2024年安徽省中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1. 你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3. 请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1. 下列各数中，最小的是（ ）
A. 3B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的反而小，解答即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
【详解】根据正负数比较大小的方法，可得，
，
∴最小的是，
故选：D．
2. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是解题的关键．
【详解】解：，
故选D．
3. 下面的三视图对应的物体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给几何体的三视图的特点解答即可.
【详解】从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有选项A满足这两点，故选A．
【点睛】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体，熟知三视图的特征是解决问题的关键.
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式、数轴，先求得不等式的解集，进而逐项判断即可，注意方向和端点处为空心还是空心．
【详解】解：去分母，得.
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得，
则选项B正确，符合题意．
故选B．
5. 如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解，
本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】解：连接OB，
∵和是正五边形的中心角，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 下列函数的图象不经过点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是函数得基本性质，属于基础题型．直接代入计算即可．
【详解】解：当时，，故该函数图象经过点，选项A不符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项B不符合题意；
当时，，故该函数图象不经过点，选项C符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项D不符合题意．
故选：C．
7. 如图，点和点分别在和上，与交于点，已知，若要使，应添加条件中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定方法有、、、、，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：A、若添加，不能证明，故符合题意；
B、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
C、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
D、若添加，则可证明，可利用证明，故不符合题意；
故选：A．
8. 如图，有一个电路中有五个开关，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，使得小灯泡能正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用所求情况数除以总情况数即可解答．
【详解】解：根据题意，任意闭合两个开关的可能有，，，，，，，，，，共有10种可能，
使得小灯泡正常工作的可能有，，，，，，共有6种可能，
故任意闭合两个开关，使得小灯泡能正常工作的概率为，即．
故选：C．
9. 如图是抛物线（a，b，c是常数且）的图象，则双曲线和直线的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数以及反比例函数的图象与系数的关系；
根据，可得，则双曲线的图象位于一、三象限；根据抛物线的图象判断出，，，可得，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行判断．
【详解】解：根据抛物线的图象可得，当时，，即，
∴双曲线的图象位于一、三象限；
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴位于y轴左侧，
∴，
∴；
∵抛物线与y轴交于原点下方，
∴，
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，
综上，选项A符合题意，
故选：A．
10. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，点A，C，E共线，点F和点G分别是和的中点，，连接，下列结论错误的是（ ）

A. 的最小值是2B. 的最大值为1
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于点H，连接．易得是等腰直角三角形，四边形是矩形，得点F是对角线与的交点．由是直角斜边上的中线得，从而，当C与G重合时，取得最小值2，故选项A正确；设，则，，，则，由二次函数的性质即可求得其最大值为1，从而判断选项B正确；由得其最小值为2，从而判断选项C错误；以的垂直平分线作点E的对称点P，连接，则，，当A，F，P三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，在中由勾股定理即可求得最小值为，故选项D正确；最后可确定答案．
【详解】解：如图，延长交于点H，连接．
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
即，
∴四边形是矩形．
∵点F是的中点，
∴点F是对角线与的交点．
∵是等腰直角三角形，点G是的中点，
∴，．
∵点F是的中点，，
∴．
∴．
当时，即点C与点G重合时，CH有最小值，故最小值为，故选项A正确．
设，则，，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值为1．
故选项B正确．
∵．
∵，
∴有最小值为2，选项C错误．
如图，以垂直平分线作点E的对称点P，连接，则，
．
当A，F，P三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，
而，
即的最小值为，故选项D正确．
综上，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点间线段最短，对称的性质，二次函数求最值等知识，综合性较强，构造的辅助线较多．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算绝对值和开立方，再进行加减运算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】，
故答案为：．
12. 2023年安徽省粮食产量亿斤，其中数据亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故答案为：．
13. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图.如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为______．
图1 图2
【答案】##
【解析】
【分析】根据切线的性质，可得，结合，，可得是等边三角形，在和中，根据特殊角的三角函数，即可求得、的长，即可求解，
本题考查了切线的性质，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵和是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，直线与反比例函数的图象交于点．
（1）______；
（2）过点A作轴于点B，以为边向下作正方形，与y轴重合，则______．
【答案】 ①. 5 ②. 10
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．（1）先求得的值，再利用待定系数法即可求解；
（2）利用正方形的性质求得边长，得到的长，利用勾股定理求得，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）把点代入，得，
解得，
故；
故答案为：5；
（2）由（1）知，又知轴，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案：10．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先通分，再因式分解，根据分式除法的运算法则，即可求解，
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 某水果加工基地加工一批水果，原计划8天完成任务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划少5吨，最后完成全部任务用了10天，问该水果加工基地加工的这批水果一共有多少吨？
【答案】120吨
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，设这批水果一共有x吨，根据“每天加工的水果比原计划少5吨”列方程求解即可．
【详解】解：设这批水果一共有x吨，根据题意，得：
，
解得.
答：该水果加工基地加工的这批水果一共有120吨．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）画出将围绕点A按顺时针方向旋转，得到的；
（2）画出将平移得到，点B的对应点是点；
（3）在（1）的过程中，直接写出点B到点所经过的路径长：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是：
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，然后连线即可；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点，，然后连线即可；
（3）利用勾股定理求出，然后利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解∶如图， 即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：，
点B到点所经过的路径长为．
故答案为：．
18. 【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案：
图1 图2 图3
【规律发现】请用含n的式子填空：
图1中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图2中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
图3中有块阴影长方形，空白长方形有（块）；
……
（1）图n中有______块阴影长方形，空白长方形有______＝______（块）；
【规律应用】
（2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究、整式的加减、解一元二次方程，找到变化规律是解答的关键．
（1）根据题干中数据，得出每个图形中阴影长方形个数和空白长方形个数与图形个数之间的变化规律即可求解；
（2）先假设存在，根据列出方程求解，进而可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，图n中有块阴影长方形，空白长方形有块，
故答案为：，，；
（2）存在，理由如下：
假设存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块，
则．
整理，得，解得（舍去），．
即存在第6个图形中，空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等弦对等弧，可得，进而得到，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解，
（2）由等弧所对圆周角相等，可得，结合，可得，结合同弧所对圆周角相等，可得，等角对等边，即可求解，
本题考查了，等弦对等弧，等弧所对圆周角相等，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
20. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量楼房的高度，楼房与地面垂直，在B处测量无人机的仰角为，测得；从楼顶C处测得无人机的仰角为，测得，求楼房的高度．（A，B，C，D四点在同一平面内，参考数据：，，，，，）
【答案】26m
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作于点F，过点C作于点E，利用锐角三角函数分别求得、即可．
【详解】解：如答图，过点A作于点F，过点C作于点E，
则四边形是矩形，．
在中，，，，
∴．
在中，，，，
∴．
∴．
答：楼房的高约为．
六、（本题满分12分）
21. 某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了50名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有10道，每题1分，测试成绩绘制成表1．在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图1和图2．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表1
表2
图1 图2
根据统计图表中的数据，解答下列问题：
（1）______，______，______，补全图2中的条形统计图；
（2）若该学校七、八、九年级共有1500名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数；
（3）请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果．
【答案】（1）8，，78，见解析
（2）1170名 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体，理解统计图的信息是解本题的关键；
（1）由众数与中位数的含义求解众数与中位数，利用合格人数除以总人数可得合格率，再补全统计图即可；
（2）由总人数乘以合格率即可；
（3）比较活动后与活动前的平均数，中位数，合格率即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵开展活动前8 分的人数最多，
∴众数是分，
∵开展活动后，参加人数为（人） ，
∴获得9分的人数有（人），
∴获得分的有：（人），
∴第25个，26个数据为分，分，
∴中位数为（分），
∴合格率为：；
补全的条形统计图如图所示：
．
【小问2详解】
（名）．
答：在开展校园防欺凌教育活动后，对防欺凌相关知识掌握合格的学生约有1170名．
【小问3详解】
本次校园防欺凌教育活动的效果良好，理由如下：
开展校园防欺凌教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展活动前高得多，所以本次校园防欺凌教育活动的效果良好．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在矩形中，点E是上一点，过点E作， 交或延长线于点F．
图1 图2 图3
（1）求证：；
（2）若交的中点于点G．
（i）如图2，线段，，能围成直角三角形吗？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（ii）如图3，点P，M，N分别是，，的中点，若，，，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）能，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据“两角对应相等，两三角形相似” 证明，则可得，将比例式变为等积式即可．
（2）（i）先根据证明，则可得．由（1）可知，进而可得，由此得，根据勾股定理的逆定理即可判断线段，，能围成直角三角形；
（ii）设，则，由（i），列方程求出x的值为2，即
．连接，，由勾股定理求出、的长，由三角形中位线定理可得，，由此可求出的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
（i）解：能，证明如下：
∵点G是的中点，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，
∴线段，，能围成直角三角形．
（ii）解：设，则，由（i），得
，整理，得，
解得，（舍去），
∴．
如答图，连接，，
∵，，点G是的中点，
∴，
∴，
，
∵点P，M，N分别是，，的中点，
∴和分别是和的中位线，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线的判定和性质，综合性强，知识点多．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是上方抛物线上的一点．
图1 图2
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作轴，轴，与分别与交于点D，E，连接，求的值；
（3）如图2，连接与交于点M，连接，当时，求点M的坐标．
【答案】（1）b和c的值分别为和3
（2）2 （3）点M的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的表达式为．设点P的坐标为．则，，．得到点A到的距离为，点C到的距离为．，．则．
（3）先求出，，则．由（2）设点，则，根据，求出．此时点P的坐标为．再求出直线的表达式为．联立直线，直线的表达式，得，解得，即可得到此时点M的坐标为．
【小问1详解】
解：把点，代入，得，解得．
∴b和c的值分别为和3．
【小问2详解】
由（1）可知抛物线的表达式为．
当时，，
∴．
设直线的表达式为，把点，点代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
∵点P是上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为．
∵点Q是第二象限抛物线上一点，且横坐标比点P横坐标大1，轴，轴，
∴，，．
∴点A到的距离为，点C到的距离为．
∴，
．
∴．
【小问3详解】
解：由抛物线的表达式可知点，则．
∵，
∴．
由（2）设点，
∴．
∴．
整理，得，解得．
此时点P的坐标为．
设直线的表达式为，把点，点代入，得
，解得．
∴直线的表达式为．
由（2）知直线的表达式为．
联立直线，直线的表达式，得，解得，
∴当时，．
故此时点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
分数/分
2
5
6
7
8
9
人数/人
6
8
10
10
12
4
平均数/分
众数/分
中位数/分
合格率
开展活动前
a
7
32%
开展活动后
9
b