湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（ ）

A. B. 18C. D. 12
3 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，则形状为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
5. 已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设，，为复数，．下列命题正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A. 的面积最大值为2B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，则______.
13. 已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________．
14. 已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）_______米．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
16. 如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
17. 已知，，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围．
18. 设函数，．用表示，中的较大者，记为．已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数，的值，并写出的解析式；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围．
19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.
（1）设函数，求“相伴向量”；
（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.