四川省达州市渠县第三中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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4月月考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，熟练地掌握主视图，左视图和俯视图是解决本题的关键．根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进而得出答案．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
故选：D．
3. 在“十四五”规划的开局之年，成都一如既往是全省的“领头羊”，上半年地区生产总值为9602.72亿元．将数据“9602.72亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：9 602.72亿．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a3+a3＝a6B. a3•a2＝a6C. a3÷a＝a2D. （﹣a3）2＝﹣a6
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式运算中同类项的合并、同底数幂的乘除法及幂的乘方法则计算即可.
【详解】解：A、由于a3和a3是同类项，可以合并，a3+a3＝2a3，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可知a3•a2＝a5，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可知a3÷a＝a2，原计算正确，故本选项符合题意；
D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，指数相乘可知，（﹣a3）2＝a6，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练的应用整式的四则运算法则是解题的关键.
5. 已知点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A. 5B. 1C. D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征求出m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
，．
，．
．
故选A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标特征，掌握关于原点对称的点坐标特征，即纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数是解决问题的关键
6. 国务院新闻办公室于2021年5月11日上午10时举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，与2010年第六次全国人口普查相比，31个省份中，有25个省份人口增加．人口增长较多的5个省份依次为：广东、浙江、江苏、山东、河南，分别增加21709378人、10140697人、6088113人、5734388人、5341952人．这五个数据中，中位数是（ ）
A. 5341952B. 5734 388C. 10140697D. 6088113
【答案】D
【解析】
【分析】将五个数据按从小到大的顺序排列，位于正中间的数即为中位数．
【详解】解：五个数据按从小到大的顺序排列：5341952，5734388，6088113，10140697，21709378，
位于正中间的数是6088113，
故中位数是6088113．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义及求法是解决此类问题的关键．
7. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程两边都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1），求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1），
解得：x=-1，
检验：当x=-1时，x（x-1）≠0，
所以x= -1是原方程的解，
即原方程的解是x=-1；
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
8. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )
A. πB. πC. πD. π
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，弧长的计算，解决此题的关键是算出所对的圆心角．
9. 如图，四边形与四边形是位似图形，位似中心是点，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出，，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例．
10. 小明从如图的二次函数图象中，观察得出了下面的五条信息：①；②；③函数的最小值为－3；④当时，；⑤当时，，你认为其中正确的有多少个（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据开口方向判断①；根据抛物线与y轴的交点判断②；根据抛物线顶点坐标及开口方向判断③；观察当时，图象是否在x轴上方，判断④；在，时，根据函数的增减性判断⑤，即可得出结果．
【详解】解：根据图象可知：
①∵该函数图象的开口向上，
∴，故①错误；
②时，故②项正确；
③函数的最小值为，故③正确；
④根据图象知，当时，图象是在x轴上方，
∴；故④正确；
⑤当时，函数单调递减，
∵，
∴，故⑤正确；
综上可得：②③④⑤正确，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二次函数图象的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质，结合图形进行判断是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，则AC=________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用位似性质得到△OAB∽△OCD，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
12. 一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与x轴的交点在正半轴上，则k的取值范围_____．
【答案】k＞3．
【解析】
【分析】求出一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1），根据一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与x轴的交点在正半轴上，画出函数图象，确定函数经过第一、二、四象限，得到3﹣k＜0，解不等式即可．
【详解】解：当x＝0时，y＝（3﹣k）x+1＝1，
∴一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1）．
大致画出函数图象，如图所示．
∵一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴3﹣k＜0，
∴k＞3．
故答案为：k＞3．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数图象确定函数解析式中字母取值，根据题意画出函数大体图象，列出不等式是解题关键．
13. 当时，的值为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的分式通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解；
，
当时，原式，
故答案为：．
14. 如图，已知为的直径，为圆上（除，外）一动点，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交于点；③连接．若，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质可得，根据原圆周角定理可得，根据直角所对应的圆周角等于可得，继而可得，继而利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接．由作图知，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图——角平分线及其性质，圆周角定理，三角函数值的应用，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和圆周角定理求得．
15. 已知x，y均为实数，，则的值为______________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案：6．
16. 已知是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】将代数式化简，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：是方程的两个实数根，
，．
．
故答案为：6 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先逐项化简，代入特殊三角函数值计算，再进行二次根式的加法运算即可；
（2）先解出每一个不等式，再找公共部分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组解集为：．
【点睛】本题考查了含特殊角三角函数值的实数的混合运算及一元一次不等式组的解法，涉及的知识点有特殊角的三角函数值、二次根式的加法、一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关知识正确进行计算是解题关键．
18. 先化简，再求值：，已知x=
【答案】，
【解析】
【分析】先将括号里通分，进行同分母减法运算，然后将除法变乘法进行约分即得最简结果，最后将x值代入计算即得.
【详解】解：原式


把 代入原式
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
19. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°． 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度． （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【答案】13米．
【解析】
【分析】过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
【详解】如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米．
【考点】解直角三角形的应用－仰角俯角问题；解直角三角形的应用－坡度坡角问题．
【点睛】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
20. 某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目： A. 版画、 B. 保龄球、 C. 航模、 D. 园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人必选且仅选一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，请用列表法或画树状图法求恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为，即可求得这次被调查的学生数；
（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
∵A类有20人，所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：200；
【小问2详解】
C项目对应人数为：（人）；
补充如图．
【小问3详解】
画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙） ．
21. 如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）剪掉的正方形边长为
（2）折成的长方体盒子的侧面积有最大值；长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键．
（1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案；
（2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长．
【小问1详解】
解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得：
．
解得：，（舍），
答：剪掉的正方形边长为；
【小问2详解】
解：设剪掉的正方形边长为，
则长方形盒子的侧面积为：
，
当时，S有最大值．
即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为．
22. 如图，C是以点O为圆心，长为直径的半圆上一动点（不与点A，B重合），，连接并延长至点，使，过点D作，分别交，，于点，，，连接．设，随点的移动而变化．
（1）当时，求证：；
（2）连接，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）证，根据线段比例关系即可证；
（2）过点作于点，可得，设，，由正弦定义，，，则，即，由勾股定理，得，解得的长为3．
【小问1详解】
证明：直径，
．
，，
．
，
．
．
．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点．
由（1）知，．
，
平分．
．
设，，
则，，．
在中，由勾股定理，得
．①
在中，，即．②
在中，，即．③
由②③，得，
．代入①中，得，
解得或（舍去）．
故的长为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，运用相似三角形的判定和性质解题是关键．
23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接．
（1）求k，b的值和点B的坐标；
（2）将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积；
（3）在第一象限内的双曲线上求一点，使得．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入一次函数和反比例函数解析式，求出两个解析式后，再联立起来，即可解出B点坐标；
（2）先在上取中点坐标N，得到M、N点的纵坐标是一样的，可算出M点坐标，再利用的面积计算求出的面积；
（3）过点作轴的垂线，交轴于点，可知，然后在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足，设，就得到，这样点坐标就出来了，然后算出直线的解析式，与反比例函数联立就可算出点P的坐标．
【小问1详解】
解：将代入一次函数表达式与反比例函数表达式，
得，．
由，
解得，或，
点坐标为；
【小问2详解】
解：如图1，取中点，则点的坐标为，连接，
设点坐标为，代入，得，
，
；
【小问3详解】
解：如图2，过点作轴的垂线，交轴于点．设与交于点，过点G作轴，垂足为，
，
，
，
，
∴在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足，
设点，，，
，点是的中点，
，
，
，
则有解得，
，
设直线的函数表达式为，
则，
解得：
∴直线的函数表达式为，
联立，
解得或（舍去），
故点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，三角函数值的应用、解一元二次方程等知识坐标与图形；熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质，三角函数值的应用是解决本题的关键．
24. 如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，以点为顶点的抛物线解析式为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段平移，此时抛物线顶点记为，与轴交点记为，当点的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）先求出点A坐标，然后再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C坐标，再由平移的性质可得可求平移后的解析式，然后再根据点D的坐标特点求解即可；
（3）分过点作交于点和过点作于点两种情况，分别利用相似三角形的性质可求解即可．
【详解】解：（1）∵·抛物线解析式为，
∴点的坐标为，
设一次函数解析式为，
把，代入，
得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点在直线上，且点的横坐标为-1，
∴，
∴点坐标为，
设平移后的抛物线解析式为，
∵，顶点坐标为，
∴抛物线的解析式是，
∵抛物线与轴的交点为，
∴令，得，
∴点坐标为；
（3）存在，
①过点作交于点，
∴，
∴点的纵坐标为1，代入一次函数，
得，
∴的坐标为；
②过点作于点，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，
∵直线与轴的交点，，
又∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过作轴于点，
设，
则，，
在中，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴的坐标为，
综上所述：点的坐标为：或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．