2024年安徽省芜湖市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024D. -2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积等于1的两个数互为倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：B
3. 如图，某几何体由8个完全相同的小正方体搭成，其箭头所指为主视方向，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据左视图的定义即可作答．
【详解】根据左视图的定义：：由物体左边向右做正投影得到的视图，也就是从图的左边往右边看．
所以，从左往右看可以得到：
故选：C．
4. 据统计，奇瑞集团在2023年汽车总销量为188万辆，其中188万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：188万，故用科学记数法表示为．
故选D．
5. 某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据小梅需要在前6才能进入决赛，知道13个人的成绩的中位数后即可确定自己是否可以进入决赛．
【详解】把13个人的数据按大小顺序排序后，第七个数据即为中位数，将小梅的成绩与之相比即可确定自己是否可以进入决赛．
故选：D
【点睛】本题考查了中位数应用，寻找出题意所述的隐含条件，即找中位数是关键．
6. 某日的最低气温是，最高气温是，在数轴上表示该日气温变化范围正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是利用数轴表示不等式的解集的方法，掌握用数轴表示不等式的解集时，包含用实心点表示，不包含用空心点表示是解题关键．根据气温在到之间，并且包括和，利用数轴表示不等式解集的方法即可得答案．
【详解】解：由题意可知：气温在到之间，并且包括和，
∴数轴上表示和的点用实心点表示，
∴四个选项中只有A选项符合，
故选：A．
7. 如图，平行四边形的对角线交于点，若，的周长为29，则的值为（ ）

A. 18B. 36C. 38D. 39
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可得的周长等于的周长，可得,从而可求出的值．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
∴，
故选：B．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
9. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
10. 如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，在上截取，连，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
又
∴，
∴
又
∴
∴即，
∴点在以为直径的半圆上移动，
如图，连，在上截取，连，

∵正方形边长为4，
∴
又，
∴,
，
而的最小值为线段的长度，
如图，作，垂足为，则四边形是正方形，

∴
∴
∴，
∴的最小值为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度，由勾股定理求出．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为零列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，，
故答案为：
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，内切于，切点分别为，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，切线长定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理．
根据勾股定理逆定理得出，连接，推出四边形是正方形，设，根据切线长定理得出，进而求出，则，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
连接，
∵内切于，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
设，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，轴于点，双曲线经过点，且与交于点．若的面积为12，．请解决以下问题：
（1）若点纵坐标为1，则点的纵坐标为______．
（2）______．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识：
（1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，可得，根据相似三角形的性质可得出点的纵坐标；
（2）设，得，，由可求出，，由得代入求得
【详解】解：
过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴
∴
∵
∴，即点纵坐标为4；
（2）设，
轴，
∴，
，
，
，
双曲线经过点
故答案为：4，2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据绝对值的代数意义、零指数幂以及算术平方根的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可．
【详解】解：
16. 某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．
请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
【答案】九（1）班有35人，九（2）班有40人
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可．
【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人
由题意得：解得：
答：九（1）班有35人，九（2）班有40人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1正方形的网格中，已知及直线．
（1）画出关于直线的对称图形；
（2）仅用无刻度直尺在边上找到点，使得的面积等于面积的（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，以及相似三角形对应边成比例．
（1）先画出点A、B、C关于直线l的对称点，再依次连接即可；
（2）连接交于点E，点E即为所求；
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：连接交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于面积的．
18. 下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为．，第个数记为．
（1）根据这列数的规律，______，______；
（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）有66这个数，是第11个数．
【解析】
【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程：
（1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值；
（2）当时，得一元二次方程，求解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
，
，
，
，
…，
∴，
∴当时，，
故答案为：36；．
【小问2详解】
解：当时，即：，
整理得，
解得，（舍去）
所以，这列数中有66这个数，此时．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图乙为某大桥桥型（图甲）的示意图．拉索与水平桥面的夹角约为，拉索与水平桥面的夹角约为，两拉索顶端的距离为3米，两拉索底端距离为米，求立柱的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，．）

【答案】立柱的长约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
设米，则，，，，则，计算求解，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：设米，
因为
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴（米）
答：立柱的长约为米．
20. 如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义以及勾股定理：
（1）连接，由切线的性质得，再证明即可得出结论；
（2）连接，证明，由可求出，再由勾股定理可得结论
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
；
小问2详解】
解：连接，如图，
∵对的圆周角是，
∴，
（已证），
，
，
，
，
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 芜湖市已建成并开放“芜湖书屋”家，可谓“半城山水，满城书香”．政府着力打造高品质城市阅读空间，努力做到人人享阅读，处处能阅读，时时可阅读，切实提升了城市品位和文化氛围．市区某校九年级二班调查了同学们最喜欢的“芜湖书房”情况，上榜五大书房，分别是、滨江书苑，、悦享书吧，、赤铸书院，、葵月书房，、占川书局，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生______人，请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，______，______，最喜欢滨江书苑所对应的扇形圆心角为______度；
（3）小鹏和小兵均选择了葵月书房，若从选择了葵月书房的学生中随机选取人参加该书房志愿者活动，求恰好是小鹏和小兵当选葵月书房志愿者的概率，并说明理由．
【答案】（1），图见解析；
（2），；
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图；
（1）由的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果分别列式计算即可；
（3）画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
该班共有学生人数为：．
把条形统计图补充完整如下：
【小问2详解】
．
最喜欢滨江书苑所对应的扇形圆心角．
【小问3详解】
把小鹏和小兵分别记为，其他同学分别记为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，
恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在中，，点是斜边上的一点，连接，点是线段上一点，过点分别作，交于点．
（1）填空：当______时，；
（2）如图2，若点为斜边的中点，将绕点顺时针旋转度，连接，，求证：；
（3）如图3，若点是斜边上的一点，将绕点顺时针旋转度，连接，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，得出，，即可证明，由得出相似比为，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得答案；
（2）由，得出是等腰直角三角形，由“三线合一”的性质得出，，，根据平行线的性质得出，即可得出，根据旋转的性质得出，利用即可证明；
（3）由可得，即可证明，根据旋转的性质得出，即可证明．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，即相似比为，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
【小问2详解】
∵为等腰斜边的中点，
∴，，，
∵由图1，且为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转任意一个角度，
∴，
在和中，，
∴．
【小问3详解】
旋转前，如图1，∵，
∴，
∴，即，
如图3，旋转后，将绕点顺时针旋转任意一个角度，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
（1）求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，若，求此时点的坐标；
（3）如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；
（3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴；
小问2详解】
解：由题意得点坐标为，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
【小问3详解】
解：由题意得点坐标为
设直线的表达式为，
则，解得
∴直线的表达式为，当时，，
∴点坐标为，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（负值舍去）
．
文学类（本/人）
科普类（本/人）
九（1）班
3
2
九（2）班
4
1
共计（本）
265
110