2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习09（含答案）

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如图，抛物线与x轴交于点A(﹣eq \f(1,3)，0)、点B(2，0)，与y轴交于点C(0，1)，连接BC．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t(﹣eq \f(1,3)＜t＜2)，求△ABN的面积S与t的函数关系式；
(3)若﹣eq \f(1,3)＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
如图1，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为(6，6)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B两点，且3a﹣b=﹣1.
(1)请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
(2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动.设运动时间为t秒，△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.
如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．
(1)求抛物线C的对称轴．
(2)将直线l向右平移得到直线l1．
①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB＋PC的值最小，求直线l1的解析式．
②如图 ②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数y=﹣x2＋bx＋c(c＞0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S.求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝eq \f(5,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的“衍生直线”为y＝﹣ax＋eq \f(1,2)b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．
如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与其“衍生直线”交于A，D两点(点A在点D的左侧)，与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．
(1)填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ；B的坐标为 ；D的坐标为 ．
(2)如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．
(3)抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN＝eq \f(\r(2),2)，连接PM，CN，当PM＋MN＋CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线y=-eq \f(1,3)(x-m)2﹣n的顶点P在直线y=﹣x﹣4上，与y轴交于点C(点P、C不与点B重合)，以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．
(1)n= (用含m的代数式表示),点C的纵坐标是 (用含m的代数式表示)．
(2)当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
(3)设矩形BCDE的周长为d(d＞0)，求d与m之间的函数表达式．
(4)直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
如图，直线y1=kx﹣2与x轴交于点A(m，0)(m＞4)，与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax﹣c(a＜0)经过A，B两点．P为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．
(1)当m=5时，
①求抛物线的关系式；
②设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示PQ的长，并求当x为何值时，PQ=1.6；
(2)若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．
\s 0 答案
解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：
，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣eq \f(3,2)x2+eq \f(5,2)x+1；
(2)当﹣eq \f(1,3)＜t＜2时，yN＞0，∴NP==yN=﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1，
∴S=eq \f(1,2)ABPN=eq \f(1,2)×(2+eq \f(1,3))×(﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1)=eq \f(7,6)(﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1)=﹣eq \f(7,4)t2+t+eq \f(7,6)；
(3)∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．
①当﹣eq \f(1,3)＜t＜0时，PN==yN=﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1，PO==﹣t，∴﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1=﹣2t，
整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．
∵＞0，﹣eq \f(1,3)＜＜0，
∴t=，此时点N的坐标为(，)；
②当0＜t＜2时，PN==yN=﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1，PO==t，∴﹣eq \f(3,2)t2+eq \f(5,2)t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣eq \f(2,3)，t4=1．
∵﹣eq \f(2,3)＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为(1，2)．
综上所述：点N的坐标为(，)或(1，2)．
解：(1)已知点A(0，6)，B(6，6)在抛物线上，且3a﹣b=﹣1，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣eq \f(1,9)x2+eq \f(2,3)x+6.
(2)①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，
S=eq \f(1,2)BE×BF=eq \f(1,2)(6﹣t)t=﹣eq \f(1,2)t2+3t=﹣eq \f(1,2)(t﹣3)2+eq \f(9,2).当t=3时，S有最大值eq \f(9,2).
②假设存在，当S取得最大值时，由①知t=3，∴点E(3，6)，点F(6，3).
以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图)：
(i)以BE为对角线时，
∵点B(6，6)，点E(3，6)，点F(6，3)，∴点R(6+3﹣6，6+6﹣3)，即(3，9)；
(ii)以BF为对角线时，
∵点B(6，6)，点E(3，6)，点F(6，3)，∴点R(6+6﹣3，6+3﹣6)，即(9，3)；
(iii)以EF为对角线时，
∵点B(6，6)，点E(3，6)，点F(6，3)，∴点R(6+3﹣6，6+3﹣6)，即(3，3).
∵点R在抛物线y=﹣eq \f(1,9)x2+eq \f(2,3)x+6上，∴点R的坐标为(9，3).
故抛物线上存在点R(9，3)，使得四边形EBRF为平行四边形.
解：(1)在y＝﹣3x﹣6中，令y＝0，
即﹣3x﹣6＝0，x＝﹣2，得A(﹣2，0)．
令x＝0，得y＝﹣6，得C(0，﹣6)，
将点A、C的坐标代入抛物线C的表达式，
得：，解得，
∴抛物线C的解析式为y＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6，其对称轴为x＝2；
(2)①如图，连接BC交DE于点P′，
则PB＋PC≥BC．当点P到达点P时，
PB＋PC＝QP′B＋P′C＝BC的值最小，
令y＝0，即0＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6，解得 x1＝﹣2，x2＝6．
∴点B坐标为(6，0)．
设直线BC的表达式为 y＝kx＋h，
则：，解得．
∴y＝x﹣6，
当x＝2时，y＝2﹣6＝﹣4．
∴点P′即点P的坐标为(2，﹣4)，
∵将直线l：y＝﹣3x﹣6向右平移得到直线l1，
∴设直线l1的解析式为y＝﹣3x＋h1．则﹣4＝﹣3×2＋h1，
∴h1＝2．
∴直线l1的解析式为y＝﹣3x＋2；
②存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形．
由点F在直线BC：y＝x﹣6上，可设点F(m，m﹣6)．
Ⅰ当AM为边时，如图，过点A作AM∥CB交l1于点M．
∵FM∥CA，
∴当FM＝CA时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当CA＝CF时，▱ACFM是菱形．
过点F作FH⊥CO于H，则CH＝|(m﹣6)﹣(﹣6)|＝|m|．CF2＝CH2＋FH2＝m2＋m2＝2m2，
∵CA2＝22＋62＝40，
∴2m2＝40，∴m1=2eq \r(5),m2=﹣2eq \r(5)(舍去)，
∴F(2eq \r(5)，2eq \r(5)﹣6)．
∵FM∥CA且FM＝CA，
∴可将CA先向右平移2eq \r(5)单位、再向上平移2eq \r(5)单位得到FM，
即可将点A(﹣2，0)先向右平移2eq \r(5)单位、再向上平移2eq \r(5)单位得到点M．
故点M的坐标为(2eq \r(5)﹣2，2eq \r(5))；
Ⅱ当AM为对角线时，连接AF，过点C作CM∥AF交l1于点M．
∵FM∥AC，
∴当FM＝AC时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当AC＝AF时，▱ACMF是菱形．
∵AF2＝(m＋2)2＋(m﹣6)2，CA2＝40，
∴(m＋2)2＋(m﹣6)2＝40，
∴m1＝4，m2＝0(舍去)，
∴点F的坐标为(4，﹣2)．
∵FM∥AC且FM＝AC，
∴可将AC先向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到FM，
即可将点C(0，﹣6)先向右平移6单位、再向下平移2单位得到点M．
∴点M的坐标为(6，﹣8)．
综上，点M的坐标为(2eq \r(5)﹣2，2eq \r(5))或(6，﹣8)．
解：(1)∵OB=OC=3，∴B(3，0)，C(0，3)
∴，解得
∴二次函数的解析式为y=﹣x2＋2x＋3；
(2)y=﹣x2＋2x＋3=﹣(x﹣1)2＋4，M(1，4)
设直线MB的解析式为y=kx＋n，则有
解得
∴直线MB的解析式为y=﹣2x＋6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为(m，﹣2m＋6)
S四边形ACPQ=S△AOC＋S梯形PQOC=eq \f(1,2)AO•CO＋eq \f(1,2)(PQ＋CO)•OQ(1≤m＜3)
=eq \f(1,2)×1×3＋eq \f(1,2)(﹣2m＋6＋3)•m=﹣m2＋eq \f(9,2)m＋eq \f(3,2)；
(3)线段BM上存在点N(eq \f(7,5)，3.2)，(2，2)，(1＋eq \f(\r(10),5)，4﹣eq \f(2,5)eq \r(10))使△NMC为等腰三角形
CM=，CN=，MN=
当CM=NC时，，解得x1=eq \f(7,5)，x2=1(舍去)此时N(eq \f(7,5)，3.2)
当CM=MN时，，解得x1=1＋eq \f(\r(10),5)，x2=1﹣eq \f(\r(10),5)(舍去)，
此时N(1＋eq \f(\r(10),5)，4﹣eq \f(2,5)eq \r(10))
当CN=MN时， =解得x=2，此时N(2，2)．
解：(1)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x＋4①；
(2)对于y＝x2﹣5x＋4，令y＝x2﹣5x＋4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为(4，0)，点C(0，4)，
设直线BC的表达式为y＝kx＋t，
则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，
设点P的坐标为(x，﹣x＋4)，则点Q的坐标为(x，x2﹣5x＋4)，
则PQ＝(﹣x＋4)﹣(x2﹣5x＋4)＝﹣x2＋4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为(2，﹣2)；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
(3)∵D是OC的中点，则点D(0，2)，
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x＋2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x＋r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，
故点E的坐标为(5，4)，
设点F的坐标为(0，m)，
由点B、E的坐标得：BE2＝(5﹣4)2＋(4﹣0)2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16＋m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25＋(m﹣4)2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16＋m2＝25＋(m﹣4)2，解得m＝；
故点F的坐标为(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3，
∴其“衍生直线”的解析式为y＝x＋1，
由﹣x2＋2x＋3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴B(3，0)，
由﹣x2＋2x＋3＝x＋1，解得：x＝﹣1或2，
∴D(2，3)，
故答案为：y＝x＋1；(3，0)；(2，3)．
(2)∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
∴AB＝4，
设直线AD交y轴于点T，则T(0，1)，
∴OA＝OT，即△AOT是等腰直角三角形，
∴∠DAB＝45°，
∵三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，
∴点E在点A与点B之间，点F在直线AD上或点E与点A重合，如图1，
当点E在点A与点B之间，点F在直线AD上时，设F1(t，t＋1)，
由翻折得：DF1＝DB＝eq \r(10)，
∴(t﹣2)2＋(t＋1﹣3)2＝10，解得：t＝2±eq \r(5)，
∵t＜2，
∴t＝2﹣eq \r(5)，
∴F1(2﹣eq \r(5)，3﹣eq \r(5))；
当点E与点A重合时，由翻折得：∠DAF＝∠DAB＝45°，AF＝AB＝4，
∴F2(﹣1，4)；
综上所述，点F的坐标为：F1(2﹣eq \r(5)，3﹣eq \r(5))或F2(﹣1，4)；
(3)∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴P(1，4)，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
过点P作PR∥x轴，过点A作AR∥y轴，则R(﹣1，4)，作点P关于直线AD的对称点P′，过点P′作P′K⊥x轴于点K，由(2)知∠DAB＝45°，
∴∠DAR＝45°，
∵AP′＝AP，∠P′AD＝∠PAD，
∴∠PAR＝∠P′AK，
∵∠ARP＝∠AKP′＝90°，
∴△APR≌△AP′K(AAS)，
∴AK＝AR＝4，P′K＝PR＝2，
∴P′(3，2)，
将线段P′M沿着直线DA的方向平移eq \f(\r(2),2)个单位，即向左平移eq \f(1,2)个单位，向下平移eq \f(1,2)个单位，得到线段P″N，则P″(eq \f(5,2)，eq \f(3,2))，当C、N、P″三点共线时，PM＋MN＋CN最短；即直线CP″交直线AD于点N，设直线CP″的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线CP″的解析式为y＝﹣eq \f(3,5)x＋3，
由x＋1＝﹣eq \f(3,5)x＋3，解得：x＝eq \f(5,4)，
∴N(eq \f(5,4)，eq \f(9,4))．
解：(1)y=﹣eq \f(1,3)(x﹣m)2﹣n=﹣eq \f(1,3)x2﹣eq \f(2,3)mx﹣eq \f(1,3)m2﹣n，∴P(m，n)，
∵点P在直线y=﹣x﹣4上，∴n=﹣m﹣4，
当x=0时，y=﹣eq \f(1,3)m2﹣n=﹣eq \f(1,3)m2﹣m﹣4，即点C的纵坐标为：﹣eq \f(1,3)m2﹣m﹣4，
故答案为：﹣m﹣4，﹣eq \f(1,3)m2﹣m﹣4；
(2)∵四边形BCDE是矩形，∴DE∥y轴．∵CD=2，∴当x=2时，y=2．
∴DE与AB的交点坐标为(2，2)．
∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为(2，2)．
∴抛物线对应的函数表达式为y=-eq \f(1,3)(x-2)2+2．
(3)∵直线y=﹣x﹣4与y轴交于点B，∴点B的坐标是(0，4)．
当点B与点C重合时，-eq \f(1,3)m2-m+4=4．解得m1=0，m2=﹣3．
i)当m＜﹣3或m＞0时，如图①、②，
．．
ii)当﹣3＜m＜0时，如图③，
．．
(4)如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为：x=±1，即m=±1；
如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B(0，4)和CD=2得：E(﹣2，4)
则4=﹣eq \f(1,3)(﹣2﹣m)2﹣(﹣m﹣4)，解得：、．
综上所述：m=1、m=﹣1、、．
解：(1)①∵m=5，∴点A的坐标为(5，0)，
把A(5，0)代入y1=kx﹣2得5k﹣2=0，解得k=﹣eq \f(2,5)，
∴直线解析式为y1=﹣eq \f(2,5)x﹣2，当x=0时，y1=2，∴点B的坐标为(0，2)．
将A(5，0)，B(0，2)代入y2=ax2-4ax+c，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y=﹣eq \f(2,5)x2﹣1.6x﹣2；
②设点P的坐标为(x，﹣eq \f(2,5)x﹣2)，则Q(x，﹣eq \f(2,5)x2﹣1.6x﹣2)，
∴PQ=﹣eq \f(2,5)x2﹣1.6x﹣2﹣(﹣eq \f(2,5)x﹣2)=﹣eq \f(5,2)x2﹣2x，
而PQ=1.6，∴﹣eq \f(5,2)x2﹣2x=1.6，解得：x1=1，x2=4，
∴当x=1或x=4时，PQ=1.6；
(2)设P(x，kx﹣2)，则Q(x，ax2﹣4ax﹣2)，PQ的长用l表示，
∴l=ax2﹣4ax﹣2﹣(kx﹣2)=ax2﹣(4a﹣k)x，
∵PQ长的最大值为16，如图，
当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；
当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；
当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．