四川省成都市棕北中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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A卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列各数中，最小的数是 ( )
A. -3B. -2C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可．
【详解】解：|−3|＞|−2|，
∴−3＜−2，
∴最小的数为−3，
故选A．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 数据显示，截至2023年9月底，全国登记在册个体工商户已达122000000户．将122000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，
故选B．
3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. a+a＝a2B. （3a2）3＝9a6
C. （a+b）2＝a2+b2D. 2a•3a＝6a2
【答案】D
【解析】
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4. 小红在公司进行抽奖，已知抽到红球为中奖，而抽奖口袋里有个白球、个黑球和个红球，那么小红中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件发生的概率，根据概率计算公式直接计算即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，小红中奖的概率为，
故选：．
5. “冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ）
A. 48，47B. 50，47C. 50，48D. 48，50
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和中位数定义解答即可．
【详解】这组数据的平均数是：（35+42+47+48+50+60+68）÷7＝50；
将数据按照从小到大依次排列：35，42，47，48，50，60，68
处在中间位置的数是48，即中位数是48；
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是把数据按照从小到大依次排列．
6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A. ①，对角相等B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直D. ④，有一个角是直角
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
8. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的与坐标轴的交点、开口方向、对称性以及当时对应的函数值逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，与x轴有两个交点，
∴，，，故选项B错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项D正确；
∴，故选项A错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数有最小值，故选项C错误，
故选项D符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 分解因式___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，找到公因式是解题的关键．
10. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______．
【答案】-7
【解析】
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1=-2×3，然后解方程即可．
【详解】∵反比例函数y=的图象经过点（-2，3），
∴k+1=-2×3，
∴k=-7．
故答案为-7．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
11. 如图，，若，，则______；
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：7．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可；
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13. 如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为____．

【答案】
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】由题中作图可知：平分，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长，
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，计算零指数幂，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别解出每一个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组，还涉及化简绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值．掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
15. 某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息，解答下列各题：
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）统计发现，该校“最喜欢足球”人数为320人，请估计全校总人数．
【答案】（1）40，72
（2）见解析 （3）估计全校总人数为1280人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，画条形图，用样本估计总体；
（1）用篮球的人数除以所占百分比可得共抽取的学生数，用羽毛球所占的比例乘以可得其对应的圆心角度数；
（2）用总人数减去其余球类运动的人数求出足球的人数，即可补全统计图；
（3）用该校“最喜欢足球”人数除以本次调查中“最喜欢足球”人数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：，
即一共抽取了40名学生，
羽毛球对应的圆心角为，
故答案为：40，72；
【小问2详解】
最喜欢足球的人数为（人），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
（人），
∴估计全校总人数为1280人．
16. 随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6.5米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为4.5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
【答案】阴影的长为4米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点B作于点T，过点B作于点K，求出，得到，，根据，得到，根据计算即可．
【详解】解：如图，过点B作于点T，过点B作于点K，
在中，
，，
（米），（米），
，
四边形是矩形，
∴米，（米），
在中，，
米，
（米），
答：阴影的长为4米．
17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG．
（1）求证：∠DGF＝∠AGC．
（2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得，可得，根据圆内接四边形对角互补可得，根据，即可证明结论∠DGF＝∠AGC．
（2）由垂径定理结合已知条件可得，根据tanF＝，设，则，，在中，， 求得，过点作于点，解直角三角形求得长，即可求得的长．
【小问1详解】
证明：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
，
，
四边形是内角四边形，
，
，
，
∠DGF＝∠AGC；
【小问2详解】
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
，
ED＝DF，，
，
, tanF＝，
，
设，则，，
在中，，
中，，
，
，，
；
如图，过点作于点，
，
设，则，
，
，
，
解得，
,，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆中，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
18. 直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点，连接
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）在直线上存在一个点M（不与A重合），使得，求点M的坐标；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由
【答案】（1）；；
（2）；
（3）存在；
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解题意，综合运用知识点是解题的关键．
（1）把点C坐标代入，求出b的值，得出直线的解析式；把点代入得到n的值，求出A点的坐标，再把将A点代入中，求出m的值，从而得出双曲线的解析式．
（2）根据题意得到，根据A点坐标，得出，当时，解得的值，即可解答．
（3）过点A作轴，垂足为点N，根据，，求出的值，根据，求出的值，再根据，得出，从而得出或，最后根据或，再代入求出的长，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点，
∴把点代入得：，
∴直线的解析式是：；
∵直线也过A点，
∴把A点代入得到：，
∴，
把将A点代入得：，
∴双曲线的解析式是：；
【小问2详解】
若，则，
∵，
∴，
当时，，解得，
∴．
【小问3详解】
存在；
过点A作轴，垂足为点N，
则，，则，
∵，
∴，，
∴，
①若，则，
即，
解得
②若，
则，
即，
解得，
∵点，
∴点D的坐标是或．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知非零实数，满足，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据得出，将其代入进行计算化简即可．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴，
故答案为：．
20. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体最少要__________个小立方块．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图判断小立方体的数量，根据三视图得出满足条件的几何体有三种搭建方法，从而得出最后结果．
【详解】解：如图，满足条件的几何体有三种搭建方法，其中每个正方形内标的数字表示该位置小立方块的块数
组成几何体的小立方块的块数分别为：6，5，5，
则搭出的几何体最少要5个小立方体，
故答案为：5．
21. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心O，连接，
∴
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故答案为：5．
22. 如图，在，，D为边上的一点，将沿翻折，得到．连接，，若， ，则到边上的距离为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠轴对称的性质，相似三角形，解直角三角形，三角形的面积公式，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的关键；
根据折叠的性质，可得，，，利用相似三角形和， ，即可求出，，进而求出，利用三角形面积即可求出答案；
【详解】解：过点⊥BC，垂足为M，连接，

由折叠得，，，，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
，
在中，
，
设点到的距离为h，由的面积得，
，
即，
，
故答案为：．
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“方差优数”，例如，12就是一个“方差优数”，可以利用进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用和新定义下方差优数的计算和分类，根据新定义，可以分别列出和的值，进而即可求解．
【详解】解：注意到，知，
∴．
当时，由产生的方差优数为：，……
当时，由产生的方差优数为：……
当时，由产产生的方差优数为：……
当时，由产生的方差优数为：，
当时，由产生的方差优数为：
当时，由．产生的方差优数为：
当时，由产生的方差优数为：
综上，将上述产生的方差优数从小到大排列如下：，
……
故第个方差优数是，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆（），总费用为W元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元
（2）购买A种花600盆，B种花400盆时总花费最少，最少费用为4600元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键．
（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式，根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得：，
解得：，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
【小问2详解】
由题意可得，，
，
随m的增大而增大，
，
当时，W取得最小值，
此时，，
即当购买A种花600盆，B种花400盆时总花费最少，最少费用为4600元．
25. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线l：经过点P，将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法直接求解抛物线解析式即可；
（2）设，分别表示出与的面积，利用进行求解即可；
（3）先求出一次函数解析式，设交点，（M在N的左侧），过点M作轴，轴，先证明，表示出，联立一次函数与二次函数的解析式得到，，代入，求出m的值即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，
，解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图所示，
设，
设为，把B，P两点代入，
，解得：，
，
即，
，
或，
是第二象限内抛物线上一点，
，，
；
【小问3详解】
经过点，
，解得：，
，
设交点，（M在N的左侧），
过点M作轴，轴，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
消去y得：，
，，
，
整理得：，
解得：或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合题目，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的求解以及根于系数的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26. 如图1，在中，，，，点D，E分别是的中点，连接．如图2，将绕点B逆时针旋转（旋转角），直线与相交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，若平分，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据D，E分别是的中点，得到，根据，得到即可得出结论；
（2）由得到，四点共圆，从而得出结论；
（3）首先由勾股定理得到，以及中位线性质得到，，，，交于点O，过点O作于点G，运用中位线性质得，，设，利用勾股定理列方程求解，再利用三角形函数求出，由（1）可知，，利用，求出最后结果．
【小问1详解】
证明：如图2，点D，E分别是的中点，
，，即，
，
，
，即，
；
【小问2详解】
，理由如下：
由（1）可知，，
，
四点共圆，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图1，
，，，
，
点D，E分别是的中点，
为中位线，
，，，
如下图，，交于点O，过点O作于点G，
平分，，，
，，
设，
则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，勾股定理，角平分线性质，中位线性质，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
玩具数量（件）
35
47
50
48
42
60
68