2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习15（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习15（含答案），共15页。

如图①，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝αx2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.
(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标.
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，其中点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；
(3)设点P是抛物线上且在x轴上方的任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.
如图，二次函数y=﹣eq \f(1,3)x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8，0)
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣8与x轴交于点A(﹣2，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
(2)设点P的横坐标为m(0＜m＜3)，在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；
(3)连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO＋∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
已知：抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋(eq \f(1,2)m﹣1)x＋m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围)；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)三点，直线y=kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；
(3)点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标.
如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)若C(0，﹣3)，求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；
(3)如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求的值．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线L：y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；
(2)如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，
设P(m，m2﹣4m＋3)，
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E(3，3)，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G(m，m)，
∴PG＝m﹣(m2﹣4m＋3)＝﹣m2＋5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG＋S△EPG＝eq \f(1,2)PG•AE＝eq \f(1,2)×3×(﹣m2＋5m﹣3)＝﹣eq \f(3,2)(m2﹣5m＋3)
＝﹣(m﹣)2＋，
∵﹣eq \f(3,2)＜0，
∴当m＝eq \f(5,2)时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为(eq \f(5,2)，﹣eq \f(3,4))；
(3)由y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为(2，﹣1)，
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F(2，﹣1＋h)．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E(2，3)，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M(2，2)，
∵点F在△OAE内(包括△OAE的边界)，
∴2≤﹣1＋h≤3，解得3≤h≤4；
(4)设P(m，m2﹣4m＋3)，分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM＋∠NPF＝∠PFN＋∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF(AAS)，
∴OM＝PN，
∵P(m，m2﹣4m＋3)，
则﹣m2＋4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝eq \f(5,2)＋eq \f(\r(5),2)(舍)或eq \f(5,2)﹣eq \f(\r(5),2)，
∴P的坐标为(eq \f(5,2)﹣eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(5),2))；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m＋3，解得：m1＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(5),2)(舍)或m2＝eq \f(3,2)﹣eq \f(\r(5),2)，
∴P的坐标为(eq \f(3,2)﹣eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)＋eq \f(\r(5),2))；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2＋4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(5),2)或m2＝eq \f(3,2)﹣eq \f(\r(5),2)(舍)；
P的坐标为(eq \f(3,2)＋eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(5),2))；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，
同理得m2﹣4m＋3＝m﹣2，解得：m＝eq \f(5,2)＋eq \f(\r(5),2)或eq \f(5,2)﹣eq \f(\r(5),2)(舍)，
P的坐标为：(eq \f(5,2)＋eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)＋eq \f(\r(5),2))；
综上所述，点P的坐标是：
(eq \f(5,2)﹣eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(5),2))或(eq \f(3,2)﹣eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)＋eq \f(\r(5),2))或(eq \f(3,2)＋eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(5),2))或(eq \f(5,2)＋eq \f(\r(5),2)，eq \f(1,2)＋eq \f(\r(5),2))．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(1，0)和B(3，0)，
∴.解得：.
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x＋3；
(2)如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P(m，m2﹣4m＋3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋n，
∵点B(3，0)，点C(0，3)，
∴.解得：.
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3.
∴D(m，﹣m＋3).
∴PD＝(﹣m＋3)﹣(m2﹣4m＋3)＝﹣m2＋3m.
∵＝﹣＝﹣＋.
∵﹣eq \f(3,2)<0，
∴当m＝eq \f(3,2)时，S△PBC有最大值.
当m＝eq \f(3,2)时，m2﹣4m＋3＝﹣eq \f(3,4).∴P(eq \f(3,2)，﹣eq \f(3,4)).
(3)如下图，
∵抛物线y＝x2﹣4x＋3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，
∴点E的坐标为(2，1).
∵C(0，3)，
∴EC＝2eq \r(2).
①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，
根据菱形的四条边相等，
∴EM1=EM2=EC=2eq \r(2).
∵点M在对称轴x＝2上，
∴M1(2,1+2eq \r(2))，M2(2,1﹣2eq \r(2)).
②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，
∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，
∴△CN3F是等腰直角三角形.
∴EM3=CN3=eq \r(2)CF=2.
则点M3的坐标为(2，3).
综上，M点的坐标为(2，1＋2eq \r(2))或(2，1﹣2eq \r(2))或(2，3).
解：(1)把点B(3，0)，点C(0，3)代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，即抛物线的对称轴是：x＝1，
设原抛物线的顶点为D，
∵点B(3，0)，点C(0，3).
易得BC的解析式为：y＝﹣x＋3，
当x＝1时，y＝2，
如图1，当抛物线的顶点D(1，2)，此时点D在线段BC上，
抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣1)2＋2＝﹣x2＋2x＋1，
h＝3﹣1＝2，
当抛物线的顶点D(1，0)，此时点D在x轴上，
抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣1)2＋0＝﹣x2＋2x﹣1，
h＝3＋1＝4，
∴h的取值范围是2≤h≤4；
(3)设P(m，﹣m2＋2m＋3)，
如图2，△PQB是等腰直角三角形，且PQ＝PB，
过P作MN∥x轴，交直线x＝﹣3于M，过B作BN⊥MN，
易得△BNP≌△PMQ，
∴BN＝PM，即﹣m2＋2m＋3＝m＋3，解得：m1＝0(图3)或m2＝1，
∴P(1，4)或(0，3).
解：(1)将(0，0)，(8，0)代入y=﹣eq \f(1,3)x2+bx+c，得：
，解得：，
∴该二次函数的解析式为y=﹣eq \f(1,3)x2+x．
(2)当y=m时，﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(8,3)x=m，解得：x1=4﹣，x2=4+，
∴点A的坐标为(4﹣，m)，点B的坐标为(4+，m)，
∴点D的坐标为(4﹣，0)，点C的坐标为(4+，0)．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+﹣(4﹣)=m，解得：m1=﹣16(舍去)，m2=4．
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
(3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由(2)可知：点A的坐标为(2，4)，点B的坐标为(6，4)，点C的坐标为(6，0)，
点D的坐标为(2，0)．
设直线AC的解析式为y=kx+a(k≠0)，
将A(2，4)，C(6，0)代入y=kx+a，得：
，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+6．
当x=2+t时，y=﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(8,3)x=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(4,3)t+4，y=﹣x+6=﹣t+4，
∴点E的坐标为(2+t，﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(4,3)t+4)，点F的坐标为(2+t，﹣t+4)．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ=EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ=t，EF=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(4,3)t+4﹣(﹣t+4)=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(7,3)t，
∴t=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(7,3)t，解得：t1=0(舍去)，t2=4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ=t﹣4，EF=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(4,3)t+4﹣(﹣t+4)=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(7,3)t，
∴t﹣4=﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(7,3)t，解得：t3=﹣2(舍去)，t4=6；
③当7＜t≤8时，AQ=t﹣4，EF=﹣t+4﹣(﹣eq \f(1,3)t2+eq \f(4,3)t+4)=eq \f(1,3)t2﹣eq \f(7,3)t，
∴t﹣4=eq \f(1,3)t2﹣eq \f(7,3)t，解得：t5=5﹣eq \r(13)(舍去)，t6=5+eq \r(13)(舍去)．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．

解：(1)把A(﹣2，0)，B(8，0)分别代入y＝ax2＋bx﹣8中，
则，解得，
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2﹣3x﹣8；
令x＝0．则y＝﹣8，
∴C(0，﹣8)，
设直线BC解析式为y＝kx﹣8(k≠0)，
把B(8，0)代入解析式得，8k﹣8＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC解析式为y＝x﹣8；
(2)∵点P的横坐标为m(0＜m＜3)，
∴P(m，eq \f(1,2)m2﹣3m﹣8)，D(m，m﹣8)，
∴PD＝(m﹣8)﹣(eq \f(1,2)m2﹣3m﹣8)＝﹣eq \f(1,2)m2＋4m，过点P作PN⊥PD于N，
∵△PDF是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴PN＝DN，
∴FN＝eq \f(1,2)PD，
∴S△PDF＝eq \f(1,2)PDFN＝eq \f(1,4)PD2＝9，
∴PD＝6，
∴﹣eq \f(1,2)m2＋4m＝6，解得：m1＝6，m2＝2，
又∵0＜m＜3，
∴m＝2；
(3)存在，理由如下：由(2)得△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ACO＋∠BCM＝∠ABC＝∠BCO＝45°，
①如图，当点M在BC的上方时，设CM与x轴交于一点D，
∵∠ACO＋∠BCD＝∠ABC＝∠BCO＝∠OCD＋∠BCD，
∴∠ACO＝∠DCO，
∵OC⊥AD，OC＝OC，
∴△AOC≌△COD(ASA)，
∴OD＝OA＝2，
∴D(2，0)，
设直线CM解析式为y＝nx﹣8(n≠0)，
则2n﹣8＝0，解得：n＝4，
∴直线CM解析式为y＝4x﹣8，
则，解得：或 (舍去)，
∴此时点M的坐标为(14，48)；
②如图，当点M在BC的下方时，
过B作x轴的垂线，过C作y轴的垂线，两条垂线交于一点H，作∠HCK＝∠ACO，CK交抛物线与点M，
由(2)得△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCO＝45°，
∴∠BCH＝45°，
即∠BCM＋∠MCH﹣45°，
∵∠ACO＋∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴∠ACQ＝∠MCH，
又∵∠AOC＝∠KHC＝90°，
∵OB＝OC．∠COB＝∠OCH＝∠OBH＝90°，
∴四边形OCHB正方形，
∵OC＝OH，
∴△AOC≌△KHC(ASA)，
∴KH＝OA＝2，
∴BK＝BH﹣KH＝8﹣2＝6，
∴K(8，﹣6)，
设直线CK的解析式为y＝ex﹣8(e≠0)，
∴﹣6＝8e﹣8，解得：e＝eq \f(1,4)，
∴直线CK的解析式为y＝eq \f(1,4)x﹣8，
则，解得或 (舍去)，∴M(，﹣)；
综上所述，点M坐标为(14，48)或(，﹣)．
解：(1)由y＝﹣eq \f(1,2)x2＋(eq \f(1,2)m﹣1)x＋m，令y＝0，则(x＋2)(x﹣m)＝0，
∴AO＝2，BO＝m，
∴A(﹣2，0)，B(m，0)，
∵AB＝7，
∴m﹣(﹣2)＝7，m＝5，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋5；
(2)过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D(d，﹣eq \f(1,2)d2＋eq \f(3,2)d＋5)，
∴＝．
∴EO＝AOtanα＝5﹣d，CE＝5﹣(5﹣d)＝d，
∴；
(3)过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．
∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，
∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，
∴△CEF≌△DHE(ASA)，
∵EF∥DN，NF∥DE，
∴四边形EDNF为平行四边形，
∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，
∴△CFN为等腰直角三角形，
∴∠PCN＝∠FNC＝45°，
∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，
∴PC＝PN＝5k，
∴PD＝2k，
∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，
∴(d﹣3k)2＋(d﹣2k)2＝(5k)2，
∴(d﹣6k)(d＋k)＝0，
∴d＝6k，d＝﹣k(舍去)，
∴在Rt△DHE中，tan，
由(2)知，∴．
∴d＝4，
∴D(4，3)，
∴S=8．
解：(1)把点B(4，0)，C(0，2)代入直线y=kx+t，得：
，解得，∴y=﹣eq \f(1,2)x+2；
把点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)代入y=ax2+bx+c，
得：，解得，∴y=eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,2)x+2；
(2)设点D坐标为(m，eq \f(1,2) m2﹣eq \f(5,2)m+2)，E点的坐标为(m，﹣eq \f(1,2) m+2)，
∴DE=(﹣eq \f(1,2)m+2)﹣(eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m+2)=﹣eq \f(1,2)m2+2m=﹣eq \f(1,2)(m﹣2)2+2，
∴当m=2时，DE的长最大，为2，当m=2时，eq \f(1,2) m2﹣eq \f(5,2)m+2=﹣1，
∴D(2，﹣1)；
(3)①当D在E下方时，如(2)中，DE=﹣eq \f(1,2)m2+2m，OC=2，OC∥DE，
∴当DE=OC时，四边形OCED为平行四边形，
则﹣eq \f(1,2)m2+2m=2，解得m=2，此时D(2，﹣1)；
②当D在E上方时，DE=(eq \f(1,2)m2﹣eq \f(5,2)m+2)﹣(﹣eq \f(1,2)m+2)=eq \f(1,2)m2﹣2m，
令eq \f(1,2)m2﹣2m=2，解得m=2±2eq \r(2)，
∴此时D(2+2eq \r(2)，3﹣eq \r(2))或(2﹣2eq \r(2)，3+eq \r(2))，
综上所述，点D的坐标是(2，﹣1)或(2+2eq \r(2)，3﹣eq \r(2))或(2﹣2eq \r(2)，3+eq \r(2))时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形.
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)代入函数解析式y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)如图1，过点A作AG∥y轴交BC的延长线与点G，过点F作FM∥y轴交BC于点M，
设BC表达式为y＝kx＋m，将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴BC表达式为y＝x﹣3，
∵AG∥y轴，A(﹣1，0)，
∴G(﹣1，﹣4)，
∴AG＝4，
F(t，t2﹣2t﹣3)，
∵FM∥y轴，
∴M (t，t﹣3)，
∴MF＝t﹣3﹣t2＋2t＋3＝﹣t2＋3t，
∵AG∥y轴，FM∥y轴，
∴AG∥FM，
∴△AGE∽△FME，
∴＝＝＝﹣ (t2﹣3t)＝﹣ (t﹣)2＋，
∴当t＝时，有最大值是；
(3)过点E作EI⊥x轴于点I，过点F作FH⊥x轴于点H，
设点N (0，n)，AN表达式为y＝k1x＋n，
将点A(﹣1，0)代入得k1＝n，
∴AN表达式为y＝nx＋n，联立y＝x2﹣2x﹣3得：
，
即：nx＋n＝x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣(2＋n)x﹣(3＋n)＝0，解得x1＝3＋n．x2＝﹣1(舍)，
∴E点的横坐标为3＋n，
∵EI⊥x轴，
∴I点的横坐标为3＋n，
∴OI＝3＋n，
同理BN的直线表达式为v﹣y＝﹣eq \f(1,3)nx＋n，F点的横坐标为﹣1-eq \f(1,3)n，
∴OH＝1+eq \f(1,3)n，
∵EI⊥x轴，FH⊥x轴，
∴ON∥IE，ON∥HF，
又∵OA＝1，OB＝3，
∴，，
∴＝＝．