2023高考物理一轮复习高频考点强化训练专题13带电粒子在有界匀强磁场中的运动（解析版）

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专题13带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一．选择题
1.(2021·黑龙江大庆市实验中学高三开学考试)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　　)

A．3 B．2 C. D.
【答案】　A
【解析】　电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，

电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，故A正确，B、C、D错误．
2. (多选)(2021·河北唐山市模拟)两个质子以不同速度均在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示，两圆周相切于A点，过A点作一直线与两圆周交于D点和C点．若两圆周半径r1∶r2＝1∶2，下列说法正确的有(　　)

A．两质子速率之比v1∶v2＝1∶2
B．两质子周期之比T1∶T2＝1∶2
C．两质子由A点出发第一次分别到达D点和C点经历的时间之比t1∶t2＝1∶2
D．两质子分别运动到D点和C点处时的速度方向相同
【答案】　AD
【解析】　质子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，则v＝，所以两质子的速率之比为1∶2，A正确；又T＝，解得T＝，所以两质子的周期之比为1∶1，B错误；由题图可知两质子由A点出发第一次分别运动到D点和C点时的偏转角相等，由于周期相同，则两质子的运动时间相等，C错误；由于两质子的偏转角相等，则两质子分别运动到D点和C点时的速度方向相同，D正确．
3.(多选)(2021·陕西安康市月考)如图，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，AB＝2d，BC＝d，E为AB中点．从E点沿垂直AB方向射入粒子a，粒子a经磁场偏转后从D点出磁场，若仍从E点沿垂直AB方向射入粒子b，粒子b经磁场偏转后从B点出磁场，已知a、b粒子的质量相等，电荷量相等，不计粒子的重力，则(　　)

A．a、b粒子均带正电
B．a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1
C．a、b粒子在磁场中运动的速率大小之比为2∶1
D．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3
【答案】答案　BD
【解析】　根据左手定则判断可知，a粒子带正电，b粒子带负电，A错误；在磁场中，洛伦兹力提供向心力，粒子的运动轨迹如图，

对a粒子，由几何知识可得(Ra－d)2＋(d)2＝Ra2，解得Ra＝2d
由图可知b粒子在磁场中做圆周运动的半径为Rb＝d，则a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1，B正确；在磁场中，洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝m可得v＝，由于a、b粒子的质量相等，电荷量相等，则a、b粒子在磁场中运动的速率大小之比为4∶1，C错误；根据T＝，可知，两粒子的运动周期相同，由几何关系知，a粒子运动的圆心角为，b粒子运动的圆心角为π，根据t＝T·可得，a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3，D正确．
4.(多选)(2021·天津模拟)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　)

A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(＋1)a
【答案】　AD
【解析】　由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示，假设轨迹的圆心为O′，则由几何关系得粒子的轨道半径为R＝a，则由qvB＝m得v＝＝，B、C错误；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(＋1)a，D正确。

5. (2021·1月河北学业水平选择性考试模拟演练，5)如图所示，x轴正半轴与虚线所围区域内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。甲、乙两粒子分别从距x轴h与2h的高度以速率v0平行于x轴正向进入磁场，并都从P点离开磁场，OP＝h。则甲、乙两粒子比荷的比值为(不计重力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

A.32∶41 B.56∶41 C.64∶41 D.41∶28
【答案】　C
【解析】　画出两个粒子的轨迹如图所示，设甲粒子的轨道半径为R1，乙粒子的轨道半径为R2，根据几何关系有 (R1－h)2＋(0.5h＋htan 37°)2＝R，解得R1＝h，因为2htan 37°＋0.5h＝2h，所以R2＝2h，又因为qvB＝m，所以＝，两粒子的比荷的比值为64∶41，故C正确。

6. (2021·福建三明市期末质量检测)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域， P点与cd间的距离为，质子M、N入射的速度大小之比为1∶2.ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力．则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为(　　)

A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．3∶4
【答案】　A
【解析】作出两质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，质子M的轨道半径为R，轨迹圆弧所对圆心角θ1＝120°；根据qBv＝m得r＝，则质子N的轨道半径为2R，再由几何关系可知，其轨迹圆弧所对圆心角θ2＝60°；质子在磁场中做圆周运动的周期T＝，运动的时间t＝T，解得t1∶t2＝2∶1，故A正确，B、C、D错误．

7.(多选)(2021·山西吕梁市第一次模拟)如图所示，在荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)

A.粒子能打到荧光屏上的区域长度为2d
B.能打到荧光屏上最左侧的粒子所用的时间为
C.粒子从发射到达到荧光屏上的最长时间为
D.同一时刻发射的粒子打到荧光屏上的最大时间差
【答案】BD
【解析】　打在荧光屏上粒子轨迹的临界状态如图甲所示：

甲
根据几何关系知，带电粒子能到达荧光屏上的长度为l＝R＋R＝R＝d，A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧光屏上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为t＝T，又T＝，解得t＝，B正确；设此时粒子出射速度的大小为v，在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子运动轨迹示意图如图乙所示：

乙
粒子做整个圆周运动的周期T＝，由几何关系可知最短时间t2＝T＝，最长时间t1＝T＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧光屏上的最大时间差Δt＝t1－t2，解得Δt＝，C错误，D正确。
8．(多选)(2021·广东信宜市月考)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上．不计重力．下列说法正确的有(　　)

A．a、b均带正电
B．a在磁场中运动的时间比b的短
C．a在磁场中运动的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的短
【答案】　AD
【解析】　离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则判断，离子都带正电，选项A正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，因初速度大小也相同，由qvB＝m可知，它们做匀速圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，选项C错误；由t＝可知，a在磁场中运动的时间比b的长，选项B错误；从图上可以看出，选项D正确．

9.(2021·湖北武汉市高三调考)如图所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1.直角边bc的长度为L，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是 (　　)

A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷＝
D．粒子的比荷＝
【答案】　B
【解析】　由于t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R2
10.[2021·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]如图所示，在0≤x≤0.3 m区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.2 T，方向垂直纸面向外。一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为2×104 m/s，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知粒子的电荷量为2×10－4 C，质量为4×10－10 kg，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

A.×10－5 s B.×10－5 s
C.π×10－5 s D.×10－5 s
【答案】　D
【解析】　由洛伦兹力提供向心力
qvB＝m，得r＝，代入数据解得r＝0.2 m，粒子的运动轨迹如图，由几何关系可得r＋rsin θ＝0.3，解得θ＝30°，所以粒子的偏转角为α＝240°，所以最长的运动时间为tmax＝T＝×10－5 s。故选项D正确。

9.(多选)(2021·河北保定市二模)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则(　　)

A.粒子的最大发射速率不超过
B.粒子的最大发射速率不超过
C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为
【答案】　AD
【解析】　要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子不离开磁场，满足
lsin 60°＝，v＝，故A正确，B错误；粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2R＝lsin60°＝l，故C错误，D正确。


12.(2021·河北邯郸市大名一中半月考)如图所示，MN的右侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN右侧到MN的距离为L的O处有一个粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力及粒子间的相互作用)，速度均为，则粒子在磁场中运动的最短时间为(　　)

A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　由于v＝，所以粒子在磁场中运动的半径为r＝＝L，粒子在磁场中运动时间最短，对应的弧长最短、弦长最短，由几何关系得，当弦长等于L时最短，此时弦切角为30°，圆心角为60°，运动的最短时间为tmin＝T＝×＝，故B正确．

13.(2020·安徽省天长中学期末)如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O.一重力不计的带正电粒子从圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，轨迹所对的圆心角为120°.若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1∶v2至少为(　　)

A. B. C. D．2
【答案】　B
解析　粒子在磁场中做圆周运动，如图：

由几何知识得：r1＝＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv1B＝m，解得v1＝；当该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，若粒子竖直向上射入磁场且粒子恰好不能进入小圆内部区域时，即粒子轨道半径r2＝R，则不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，此时v2最大，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv2B＝m，解得：v2＝，则v1∶v2＝，故B正确，A、C、D错误．
14.(2021·重庆市上学期期末抽检)如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内。其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)

A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的比荷为
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
【答案】
【解析】根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为，运动时间t0＝，解得：v0＝，选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为，对应运动时间为t0，所以粒子运动的周期为T＝3t0，由Bqv0＝mr，则＝，故C错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间为2t0，故D正确。]

甲　　　　　　　　　　乙
15．(多选)(2021·四川达州市第二次诊断)如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．入口处有比荷相同的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1从d点射出磁场；乙粒子以速度v2沿与ab 成45°的方向垂直射入磁场，经时间t2垂直于cd射出磁场．不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，则(　　)

A．v1∶v2＝∶4 B．v1∶v2＝1∶
C．t1∶t2＝4∶1 D．t1∶t2＝2∶1
【答案】　AC
【解析】　画出两粒子的运动轨迹如图；

两粒子比荷相同，则周期相同，设为T；设正方形的边长为R，则从d点射出的粒子运动半径为r1＝R，运动时间t1＝；速度为v2的粒子，由几何关系：r2＝R，运动时间t2＝；根据r＝可知＝＝＝；＝；故选项A、C正确，B、D错误．
16.(2021·河北石家庄市二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　)

A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　粒子带正电，且经过B点，其可能的轨迹如图所示。

所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，由此可知，v＝的粒子能通过B点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。
二．计算题
17.(2021·四川雅安市上学期一诊)如图，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L,3L)．一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少；
(2)粒子的速度大小可能是多少．
【答案】(1)　(2)(n＝1,2,3…)
【解析】　(1)设粒子的入射速度为v，用R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期，则有qvB＝m，qv·2B＝m
T1＝＝，T2＝＝
粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．粒子运动轨迹如图所示，

tan α＝＝0.75，
得α＝37°，α＋β＝90°.
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为t1＝T1，t2＝T2
粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t1＋t2
由以上各式解得：t＝
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为：
x＝＝＝(n＝1,2,3，…)
粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为x1＝x＝x
由图中的几何关系可知＝cos α，
由以上各式解得粒子的速度大小为：v＝(n＝1,2,3，…)
18.如图所示，在矩形区域abcO内存在一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为 L，ab边长为L。现从O点沿着Ob方向垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子的质量为m、带电荷量为q(粒子所受重力及粒子间的相互作用忽略不计)，求：

(1)垂直ab边射出磁场的粒子的速率v；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间tm。
【答案】：(1)　(2)
【解析】：(1)粒子垂直ab边射出磁场时的运动轨迹如图线1所示。

设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系可知tan θ＝＝
则θ＝，sin θ＝＝
得R＝2L
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得v＝。
(2)由做匀速圆周运动可知T＝＝
因此粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，和速度无关，由几何关系可知最大圆心角
α＝2θ＝
可知粒子在磁场中运动的最长时间
tm＝T＝。
19.(2021·潍坊模拟)如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。

(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
【答案】(1)　(2)
【解析】　(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝

甲　　　　　　　　　乙
又qv1B＝m　解得v1＝。
(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨迹半径为R2，
则由几何关系有(2r－R2)2＝R＋r2，可得R2＝
又qv2B＝m，可得v2＝
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过。
20.(2021·浙江7月选考·22)某种离子诊断测量简化装置如图所示．竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地．a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点．已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用．

(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系．
【答案】　见解析
【解析】　(1)根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝

设c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界HG上的Q点射出，如图所示，由几何关系可得OH＝0.6R
s＝HQ＝＝0.8R
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O′，设从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得HO′＝0.6R，x＝＝0.8R，
即a、c束中的离子从同一点Q射出，
离开磁场的速度与竖直方向的夹角分别为β、α，
由几何关系可得α＝β
tan α＝
Lmax＝R
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量pz＝pcos α＝0.8qBR
当0 当R 当L>0.4R时，只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为F3＝Np＝NqBR
粒子源P射出的部分粒子恰好垂直打在挡板上的动量的变化量为Δp＝Nmv0＝
粒子源P射出的部分粒子恰好垂直打在挡板上运动的最短时间为t1＝·＝
粒子源P射出的部分粒子恰好垂直打在挡板上运动的最长时间为t2＝＋＝
这部分粒子在先后到达板上的时间内对挡板的平均作用力＝＝