广东省深圳市蛇口育才教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将准考号用2B铅笔填涂完整．
2．全卷共3页，考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C、是因式分解，故选项正确，符合题意；
D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知，，根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：由图可知，，则有
A、，成立，本选项符合题意；
B、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
C、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
D、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查数轴和不等式的性质，通过数轴判断出，并掌握不等式的性质是解答本题的关键．
4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，，C. 4，6，8D. 5，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5. 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中，若剪刀张开的角为，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求解．本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6. 校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（ ）

A. 线段、的交点B. 、角平分线的交点
C. 线段、垂直平分线的交点D. 线段、垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D．
【详解】解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等；
故选：B
【点睛】本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
7. 如图，将周长为16的沿方向平移2个单位得，则四边形的周长为（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，可以得到AD=CF=2，AC=DF，再根据四边形的周长为AB+BC+CF+DF+AD，结合的周长为16即可求出答案．
【详解】解：∵沿方向平移2个单位得
∴AD=CF=2，AC=DF
∵四边形的周长为AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD
∴四边形的周长=16+2+2=20
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，找到平移距离是解决本题的关键．
8. 如图，在中，，，小田同学利用尺规按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线，交边于点D．则线段的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解尺规作图作垂直平分线的步骤成为解题的关键．
由作图可得垂直平分，即；然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接
由作法得垂直平分，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，理解题意、找准不等关系成为解题的关键．
设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．再根据不等关系“至少含有4200单位的维生素C”和“购买原料的费用不超过72元”列出不等式组即可．
【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．
根据题意，得：．
故选：C．
10. 如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：第一次折叠，如图②，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠性质，，
∴，
第二次折叠，如图③，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，把公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 直角坐标系中，点关于坐标原点成中心对称的点的坐标是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
13. 若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______．
【答案】m≤2
【解析】
【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．
【详解】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m=2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
14. 如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，，若，则的度数为______°．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是根据等边对等角得到，，利用外角的性质推出，再次利用外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
【答案】18
【解析】
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题9分）
16. 按要求计算
（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）先运用乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）先提取公因数3，然后再运用完全平方公式因式分解即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了乘方、负整数次幂、零次幂、因式分解等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
17. 解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
【答案】不等式的解集为，整数解为，，，0
【解析】
【分析】先求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后找出其中的整数即可
【详解】解：
解不等式①：，解得，
解不等式②：，得，解得
∴不等式的解集为，
∴不等式组的整数解为，，，0．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
18. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______；
（2）将绕点B顺时针旋转90°，请画出旋转后对应的，旋转过程中，线段扫过的面积为______．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作平移图形，旋转图形，求扇形面积，写出直角坐标系坐标点．
（1）先作出点A、、平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标；
（2）先作出点、旋转后的对应点、，然后顺次连接即可，根据扇形面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
此时点的坐标为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，即所求．
边在平移过程中扫过的面积为扇形，
此时，，．
19. 如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2）12，24
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键．
（1）根据，得，再利用进行角之间的转换，得出即可得出结论；
（2）先证，然后根据勾股定理计算的长；作于点H，证明，得到，由三线合一定理即可得到．
【小问1详解】
证明：中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：F为中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
如图所示，作于点H，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
20. 某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？
（2）每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
【答案】（1）1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是
（2）货运电梯一次最多可装运7套设备
【解析】
【分析】（1）本题考查二元一次方程解决实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组求解即可得到答案；
（2）本题考查不等式的应用，根据载重总质量禁止超过列不等式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：设1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是，
根据题意得：，解得：．
答：1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是；
【小问2详解】
解：设货运电梯一次可装运m套设备，
根据题意得：，解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7．
答：货运电梯一次最多可装运7套设备．
21. 在一次函数学习中，我们经历了“确定函数表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合所学研究函数的方法，我们研究函数性质及其应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题．
（1）______，______，______；
（2）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确（正确的打√，错误的打×）；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（______）
②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．（______）
（4）请在同一平面直角坐标系中再画出函数的图象，结合函数的图象，直接写出不等式的解集______．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）①√；②√
（4）见解析，
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
（1）把代入，根据待定系数法即可求得，将和分别代入函数即可求解出；
（2）利用描点法画出图象；
（3）观察图象即可判断；
（4）求得交点坐标，根据图象即可求得结论．
【小问1详解】
∵函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴这个函数的表达式是；
∴当时，，
当时，，
∴，，；
【小问2详解】
函数的图象如图所示：
【小问3详解】
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．正确；
②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，正确；
故答案为：√；√；
【小问4详解】
在同一平面直角坐标系中画出直线与函数的图象，如图
把代入，得，
解得，
根据图象可知，不等式的解集是．
故答案为：．
22. 阅读材料，并解决问题：
（1）方法指引
如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______°；
（2）知识迁移
已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求出的值．
【答案】（1）等边，
（2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答．
（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将绕点顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是，求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
【详解】解：（1）∵，
∴、、，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，，
易证为直角三角形，且，
∴；
故答案为：；
（2）如图，把绕点逆时针旋转得到：
由旋转的性质得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即．
（3）如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，
∴如图所示：
，
∵，，，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴、、、四点共线，
在中，，
∴．原料
甲
乙
维生素
600单位
100单位
原料价格
8元
4元
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
2
n
…