2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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考查目标
1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A. 圆B. 等边三角形C. 平行四边形D. 线段
3. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①； ②；
③与互为余角； ④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论序号是（ ）
A. ②③B. ①②④C. ①③D. ①③④
4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 实数根的个数由m的值确定
5. 正八边形每个内角的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 数轴上点A，M，B分别表示数，那么下列运算结果一定是正数的有（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：
①；②；③；④；
上述结论中，正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 当__________时，分式的值为零．
10. 分解因式：4x3﹣16x2+16x=________________________．
11. 方程解是______．
12. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”）
13. 为了了解我市初中学生视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：
根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数是 _______．
14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．
15. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于______．
16. 某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 ___分钟．
三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）
17 计算：．
18. 解不等式组，并写出满足条件的非正整数解．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在等腰中，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
21. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）

（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张；
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交直线与反比例函数图像于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．
（1）若点M与点N重合，且，求k的值；
（2）当时，总有，直接写出k的取值范围．
23. 某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：）数据统计如下：
A．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；
B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
（1） ， ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为改组舞台呈现效果越好，据此推断，下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ；（填“甲组”后“乙组”）
（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为 和 ．
24. 如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
图1图2
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
27. 如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线的对称点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面内的点和点，给出如下定义：
若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围；
（3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
项目
时间分钟
组别
①调整桌椅
（A同学）
②扫地
（B同学）
③拖地
（C同学）
第一组
5
4
3
第二组
6
5
4
第三组
4
3
2
平均数
中位数
众数
167.75
m
n
甲组身高
163
166
166
167
167
乙组身高
162
163
165
166
176
水平距离
0
3
4．
竖直高度