四川省达州市渠县临巴中学2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟测试题（原卷+解析）

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考试时间：120分钟 分值：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图所示，转盘被平均分成8份，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占3份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是1/2故选B
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
【详解】解：原方程整理得，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
3. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
4. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
先把方程左边提公因式分解因式，再转化为两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
，
或，
，
被漏掉的一个根是，
故选：D．
5. 已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为( )
A. 30°B. 80°C. 70°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】根据△ABC∽△DEF，从而推出对应角相等求解．
【详解】∵△ABC∽△DEF，
∴
∵
∴
故选:C.
【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.
6. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD长是（ )

A. 5B. 5C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，
所以△AOB是等边三角形，
所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
7. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
8. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M、N；第二步，过M、N两点作直线分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，若BD=8，AF=6，CD=4，则BE的长是（ ）
A. 12B. 11C. 13D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴，
∵BD=8，AE=6，CD=4，
∴，
∴BE=12，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
9. 深圳“华为”1月份产值200亿元，现计划扩大生产，使2、3两月份的产值都比前一个月增长相同的百分数，这样第一季度的总产值就达到了1400亿元．设这个百分数为，则可列方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系：第一季度的总产值1月份的产值2月份的产值3月份的产值，是解此题的关键．
【详解】解：设这个百分数为，
由题意得：，
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为2，连接对角线、交于点O，的角平分线交于点F，交于点E，连接，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点E作于G，过点F作于H，利用正方形的性质求出，，证明得出，，从而求出，判断为等腰直角三角形，得出，可求，则求出，同理证明， 得出，证明为等腰直角三角形，得出，则，即可解答．
【详解】解：过点E作于G，过点F作于H，

∵正方形的边长为2，
∴，，，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知的一个根是2，则另一根为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，求出另一个根是解题的关键．
【详解】解：设另一根为，
则，
解得：，
故答案为：．
12. 如图与是位似图形，点O是位似中心，若_____．

【答案】16
【解析】
【分析】与是位似图形，由可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．
【详解】解：与是位似图形且由．
可得两位似图形的位似比为，所以两位似图形的面积比为，
又
故答案为：16．
【点睛】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，利用已知得出两位似图形的面积比为是解题关键．
13. 为了估计某鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回混合均匀后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，可以估计鱼塘中鱼的数量大约是_______条．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，先得到鱼塘中带记号的鱼的频率，为此可估计鱼塘中带记号的鱼的概率为，然后根据鱼塘中带记号的鱼有条可计算出鱼塘里约有鱼的条数．
【详解】解：估计鱼塘中鱼的数量大约是条，
故答案为：．
14. 若是方程根，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
【详解】解：∵a是方程的根，
∴把代入得：，
∴，
故答案为：．
15. 如图所示，在中，点，，分别是、、的中点，，，分别是、、的中点，…，以此类推．若的周长为1，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线的性质得出△的周长为的一半，再以此类推，即可得出答案.
【详解】∵点，，分别是、、的中点
∴，，
∴
又∵，，分别是、、中点
∴，，
∴
…
∴
故答案为.
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半.
16. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_______（填正确的序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据四边形是矩形，，可得，又，于是，故①符合题意；根据点是边的中点，以及，得出，根据相似三角形对应边成比例，可得，故②符合题意；过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③符合题意；根据得到与的比值，以及与的比值，据此求出，，可得，即可得到，故④符合题意．
【详解】解：如图，过作交于，交于，
四边形是矩形，
∴，，，
，
于点，
，
，故①符合题意；
∵，
，而E是AD的中点，
，
，
，故②符合题意；
∵，
四边形是平行四边形，
，
，，
于点，，
，
垂直平分，
，故③符合题意；
，
，
，，
，
又，
，故④符合题意；
故答案①②③④．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．
（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）根据因式分解法可以解答此方程．
【小问1详解】
，
，
或，
解得，，；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
或，
解得，，．
18. 在不透明的箱子中，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外，没有其他区别．
（1）随机地从箱子里取出一个球，则取出红球的概率是多少？
（2）随机地从箱子里取出1个球，然后放回，再摇匀取出第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，所以可利用概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，
∴两次取出相同颜色球的概率为：．
【点睛】考点：用列表法或树状图法求概率．
19. 已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF；求证：⑴△ABE≌△ADF；⑵∠AEF=∠AFE
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由BE＝DF，根据SAS即可证得△ABE≌△ADF；
（2）由全等得AE＝AF，利用等边对等角得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点睛】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等．
20. 已知关于x的方程的两根为，．
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，利用两根关系可以得到是解题的关键．
（1）根据方程有两个实数根得到，解题即可；
（2）由可以得到或，运用两根关系或方程有两个相等的实数根解题即可．
【小问1详解】
解：∵方程的两根为，，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：由可得，
即或，
当时，则，解得，不符合题意，舍去；
当时，，即．
故．
21. 学习了利用平行投影测高以后，9.12班数学兴趣小组成员们学以致用，想测量操场旗杆的高度．小亮手拿一支铅笔，边观察边移动（铅笔始终与地面垂直），如示意图，当小亮移动到D点时他的眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时，他的眼睛C与铅笔的底端N、旗杆的底端B也恰好共线．此时，测得，他的眼睛C到铅笔的距离为，铅笔的长度为，你知道他们怎么计算旗杆的高度吗？请写出计算过程（结果精确到）．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点作作，垂足为，交于点， 再根据可得出，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长.
【详解】解：过点作，垂足为，交于点，
则，
∵,
∴，
，
(米)，
∴旗杆的高度约为米.
22. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（3）△A2BC2的面积是 平方单位．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，（1，0）；（3）10
【解析】
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形；
（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形，进而可得点C2的坐标；
（3）根据所画图形判断出△A2BC2为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移变换和位似变换的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，掌握变换性质，正确得出变换后的对应点的位置是解答的关键．
23. 一公司为了绿化道路环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过100棵，每棵售价100元；如果购买树苗超过100棵，每增加2棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低1元，如果每棵树苗最低售价不得少于80元，该公司最终向园林公司支付树苗款10800元，请问每棵树苗售价为多少元？此时该公司共购买了多少棵树苗？
【答案】每棵树苗的价格为90元，公司购进了120棵树苗．
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，分类探讨得出答案即可．设当购买棵树苗时，每棵树苗最低售价是80元，可得出当购买树苗140棵时，每棵树苗的价格刚好降为80元，设购买棵树苗，分情况讨论，①当时，②当时，分别表示出付款，再由该公司最终向园林公司支付树苗款10800元，可建立方程，解出后判断即可得出答案．
【详解】解：设当购买棵树苗时，每棵树苗最低售价是80元，
则，解得（棵
设购买棵树苗，付款为，
①当时，，
则，
解得：；（不符合题意，舍去）
②当时，每棵树售价为，
，
则，
解得：，（舍去），
此时每棵树苗售价为90元，此时公司购进了120棵树苗．
答：每棵树苗的价格为90元，公司购进了120棵树苗．
24. 已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
（2）若图1中△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长
（3）如图2，在(2)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交于PB点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

【答案】（1）见详解；（2）10；（3）线段EF的长度不变，长度为．
【解析】
【分析】（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；
（2）由题易得相似比为1:2，根据相似三角形的性质求出PC=4，设OP=x，则OB=x，CO=8-x，在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP的长，从而根据AB=AP=2OP求出AB长；
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，证明三角形MQP为等腰三角形，MP=MQ，再证得△MFQ≌△NFB，得到QF=BF，EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（2）中结论求得PB的长就可以求出EF的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：∠APO=∠B=90°．
∴∠APD=90°∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
（2）如图1：

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，△OCP∽△PDA，
∴．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8-x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，
∴x2=（8-x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（2）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=．
∴EF=PB=．
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为．
【点睛】本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．
25. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）BP=6cm； （3）当或时，△PEF为直角三角形.
【解析】
【分析】（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明；
（2）首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【小问1详解】
当t=2时，DH=AH=4，
AD⊥AB，AD⊥EF
EF∥BC,
∴EH=BD，FH=CD ，
又∵ AB=AC，AD⊥BC
∴ BD=CD
∴ EH=FH
∴ EF与AD互相垂直平分
∴ 四边形AEDF为菱形
【小问2详解】
依题意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm，
EF∥BC
△AEF∽△ABC
∴ ，即，
解得EF=10-t
∴
即△PEF的面积存在最大值10cm2，此时BP=3×2=6cm．
【小问3详解】
过E、F分别作EN⊥BC于N，FM⊥BC于M，
则EF=MN=，EN=FM，
AB=AC
BN=CM=
在Rt△ACD和Rt△FCM中，
，
即，
解得FM=EN=2t，
又BP=3t
CP=10-3t，
，
则 ，
分三种情况讨论：
①若∠EPF=90°，则，解得，（舍去）
②若∠EFP=90°，则，解得，（舍去）
③若∠FEP=90°，则，解得，（均舍去）
综上所述，当或时，△PEF为直角三角形.
【点睛】本题考查了菱形的判定、相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．