2024年安徽省安庆市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 在实数，，0，四个数中，最小的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了实数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
根据实数大小比较的规则即可求出答案．
【详解】解：，，
四个数中，最小的是；
故选：A．
2. 华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意可得1纳米等于米，故7纳米等于米．
故选：A
3. 若实数，则下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，根据同底数幂乘法，除法和积的乘方运算法则，合并同类项运算法则进行计算即可．
【详解】解：A．与不同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B．，错误，该选项不符合题意；
C．，错误，该选项不符合题意；
D．，正确，该选项符合题意．
故选：D．
4. 如下图，该几何体从正面看得到的图形为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看物体，根据从物体正面看即可得．
【详解】解：从正面看，所得到的图形是：
故选：B．
5. 在如图所示的等边三角形中任选一个，则所选等边三角形恰好含点的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的几何概率，根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵共有5个等边三角形，含A点的等边三角形有2个，
∴从这些等边三角形中任选一个，则所选的等边三角形恰好含点A的概率等于．
故选：D．
6. 将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（ ）
A. 8B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；设正六边形的中心为O，连接，过A作于点G；由已知得，则，且，得是等边三角形，则得，，由勾股定理即可求得，即与之间的距离．
【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G，
∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
即与之间的距离为．
故选：B．
7. 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则应是的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
那么课桌的高度与椅子高度之间的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是本题的关键．
利用待定系数法求出一次函数的解析式．
【分析】设y与x的函数关系为，根据表格可得：
解得：
所以可得：．
故选：A．
8. 如图，在 中，为上一点，延长至点，连接，．若，，，则的长为（ ）
A. 12B. 14C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，然后证，得，即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故选：D
9. 已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式，根据不等式性质进行变形即可得出结论
【详解】解：由，得．代入中，得，则，A选项错误；
由，可得．代入中，可得：，B选项错误；
由于，则，C选项错误；
由于，则，D选项正确；
故选：D
10. 已知矩形，其中，，点E是边中点，连接，点F为边上一点，点D关于的对称点为，当到的距离最小时，四边形的面积为（ ）
A. 22B. C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称变换、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定，作点D关于的对称点为，若到的距离最小，即在上．延长交于点G， 先由等腰三角形性质得，再由勾股定理求得，再证，可 得，即，从而求出的长，最后由四边形的面积的面积的面积进行计算即可．
【详解】如图，作点D关于的对称点为，若到的距离最小，即在上．
延长交于点G，
由于翻折，则，，
又∵矩形，
∴，
，
∴，
则，
∵E为中点，，，
∴，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
又，
∴，，
∴四边形面积的面积的面积
．
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】先进行开方和负整数指数幂的运算，再进行加法运算．
【详解】解：；
故答案为：1．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
12. 不等式的解集为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键；
根据不等式的基本性质运用解一元一次不等式得基本步骤即可解答．
【详解】
；
故答案为：
13. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为______°．
【答案】36
【解析】
【分析】连接OM，ON，根据多边形内角和公式求出度数，根据四边形内角和为，求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝180°×(5-2)÷5＝108°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，切线的性质定理，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题关键．
14. 如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求：
（1）当E为中点，则的面积为_________．
（2）当，则k的值为_________．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质和矩形的性质等知识点，
(1) 由E为的中点，得到，进而可得，利用面积的和差即可得解；
(2)设F点坐标为，则E点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，根据即可求得；
利用面积求得点坐标是解题的关键．
【详解】（1）∵E为的中点，
∴，
即反比例函数解析式为，
∴，
，
故答案为：；
（2） ∵四边形是矩形，，，
∴设F点坐标为，点E的坐标为，
∴，解得，
∴E点坐标为，
则，
整理得：，解得或（不合题意，舍去），
∴，
∵双曲线分别交、于F、E两点，
∴，
故答案:．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
先通分，再把分子相加减，最后把的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
16. 某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产，乙种机器减产，且计划二月份生产这两种机器共52台，则该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？
【答案】该厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器台，根据“计划二月份生产这两种机器共52台”列方程求解即可．
【详解】解：设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器台，由题意可知
，
解得：，
则
答：该厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点C按顺时针方向旋转得到，画出；
（3）在（2）的条件下，请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查图形变换，掌握图形的平移，旋转，扇形面积的计算方法是解题的关键．
（1）根据图形的平移规律即可求解；
（2）根据旋转的定义和性质即可求解；
（3）根据扇形面积的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求图形；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求图形；
【小问3详解】
解：根据题意得，，，
∴，，
∴线段扫过的面积为=．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键．
（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论；
（2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确．
【小问1详解】
解：观察等式中4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数．
即：．
故答案为：．
【小问2详解】
依据（1）中找出的规律得到第个式子为：．
证明：∵左边，
右边，
∴左边边右边．
∴等式成立．
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．
（1）扶手前端到地面的距离为______；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为10cm，，，，坐板的宽度为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）过D作交于G，过C作交于K，根据与地面夹角及三角函数即可得到答案；
（2）过E作交于Q，根据得到，设为x，表示出根据三角函数即可得到答案；
【详解】（1） 解：过D作交于G，过C作交于K，
∵、所在直线与地面的夹角分别为，
∴，，
∵，，
∴，，
∵前后车轮半径均为，
∴扶手前端到地面的距离为： ，
故答空1为 ；
（2）解：过E作交于Q，
∵，
∴，
∵，，设为x，
∴，，
由三角函数得，
，
解得：，
∴，
故答案为 ；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
20. 如图，AB是⊙的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D， AD与⊙O交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAP；
（2）若AB=10，sin∠CAB=，求DE长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.6
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质，得；结合题意，根据相似三角形性质，通过证明，得；根据圆心角和圆周角的性质，得，结合角平分线性质，即可完成证明；
（2）根据直径所对圆周角的性质，得，结合（1）的结论，通过证明，得，结合三角函数和勾股定理，计算得、；连接，，结合平行线的性质，得，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）如图，连接
∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P
∴，即
∵AD⊥PC，即
∴
∴
∵，即
∴
∴AC平分∠DAP；
（2）根据（1）的结论，得AC平分∠DAP
∴
∵AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点
∴
∵，即
∴
∴
∵AB=10，sin∠CAB=
∴sin∠CAB=
∴
∴
∴
∴
如图，连接，
∵AB是⊙的直径
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆、相似三角形、平行线、勾股定理、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握切线、圆周角、圆心角、相似三角形、勾股定理、角平分线的性质，从而完成求解．
六、（本题满分12分）
21. 安庆一直有端午节吃“绿豆糕”的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱绿豆糕的情况，随机抽取了40名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：所有参与问卷调查的同学都提交了问卷且在任何一种分类统计中只有一种选择），请根据统计图完成下列问题：

（1）被调查的40名同学中，“很喜欢”绿豆糕的学生有多少人；
（2）条形统计图中，喜欢“抹茶”口味绿豆糕的学生有多少人，并补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1000人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”绿豆糕的共有________人．
【答案】（1）14人 （2）2人，
（3）750人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用
（1）由扇形统计图各部分百分比之和为1得“很喜欢”的部分所对应的百分比，再乘以40即可得；
（2）由“很喜欢”的人数，减去其它3个品种的人数即可得喜欢“抹茶”口味绿豆糕的学生数，再补全条形统计图即可；
（3）总人数乘以“很喜欢”和“比较喜欢”绿豆糕的百分比之和可得．
【小问1详解】
解：被调查的40名同学中，“很喜欢”绿豆糕的学生有：（人），
即：“很喜欢”绿豆糕的学生有14人；
【小问2详解】
解：条形统计图中，喜欢“抹茶”月饼的学生有14-4-2-6=2（人）；
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
解：估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有（人）；
故答案为：750
七、（本题满分12分）
22. 如图，四边形，，对角线相交于点，，点是上一点，，连接．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若为边中点，连接并延长交的延长线于点，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，作出合理的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，可得是等边三角形，可得，在中结合三角形的内角和定理可得，可证，可得，，根据，可得，由此即可求证；
（2）如图所示，作交ND的延长线于点G，可证，可得，由（1）可知是等边三角形，可得，可证，可得是等腰三角形，，可求出，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴ ，
在中，
∵，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【小问2详解】
解：作交ND的延长线于点G，
∴，，
∵点是中点，即，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形．
（1）求m的值；
（2）如图，连接、，判断的形状，并求出其面积；
（3）将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值．
【答案】（1）
（2）为直角三角形，
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识；
（1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解；
（3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可；
【小问1详解】
解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C，
∴顶点
∵为等腰直角三角形．过点C作，
∴，
∴
当时，
解得：；，
∴；
∴，解得：；
【小问2详解】
由（1）得：抛物线
∴当时，，解得：，
∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧）
∴，
∵时，，
∴
∵，，
∴
∴为直角三角形；，
∴
【小问3详解】
∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，
∴得到新函数关系式为
∵直线与新的函数图象恰有3个交点
分类讨论：
①当直线与抛物线相切时，故联立得
整理得：
∵直线与抛物线相切
∴方程有两个相等实数根
即：
解得：，（舍），
②当当直线经过点时，，解得，故联立得
整理得：，解得，．满足题意．
综上所述：或．
第一套
第二套
椅子高度
40.0
38.0
桌子高度
75.0
71.8