重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题 共58分）
本试卷可能用到的公式：




一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设i是虚数单位，复数，则z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
2. 设向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，O坐标原点，A，B，C三点满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动，如图（2）.伞完全收拢时，伞圈D已滑到的位置，且A，B，三点共线，，B为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知O是内一点，，且，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D.
6. 如图，在四边形中，，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ）
A. B. C. D.
8. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分．
9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. ，则D. 若，则
10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等实数根，则m的取值范围是
11. 重庆市第一中学校是一所历史悠久的全国名校，校园安静，环境优美，有大量的绿植，同学们入校后映入眼帘的就是一片树林，树木排列整齐，高大挺拔，枝繁叶茂，形成一道天然屏障，为夏日添一份凉爽.如图是重庆一中入校小树林的树木排列图，其中每一个点代表一棵树木，五角星处是一个鸟类观测点，圆圈处为邓小平雕塑，图中形成一个“心形”区域.据此，下列说法正确的有（ ）
本题中图形和数据如下：米，把看成是以，为直角边等腰直角三角形，为的中点，米，K为BD的中点，//
A
B. 若心形区域内任意一点，那么有最小值
C. 若对两棵树的树顶仰角均为45°，那么两棵树的树顶之间距离为米
D. I为四边形内任意一点（包含边界），，那么的范围为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________．
13. 已知函数的图像上一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则________．
14. 若，，平面内一点P，满足，的最大值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，与垂直，求实数t的值；
（3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）记方程在上的从小到大依次为，，⋯，，试确定n的值，并求的值．
17. 已知分别为三个内角A，B，C的对边，满足：．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
18. 如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，，，．据此回答下列问题：
（1）求值；
（2）P、Q、M、N分别是线段OC、OI、OG、OE上的动点（包含端点），且，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
19. 在非直角中，边长a，b，c满足．（）
（1）求的值（用表示）
（2）若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最小值及的最大值．
（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并求出这个定值：若不存在，请给出一个理由．