2025版高考物理一轮总复习考点突破训练题第11章磁场第28讲带电粒子在匀强磁场中运动考点2带电粒子在有界匀强磁场中的运动

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(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝eq \f(1,2)α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图甲。
②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙。
►考向1 带电粒子在直线边界磁场中的运动
[解析] 粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作出轨迹如图所示，O1为轨迹圆心，由几何关系可知OO1＝atan 30°＝eq \f(\r(3),3)a，轨迹半径R＝eq \f(a,cs 30°)＝eq \f(2\r(3),3)a，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)a))2＝eq \f(4,3)a2，故A正确；由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝eq \f(qBR,m)，轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知且不可求出，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故B、D错误；带电粒子在磁场中转过的圆心角为eq \f(2,3)π，周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(\f(2,3)π,2π)T＝eq \f(2πm,3qB)，因磁感应强度B未知且不可求出，则运动时间无法求出，故C错误。
►考向2 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
(多选)(2024·福州联考)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，现有比荷大小相等的甲、乙两粒子，甲以速度v1从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t1时间射出磁场，射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角为60°；乙以速度v2从距离直径AOB为eq \f(R,2)的C点平行于直径AOB方向射入磁场，经过t2时间射出磁场，其轨迹恰好通过磁场的圆心，不计粒子受到的重力，则( AC )
A.两个粒子带异种电荷
B．t1＝t2
C．v1∶v2＝eq \r(3)∶1
D．两粒子在磁场中轨迹长度之比l1∶l2＝eq \r(3)∶1
[解析] 甲粒子，向上偏转，根据左手定则可知甲粒子带正电，乙粒子向下偏转，根据左手定则可知乙粒子带负电，A项正确；粒子在磁场中运动的周期：T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，两粒子比荷相同，故粒子在磁场中运动的周期相同，根据几何关系可知甲、乙两粒子在磁场中的圆心角分别为60°，120°，甲运动的时间t1＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(1,6)T，乙运动的时间t2＝eq \f(120°,360°)T＝eq \f(1,3)T，即t1＝eq \f(1,2)t2，B项错误；设磁场区域圆的半径为R，甲粒子做圆周运动的半径为eq \r(3)R，乙粒子做圆周运动的半径为R，根据圆周运动的半径公式R＝eq \f(mv,qB)，知R与v成正比，即v1∶v2＝eq \r(3)∶1，C项正确；甲粒子在磁场中的轨迹长度l1＝eq \f(1,6)×2π×eq \r(3)R＝eq \f(\r(3)πR,3)，乙粒子轨迹长度l2＝eq \f(1,3)×2πR＝eq \f(2πR,3)，所以两粒子在磁场中的轨迹长度之比为l1∶l2＝eq \r(3)∶2，D项错误。故选AC。
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤：
【跟踪训练】
(带电粒子运动轨迹的确定)(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( A )
[解析] 由题意知，当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知质子在MN左侧受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。
(带电粒子在三角形边界中的运动)(多选)(2024·河北石家庄市调研)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为－q、速度大小均为v0＝eq \f(qBL,m)的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( ABC )
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝eq \f(mv\\al(2,0),r)，解得粒子在磁场中运动的半径为r＝eq \f(mv0,Bq)＝L，故A正确；如图甲所示，当粒子恰好从A点射出时，根据几何关系可得粒子与OC成60°角入射，所以与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出，故B正确；
如图乙所示，根据几何关系可知沿OC方向入射的粒子将恰好从D点射出，结合上面B项分析可知AD为AC边界上有粒子射出的区域，其长度为L，故C正确；所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为T，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α，则粒子运动时间为t＝eq \f(α,2π)T，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从OA射出的粒子，其轨迹所截AO的长度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等，故D错误。
(带电粒子在四边形边界中的运动)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( B )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBlB．eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBlD．eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
[解析] 若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示，有qvaB＝meq \f(v\\al(2,a),Ra)，Ra＝eq \f(l,4)，解得va＝eq \f(qBl,4m)＝eq \f(kBl,4)，若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，有qvdB＝meq \f(v\\al(2,d),Rd)，Req \\al(2,d)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Rd－\f(l,2)))2＋l2，解得vd＝eq \f(5qBl,4m)＝eq \f(5kBl,4)，选项B正确。
(带电粒子在圆形边界中运动)(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( BD )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆筒内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
[解析] 假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图，O1为圆周运动的圆心，
由几何关系可知∠O1AO为直角，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性在其他点撞击同理，D正确；假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内切圆的多边形，最少应为三角形如图所示，
即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，C错误。故选BD。