湖南省常德市津市市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 复数的虚部是（ ）
A. 5B. C. D.
2. 判断下列各命题真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 1
3. 设，向量，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方形边长为，点满足，则（ ）
A 4B. 5C. 6D. 8
6. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. （多选）判断下列命题是正确的是（ ）
A. 若不共线，且，则
B. 若，则的充要条件是.
C. 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变
D. 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
10. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 若，则内切圆的半径为2
C. 若，则
D. 若P为内一点满足，则与面积相等
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是________.
13. 已知，，且，则在上的投影向量为______
14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，若，，，，则凸四边形面积的最大值为________．
四、解答题（共5小题，共77分）
15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
16. 已知中，，，，（）．
（1）求取值范围；
（2）若线段上一点满足，求的最小值．
17. 在中，.
（1）求A；
（2）若的内切圆半径，求的最小值.
18. 在锐角三角形ABC中，已知，＝．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．
19. 如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．

（1）当时，求的值；
（2）当时．
①求的值（用含，的式子表示）；
②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值．