2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习07（含答案）

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(1)求m的值及该抛物线对应的解析式；
(2)P(x，y)是抛物线上的一点，若S△ADP＝S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
在平面直角坐标系中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围.
抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B.
(1)直接写出抛物线L的解析式；
(2)如图1，过定点的直线y＝kx﹣k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；
(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.
如图，已知抛物线y＝ax2＋1.6x＋c与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣4)，直线l:y＝﹣eq \f(1,2)﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2＋1.6x＋c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x＋c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(﹣5，0)．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，﹣2)为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵点B(﹣2，m)在直线y＝﹣2x﹣1上
∴m＝﹣2×(﹣2)﹣1＝4﹣1＝3，
所以，点B(﹣2，3)，
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
∵点B(﹣2，3)，A(4，0)在抛物线上，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)x2﹣x．
(2)∵P(x，y)是抛物线上的一点，
∴P(x，eq \f(1,4)x2﹣x)，
若S△ADP＝S△ADC，
∵S△ADC＝eq \f(1,2)AD•OC，S△ADP＝eq \f(1,2)AD•|y|
又∵点C是直线y＝﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C(0，﹣1)，
∴OC＝1，
∴|eq \f(1,4)x2﹣x|＝eq \f(1,4)，即eq \f(1,4)x2﹣x＝1或eq \f(1,4)x2﹣x＝﹣1，
解得：x1＝2＋2eq \r(2)，x2＝2﹣2eq \r(2)，x3＝x4＝2，
∴点P的坐标为 P1(2＋2，1)，P2(2﹣2，1)，P3(2，﹣1)
(3)结论：存在．如图2
∵抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)x2﹣x，
∴顶点E(2，﹣1)，对称轴为x＝2；
点F是直线y＝﹣2x﹣1与对称轴x＝2的交点，∴F(2，﹣5)，DF＝5．
又∵A(4，0)，
∴AE＝eq \r(5)．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时EM1＝AE＝eq \r(5)，
∴M1F＝DF﹣DE﹣DM1＝4﹣eq \r(5)，
∴t1＝4﹣eq \r(5)；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2＝DE＝1，
∴M2F＝DF＋DM2＝6，
∴t2＝6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3＝AE＝eq \r(5)，
∴DM3＝EM3﹣DE＝eq \r(5)﹣1，
∴M3F＝DM3＋DF＝(eq \r(5)﹣1)＋5＝4＋eq \r(5)，
∴t3＝4＋eq \r(5)；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴＝，得M4E＝2.5，
∴DM4＝M4E﹣DE＝2.5﹣1＝1.5，
∴M4F＝DM4＋DF＝1.5＋5＝6.5，
∴t4＝6.5．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1＝4﹣eq \r(5)，t2＝6，t3＝4＋eq \r(5)，t4＝6.5．
解：(1)由题意得：
，解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)令﹣x2+2x+3=0，
∴x1=﹣1，x2=3，即B(3，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
设P(a，3﹣a)，则D(a，﹣a2+2a+3)，
∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=eq \f(1,2)PD•a+eq \f(1,2)PD•(3﹣a)=eq \f(1,2)PD•3=eq \f(3,2)(﹣a2+3a)=﹣eq \f(3,2)(a﹣eq \f(3,2))2+，
∴当a=eq \f(3,2)时，△BDC的面积最大，此时P(eq \f(3,2)，eq \f(3,2))；
(3)由(1)，y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴E(1，4)，
设N(1，n)，则0≤n≤4，
取CM的中点Q(，eq \f(3,2))，
∵∠MNC=90°，
∴NQ=eq \f(1,2)CM，
∴4NQ2=CM2，
∵NQ2=(1﹣)2+(n﹣eq \f(3,2))2，∴4[=(1﹣)2+(n﹣eq \f(3,2))2]=m2+9，
整理得，m=n2﹣3n+1，即m=(n﹣eq \f(3,2))2﹣1.25，
∵0≤n≤4，
当n=eq \f(3,2)上，M最小值=﹣1.25，n=4时，M最小值=5，
综上，m的取值范围为：﹣1.25≤m≤5.
解：(1)由题意知
，解得：b＝2、c＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2＋2x＋1；
(2)如图，
∵y＝kx﹣k＋4＝k(x﹣1)＋4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为(1，4)，
∵y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，
∴点B(1，2)，则BG＝2，
∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝eq \f(1,2)BG•xN﹣eq \f(1,2)BG•xM＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由得x2＋(k﹣2)x﹣k＋3＝0，
解得：x＝＝，
则xN＝、xM＝，
由xN﹣xM＝1得＝1，∴k＝±3，
∵k＜0，∴k＝﹣3；
(3)如图2，
设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2＋2x＋1＋m，
∴C(0，1＋m)、D(2，1＋m)、F(1，0)，设P(0，t)，
①当△PCD∽△FOP时， ＝，∴＝，
∴t2﹣(1＋m)t＋2＝0；
②当△PCD∽△POF时， ＝，∴＝，
∴t＝eq \f(1,3)(m＋1)；
(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时，
△＝(1＋m)2﹣8＝0，解得：m＝2eq \r(2)﹣1(负值舍去)，
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝eq \r(2)，
方程②有一个实数根t＝eq \f(2\r(2),3)，∴m＝2eq \r(2)﹣1，
此时点P的坐标为(0，eq \r(2))和(0，eq \f(2\r(2),3))；
(Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：eq \f(1,9)(m＋1)2﹣eq \f(1,3)(m＋1)2＋2＝0，解得：m＝2(负值舍去)，
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为(0，1)和(0，2)；
综上，当m＝2eq \r(2)﹣1时，点P的坐标为(0，eq \r(2))和(0，eq \f(2\r(2),3))；
当m＝2时，点P的坐标为(0，1)和(0，2).
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋1.6x＋c经过A(2，0)、C(0，﹣4)，
∴，解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4；
(2)①如图1，连接BP，
∵抛物线y＝eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4，令y＝0，
得eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，
∴B(﹣10，0)，设P(m，eq \f(1,5)m2＋1.6m﹣4)，
∵PE⊥x轴，
∴E(m，0)，
∴OE＝﹣m，BE＝m＋10，PE＝﹣(eq \f(1,5)m2＋1.6m﹣4)＝﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4，
∴S＝S△PBE＋S梯形OCPE
＝eq \f(1,2)×(m＋10)×(﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4)＋eq \f(1,2)×(﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4＋4)×(﹣m)
＝﹣m2﹣10m＋20，
∵S＝﹣m2﹣10m＋20＝﹣(m＋5)2＋45，
∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，
∴P(﹣5，﹣7)，E(﹣5，0)，
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x轴，
∴直线PE是线段OB的垂直平分线，
∴点B与点O关于直线PE对称，
连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，
∴QO＋QC＝QB＋QC＝BC，此时QO＋QC最小，即△QOC的周长最小，
在Rt△BCO中，BC＝2eq \r(29)，
∴△QOC的周长的最小值为：BC＋OC＝2eq \r(29)＋4，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(﹣10，0)，C(0，﹣4)代入，
得，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣eq \f(2,5)x﹣4，
当x＝﹣5时，y＝﹣eq \f(2,5)×(﹣5)﹣4＝﹣2，
∴Q(﹣5，﹣2)；
∵直线l的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x﹣4，
∴当x＝﹣5时，y＝﹣eq \f(1,2)×(﹣5)﹣4＝﹣eq \f(3,2)，
∴F(﹣5，﹣eq \f(3,2))，
∴FQ＝﹣eq \f(3,2)﹣(﹣2)＝eq \f(1,2)，
故△QOC周长的最小值为2eq \r(29)＋4，FQ的长为eq \f(1,2)．
解：(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得
，解得，
故抛物线的表达式为：y＝eq \f(2\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x；
(2)由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，
∵BO⊥AD，则∠BOA＋∠BOC＝90°，∠BOC＋∠OCA＝90°，
∴∠OCA＝∠BOA＝30°，则CD与x轴负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y＝﹣eq \r(3)x＋b，而OB中点的坐标为(eq \f(3,4)，eq \f(\r(3),4))，
将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝eq \r(3)，
故直线CD的表达式为：y＝﹣eq \r(3)x＋eq \r(3)；
(3)设点P(x，eq \f(2\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x)，则点Q(x，﹣eq \r(3)x＋eq \r(3))，
则PQ＝﹣eq \r(3)x＋eq \r(3)﹣(eq \f(2\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x)＝﹣eq \f(2\r(3),3)x2﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)，
∵-eq \f(2\r(3),3)＜0，∴当x＝﹣eq \f(1,4)时，PQ有最大值，
此时点P的坐标为(﹣，)．
解：(1)∵点A(﹣5，0)在抛物线y＝﹣x2﹣4x＋c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5＋c
∴c＝5，
∴点C的坐标为(0，5)；
(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A(﹣5，0)，C(0，5)
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx＋5，
将A(﹣5，0)代入得0＝﹣5k＋5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x＋5，
设P(m，﹣m2﹣4m＋5)，(﹣5＜m＜0)，则H(m，m＋5)，
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
(3)存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x＋5＝﹣(x＋2)2＋9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为(﹣2，m)，点M的坐标为(x，﹣x2﹣4x＋5)，
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，解得，
∴点M的坐标为(﹣3，8)；
②当AM为平行四边形对角线时，
，解得，
∴点M的坐标为(3，﹣16)；
③当AN为平行四边形对角线时，
，解得，
∴点M的坐标为(﹣7，﹣16)；
综上，点M的坐标为：(﹣3，8)或(3，﹣16)或(﹣7，﹣16)．
解：(1)由抛物线顶点式表达式得：y＝a(x﹣2)2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝eq \f(1,2)，
故抛物线的表达式为：y＝eq \f(1,2)(x﹣2)2﹣2＝eq \f(1,2)x2﹣2x①；
(2)①点E是OA的中点，则点E(2，0)，圆的半径为1，则点B(1，0)，
当点P在x轴下方时，
如图1，∵tan∠MBC＝2，
故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x＋s，将点B(1，0)的坐标代入上式并解得：s＝2，
故直线BP的表达式为：y＝﹣2x＋2②，
联立①②并解得：x＝±2(舍去﹣2)，故m＝2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m＝4±2eq \r(3)(舍去4﹣2eq \r(3))；故m＝2或4＋2eq \r(3)；
②存在，理由：连接BN、BD、EM，
则BN是△OEM的中位线，故BN＝eq \f(1,2)EM＝eq \f(1,2)，而BD＝eq \r(5)，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD＋BN，即eq \r(5)﹣eq \f(1,2)≤ND≤eq \r(5)＋eq \f(1,2)，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为eq \r(5)﹣eq \f(1,2)和eq \r(5)＋eq \f(1,2)．
解：(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝x2＋bx＋c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)①由(1)可知，C(0，﹣3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋m，
将C(0，﹣3)，B(3，0)代入得，
，∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D(1，1)，
设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，
将C(0，﹣3)，D(1，1)代 入得，
，解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝eq \f(3,4)，∴E(eq \f(3,4)，0)，∴OE＝eq \f(3,4)．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：(Ⅰ)若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F(1，1)，
由点D在直线MN上，设D(t，t)，
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G(1，t)，
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC(AAS)，
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D(4，4)，
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB(AAS)，
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D(﹣2，﹣2)；
(Ⅱ)若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D(t，t)，F(1，n)，
同理可证△DHC≌△BPF(AAS)，
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣(﹣3)＝t＋3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，∴，
∴D(2，2)，F(1，﹣5)，
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为(1，1)时，点D的坐标为(4，4)或(﹣2，﹣2)；
当点F的坐标为(1，﹣5)时，点D的坐标为(2，2)．