2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习09（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习09（含答案），共20页。
(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)判断△ABM的形状,并说明理由；
(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点．
已知二次函数y＝x2＋(k﹣2)x﹣2k．
(1)当此二次函数的图象与x轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；
(2)当k＞0时，直线y＝kx十2交抛物线于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P在线段AB上，过点P做PM垂直x轴于点M，交抛物线于点N．
①求PN的最大值(用含k的代数式表示)；
②若抛物线与x轴交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线y＝kx＋2上是否存在唯一一点Q，使得∠EQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(﹣1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝eq \f(1,2)OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PO＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，已知顶点为C(0，﹣3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.
(1)求m的值；
(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式；
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

\s 0 答案
解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：
由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B(﹣2，0)、C(8，0)、D(13，10)，
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，解得：EO＝4，
∴点E坐标为(0，4)，
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x﹣8)，
将E点代入得：4＝a×2×(﹣8)，解得：a＝﹣eq \f(1,4)，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣eq \f(1,4)(x＋2)(x﹣8)＝﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4；
(2)抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由(1)可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
当x＝3时，y＝eq \f(25,4)，∴该抛物线的顶点坐标为(3，eq \f(25,4))，
又∵F是AD的中点，
∴F(8，10)，
设直线EF的解析式为：y＝kx＋b，将E(0，4)，F(8，10)代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝eq \f(3,4)，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝eq \f(25,4)，故抛物线的顶点在直线EF上；
(3)由(1)(2)可知：A(3，10)，
设直线AB的解析式为：y＝k'x＋b'，将B(﹣2，0)，A(3，10)代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x＋4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x＋b1，将F(8，10)代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为(0，﹣6)，
设M(0，m)，直线BM的解析式为：y＝k2x＋b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：(x＋2)(x﹣8＋2m)＝0，解得：x1＝﹣2(舍去)，x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝eq \f(1,2)MQ×(|xP|＋|xB|)
＝＝﹣(m＋)2＋，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣eq \f(1,2)时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×(﹣eq \f(1,2))＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣eq \f(11,4)，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为(9，﹣eq \f(11,4))．
解：(1)∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A(﹣1，0)，
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B(2，3)，
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，
把A、B两点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣1；
(2)△ABM为直角三角形．理由如：
由(1)抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为(0，﹣1)，
∴AM=eq \r(2)，AB=3eq \r(2)，BM=2eq \r(5)，
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；
(3)当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为(m，2m)时，
其解析式为y=(x﹣m)2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，
可得，消去y整理可得x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即(2m+1)2﹣4(m2+2m)≥0，解得m≤eq \f(1,4)，
即当m≤eq \f(1,4)时，平移后的抛物线总有不动点．
解：(1)当y＝0时，x2＋2(k﹣2)x﹣2k＝0，
∴(x﹣2)(x＋k)＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣k，
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴k＝﹣2，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x＋4；
(2)①设点P的坐标为(m，km＋2)，则点N的坐标为(m，m2＋(k﹣2)m﹣2k)，
∴PN＝km＋2﹣[m2＋(k﹣2)m﹣2k]＝﹣m2＋2m＋2＋2k＝﹣(m﹣1)2＋3＋2k，
∴当m＝1时，PN取得最大值，最大值为3＋2k；
②如图，存在唯一的Q点，使∠EQO＝90°：设直线y＝kx＋2交x周于G，交y轴于H，OE的中点记作I，作IQ⊥GH于Q，连接IH，
当IQ＝eq \f(1,2)OE，∠EQO＝90°且有唯一的点Q，
当y＝0时，kx＋2＝0，
∴x＝﹣，∴OG＝，
当x＝0时，y＝2，
∴OH＝2，
∴GH＝，
由(1)知：OE＝k，∴OI＝IQ＝，
∵S△GOH＝S△HOI＋S△GIH，
∴，
∴2×＝2×＋，
∴k＝eq \f(4,3)．
解：(1)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3；
(2)对于y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3，令y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为(4，0)，则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
设点P的坐标为(x，﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3)，则点E(x，﹣eq \f(3,4)x＋3)，
则矩形PEGF的面积＝PF•PE
＝2×(﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3＋eq \f(3,4)x﹣3)＝3S△BOC＝3×eq \f(1,2)×BO•CO＝eq \f(3,2)×3×1，解得x＝1或3，
故点P的坐标为(1，eq \f(9,2))或(3，3)；
(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝eq \f(3,2)，故点Q的坐标为(eq \f(3,2)，n)，
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，
设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝eq \f(3,4)，则tan∠BHO＝eq \f(4,3)，
故设直线BQ的表达式为y＝eq \f(4,3)x＋t，
该直线过点B(0，3)，故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝eq \f(4,3)x＋3，
当x＝eq \f(3,2)时，y＝eq \f(4,3)x＋3＝5，即n＝5；
②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN＋∠MQA＝90°，∠MQA＋∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，解得n＝eq \f(3,2)±eq \r(6)；
③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣eq \f(10,3)；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣eq \f(10,3)＜n＜eq \f(3,2)﹣eq \r(6)或eq \f(3,2)＋eq \r(6)＜n＜5．
解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴y＝x2＋2x﹣3；
(2)如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋n，
∴，∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是(m，m2＋2m﹣3)，则M的坐标是(m，﹣m﹣3)，
∴PM＝﹣m﹣3﹣(m2＋2m﹣3)＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝eq \f(1,2)PMOA＝eq \f(3,2)(﹣m2﹣3m)＝﹣eq \f(3,2)m2﹣eq \f(9,2)m(﹣3＜m＜0)；
(3)分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t＋1，﹣t)，
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴(t﹣0)2＋(﹣t﹣3＋3)2＝12＋32，
∴t＝±eq \r(5)，
∵t＜0，
∴t＝﹣eq \r(5)，
∴E(﹣eq \r(5)＋1，eq \r(5))；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t﹣1，﹣t﹣6)，
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴(t﹣1﹣0)2＋(﹣t﹣6＋3)2＝12＋32，
∴t＝0(舍)或﹣2，
∴E(﹣3，﹣4)；
综上所述，点E的坐标为(﹣eq \r(5)＋1，)或(﹣3，﹣4)．
解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，
∴A(4，0)，C(0，3)，
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线的顶点的横坐标为2，
∵顶点在BC边上，
∴抛物线顶点坐标为(2，3)，
设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2＋3，
把(0，0)坐标代入可得0＝a(0﹣2)2＋3，解得a＝﹣eq \f(3,4)，
∴抛物线解析式为y＝﹣eq \f(3,4)(x﹣2)2＋3，即y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x；
(2)连接PA，如图，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PO，
∴PO＋PC＝PA＋PC.
当点P与点D重合时，PA＋PC＝AC；
当点P不与点D重合时，PA＋PC＞AC；
∴当点P与点D重合时，PO＋PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
根据题意，得，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
当x＝2时，y＝﹣eq \f(3,4)x＋3＝eq \f(3,2)，则D(2，eq \f(3,2))，
∴当PO＋PC的值最小时，点P的坐标为(2，eq \f(3,2))；
(3)存在.
当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2，3)，则P(2，0)；
当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x＝6时，y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(6，﹣9)，则点A(4，0)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C(0，3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P(2，﹣6)；
当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(﹣2，﹣9)，则点C(0，3)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A(4，0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P(2，﹣12)；
综上所述，P(2，0)，Q(2，3)或P(2，﹣6)，Q(6，﹣9)或P(2，﹣12)，Q(﹣2，﹣9).
解：(1)将(0，﹣3)代入y=x+m，
可得：m=﹣3；
(2)将y=0代入y=x﹣3得：x=3，
所以点B的坐标为(3，0)，
将(0，﹣3)、(3，0)代入y=ax2+b中，
可得：，解得：，
所以二次函数的解析式为：y=eq \f(1,3)x2﹣3；
(3)存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，
∴OD=OC•tan30°=eq \r(3)，
设DC为y=kx﹣3，代入(eq \r(3)，0)，可得：k=eq \r(3)，
联立两个方程可得：，解得：，
所以M1(3eq \r(3)，6)；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，
∴OE=OC•tan60°=3eq \r(3)，
设EC为y=kx﹣3，代入(3eq \r(3)，0)可得：k=eq \f(\r(3),3)，
联立两个方程可得：，解得：，
所以M2(eq \r(3)，﹣2)，
综上所述M的坐标为(3eq \r(3)，6)或(eq \r(3)，﹣2).
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．
∴，解得，∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B(2，0)、C(0，2)代入得：
，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如答图1，连接BC．
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．
设P(x，﹣x2+x+2)，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F(x，﹣x+2)．
∴PF=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x．
S△PBC=S△PFC+S△PFB=eq \f(1,2)PF(xF﹣xC)+eq \f(1,2)PF(xB﹣xF)=eq \f(1,2)PF(xB﹣xC)=PF
∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1
∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P(1，2)．
∴当点P坐标为(1，2)时，四边形ABPC的面积最大．
(3)存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，
又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，
∴=，即=，解得AE=eq \f(5,2)，∴E(eq \f(3,2)，0)．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D(﹣eq \f(1,2)，1)．
可求得直线DE的解析式为：y=﹣eq \f(1,2)x+eq \f(3,4) ①．
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣eq \f(1,2))2+eq \f(9,4)，∴M(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))．
又A(﹣1，0)，则可求得直线AM的解析式为：y=eq \f(3,2)x+eq \f(3,2) ②．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．
如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．
联立①②式，可求得交点G的坐标为(﹣eq \f(3,8)，eq \f(15,16))．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为(﹣eq \f(3,8)，eq \f(15,16))．