三角形的判定方法得到△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：同意，理由如下：
连接 BD
∵AB=AD=5，∠A=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=5，∠ABD=60°
∵∠ABC=150°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°
在中，BD=5，BC=12
∴
答：CD的长度为13米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线平移得到的且经过点，交轴于点．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点为此一次函数图象上一点，且的面积为6，求点的坐标．
【答案】（1）此一次函数的解析式为
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设此一次函数的解析式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）求出，得到，设点，根据的面积为6得出，求出的值即可得解．
【小问1详解】
解：设此一次函数的解析式为：，
将代入解析式得：，
解得：，
此一次函数的解析式为；
小问2详解】
解：在中，当时，，
，
，
设点，
的面积为6，
，
解得：或，
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，点的坐标为或．
24. 如图，矩形中，，相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，从而可证明四边形是菱形；
（2）连接交于点，由菱形的性质得出，，，由，证明是等边三角形，求出，再由勾股定理求出，进而，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图1，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图2，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式．
25. 如图，在等腰中，．点为的中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止，过点作，交于点．设点运动的路程为，点的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）解决问题：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是______．
【答案】（1）
（2）图见解析，函数的最大值为
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，含角的直角三角形的性质，理解题意，正确求出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）根据（1）中的解析式画出函数图象，结合函数图象即可得解；
（3）分两种情况，分别建立方程，求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
点为的中点，
，
当点在上运动时，，
，
由题意得：，则，
，，
，
；
当点在上运动时，，
，
由题意得：，则，
，，
，
；
综上所述，；
【小问2详解】
解：画出函数图象如图所示：
，
由图象可得，函数的最大值为；
【小问3详解】
解：当时，由题意得：，
解得：，此时；
当时，由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是，
故答案为：．
26. 阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
（1）【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在中，，求斜边边上的高的值．
小明用两种方法表示出的面积：
①；
②．
图1
由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出______．
（2）【学以致用】
如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为______．
图2
（3）【拓展延伸】
如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标．
图3
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积．
（1）根据题意，得即可；
（2）连接，过点作于点，，求出，再根据即可；
（3）过作于，过作于，连接，根据即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：连接，过点作于点，
在矩形中，，
，，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
过作于，过作于，连接，如图：
在中，令得，
，
在中令得，
，
联立：，
解得：，
，
，，
，点到直线的距离为4，
，
解得，即的纵坐标为，
在中，令得，
．
27. 如图，正方形中，点是对角线上任意一点，连接，以点为垂足，过点作，交于点，连接，取的中点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是能正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形，
（1）根据描述即可解答；
（2）根据正方形的性质可求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的外角性质，即可求解，
（3）利用证明得出，再证明，以及可得出为等腰直角三角形，进而可求解；
【小问1详解】
解：补全图形如下：
【小问2详解】
解： 四边形为正方形
为的中点，
【小问3详解】
解：
证明：连接，如图所示：
四边形为正方形
在和中，
，
为的中点，
由（2）可知
为等腰直角三角形，
28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，其中，给出如下定义：若存在实数，使得，则称点是点关于线段的“中旋点”．
（1）已知点，点是关于线段的“中旋点”．
①若点坐标是，则点的坐标是______；
②若点的坐标是，点的坐标是，点是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
（2）已知点，以为对角线构造正方形，在该正方形边上任取两点（包括顶点）构造线段，若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据新定义求出，即可得到；②先求出直线解析式为，可设，则，利用勾股定理求出，再利用作差法证明当时，的值随着m增大而减小，则当时，有最大值，当时，有最小值8，即可得到；
（2）如图2-1所示，当点M在上，点N在上时，设，则，可推出当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为四个点组成的正方形区域（不包括顶点E）；同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；如图2-2所示，当点M在上，点N在上时，设，则，可推出当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为线段；同理由对称性可知当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域为线段；综上所述，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，则直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），当直线恰好经过时，可得 ；当直线恰好经过时，可得；据此结合函数图象可得答案．
【小问1详解】
解：①由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：；
②设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵点是线段上任意一点，
∴可设，
∵点是关于线段的“中旋点”．
∴，
∴，
∴，
∴
，
令，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，的值随着m增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值8，
∴；
【小问2详解】
解：如图2-1所示，当点M在上，点N在上时，
设，
∴，
∴，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从0运动到，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的横坐标不变，纵坐标从0运动到2，
∴当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为四个点组成的正方形区域（不包括顶点E），
同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；
如图2-2所示，当点M在上，点N在上时，
设，
∴，
∴，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从运动到，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从运动到，
∴当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域即为线段；
同理由对称性可知当点M在上，点N在上时，点Q的运动区域为线段；
当点M和点N都在上时，设，同理得，
∴此时点Q的运功区域为线段（不包括端点），
由对称性可知，当M、N在同一边时，点Q的运动区域即为线段（不包括端点），
综上所述，点Q的运动区域为组成的正方形区域（不包括四个顶点）；
∵直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，
∴直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），
当直线恰好经过时，，解得；
当直线恰好经过时，，解得；
∴如图2-3所示，当或直线与组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），
∴若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，则或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理等等，解（2）的关键在于确定点Q在一条直线上，进而利用勾股定理求解；解（3）的关键在于确定点Q的运动区域．