甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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命题：鲁耀文 审题：杨柳
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项只有一项符合题目要求．
1. 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可.
【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，
在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．
综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，
故选：A．
2. 已知的顶点，，，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形可得进而即得．
【详解】因为，，，由平行四边形可得，
设，则，
所以，即的坐标为.
故选：B.
3. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A. 623B. 328C. 253D. 007
【答案】A
【解析】
分析】根据随机数表法依次读数即可.
【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
4. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量平行可求得，再由夹角的坐标表示即可得出结果.
【详解】由可知，解得，
即可得，
所以.
故选：B
5. 已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（ ）．
A. 150，15B. 150，20C. 200，15D. 200，20
【答案】A
【解析】
【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.
【详解】由图得样本容量为，
抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．
故选：A.
6. 设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.
【详解】因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，等腰三角形，
所以是等边三角形.
故选：B
7. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.
【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则，，
，因，
于是得，解得，
所以的值为.
故选：B
8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A. 扇形图中D的占比最小
B. 柱形图中A和C一样高
C. 无法计算扇形图中A的占比
D. 估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据柱形图和扇形图，可求得总人数，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：由扇形图可得，D的占比最小，故A正确；
对于B：因为D的人数为18，且D占比为，
所以总人数为人，所以A组人数为，
所以柱形图中A和C一样高，故B正确；
对于C：由（2）可得，A组30人，占比为，故C错误；
对于D：A或C的人数和为60人，总人数为120，占学生总人数的一半，故D正确，
故选：ABD
10. 下列命题中错误的有（ ）
A. 的充要条件是且B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
11. 在中，内角 所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若,则
B. 若的三角形有两解，则a的取值范围为
C. 若点O为内一点，且，则
D. 若是锐角三角形，，则边长c的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正弦定理可判断A；利用正弦定理解三角形可判断B；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断C；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.
【详解】由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；
在中，，∴由正弦定理得,
∵，∴，
要使三角形有两解，得到，且，,
即，解得，故B错误；
如图，取中点D，连接，
则，∴，∴三点共线,
所以，
则，
∴，故C错误；
对选项D，因为是锐角三角形，
所以，整理可得，
解得，故D正确，
故选：AD
12. 已知非零向量，夹角为，现定义一种新运算：．若，，，则（ ）
A. 在上的投影向量的模为B. ，
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量的运算的新定义及向量数量积的概念，逐项分析即得.
【详解】因为，，
对于A，在上的投影向量的模为，，又，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为的值为非负数，
的值可能为负数，故D错误．
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
这10名同学数学成绩的分位数是___________.
【答案】146
【解析】
【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的分位数为：.
故答案为：146
14. 已知，则在方向上的投影为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后利用投影公式计算出投影.
详解】，
所以在方向上的投影为.
故答案为：
15. 如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，，，，
则，
因为，
所以，
所以点与点间的距离为.
故答案为：.
16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由题得,结合正弦定理及面积公式可求a,c，进而利用余弦定理可求b，即得.
【详解】∵在中， ，
由正弦定理得，又，的面积为，
∴，
∴，
由余弦定理,可得:，
解得，
故的周长是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍．
（1）求和的值；
（2）若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（3）估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
【答案】（1）
（2），人
（3），平均数
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得.
（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.
（3）根据中位数、平均数的求法求得正确答案.
【小问1详解】
由题意得，
解得．
【小问2详解】
由图可知，超过分的组的频率分别为，，，
优秀率为．
全市优秀学生的人数约为（人）．
【小问3详解】
第组的频率分别为，，，，
前三组的频率和为，
中位数约为．
平均数约为
．
18. 已知向量，满足，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积运算律得出，再根据夹角公式得夹角的余弦值，即可求出结果；
（2）根据条件及（1）中结果，利用数量积的运算性质，即可求出结果.
【小问1详解】
由，得到，又，
所以，得到，
所以，又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，又，
所以，得到.
19. 某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据：
名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、；
名女生的物理成绩分别为、、、、、、、.
（1）求这名男生物理成绩的平均分与方差；
（2）经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差.
附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用平均数和方差公式可求得、的值；
（2）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得和的值.
【小问1详解】
解：这名男生物理成绩的平均分为，
方差为.
【小问2详解】
解：这名学生物理成绩的平均分为，
方差为
.
20. 平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
（1）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1）且
（2）
【解析】
【分析】（1）因为与的夹角为锐角，且与不同向共线，从而得到不等式，求出实数的取值范围；
（2）根据向量垂直得到数量积为0，得到方程，求出实数k的值.
【小问1详解】
，，
因为与的夹角为锐角，所以，
且与不同向共线，即，解得且．
【小问2详解】
，，
因为，所以，
解得．
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）若，证明：；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；
（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值.
【小问1详解】
证明：由余弦定理知和，
得，
又，则，
结合正弦定理得，
；
小问2详解】
由（1）知，又，
故，即，
，所以，
则，故，当且仅当，即时取等号，
故，即周长的最大值为6.
22. 如图所示，在中，，，AD与BC相交于点M．设，．
（1）试用向量，表示；
（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，，其中．当EF与AD重合时，，，此时；当EF与BC重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式恒成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）能得出结论，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，，可得，，联立可解得，；
（2）设，可得，又，，故，即，即得解
【详解】（1）设，由A，D，B三点共线，
可知存在（，且）使得，
则，又，
所以，
∴，即①，
由B，C，M三点共线，
可知存在（，且）使得，
则，又，
所以，
∴ 即②
由①②得，，故．
（2）能得出结论．
理由：由于E，M，F三点共线，
则存在实数（，且），使得，
于是，
又，，
所以，
所以，
从而，所以消去得．
【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题.