吉林省长春市第八十七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据非零数的零次幂，负指数幂的运算，实数比较大小的方法“负数小于零，零小于正数”即可求解．
【详解】解：，，
∴，
∴最小的是，
故选：．
【点睛】本题主要考查零次幂，负指数幂的运算，实数比较大小的知识，掌握以上知识的运用是解题的关键．
2. 已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：点到x轴的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
3. 已知中，若，则的度数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的性质，依据平行四边形的性质，相邻的角度数和是180度，相对的角相等，即可解决，解决本题的关键是理解平行四边形的性质.
【详解】解：∵ ，
∴；
∴；
∴的度数是，的度数是．
故选：A．
4. 一个皮球从高处落下后，会从地面弹起．下表记录了小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中x表示落下高度，y表示弹跳高度．
则符合表中数据的函数解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由统计数据可知， y 是 x 的，即可得关系式．
【详解】解：由统计数据可知： y 是 x 的，
∴，
∴A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数的关系式，解题的关键是读懂题意．
5. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BCD. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6. 如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解的坐标，再利用一次函数的交点坐标即是二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：把代入



关于x，y的方程组的解为
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，掌握二元一次方程组的解是两个一次函数的交点坐标是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，其中，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，那么让点的横坐标加2，纵坐标加3即为点的坐标．此题主要考查了坐标与图形的变化平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
【详解】解：的对应点的坐标为
坐标的变化规律为：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，
点的横坐标为；纵坐标为，
即所求点的坐标为．
故选：B．
8. 如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证（），得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解．
【详解】解：过点作于，过点作轴于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴在和中，
，
∴（），
∴，
∵，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共18分）
9. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠3的一切实数
【解析】
【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范围．
【详解】解：根据题意，则
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10. 如图，在6×4网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，-1），则点C的坐标为________．
【答案】（-3，1）
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系的特点建立坐标系，再根据图中坐标得出C坐标解答即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，
∴C（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，平面直角坐标系，关键是利用数形结合的思想解决问题．
11. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．∠BOC＝120°，AC＝6，则AB的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得．
【详解】解：四边形是矩形，且，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
12. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若AB=4，BC=7，则DE的长为________．

【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知，且，可推导，再由BE平分可知，即可证明为等腰三角形，然后由计算即可获得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，且，
∴，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，是解题的关键．
13. 如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键．
由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴直线过定点，
连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图：
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴垂线段的最大长度为；
故答案为：．
三．解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中a＝2023．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
16. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【答案】400千克
【解析】
【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
17. 图①、图②都是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上
（1）在图①中，画出一个以为边的四边形，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数；
（2）在图②中，作出线段的中点P，保留作图痕迹
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理作平行四边形即可；
（2）作矩形，然后连接，交于P即为所求．
【小问1详解】
如图①，平行四边形即为所求，
，都是无理数．
【小问2详解】
如图②，点P即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形、勾股定理、平行四边形的性质以及矩形的性质，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
18. 如图，在中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，．求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据线段中点的定义可得，根据证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质即可得．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，，
是的中点，
，
在和中，，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
由（1）已证：，
，
，
，
．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与y轴交于点．
（1）求、值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）把代入可得出的值，得出反比例函数解析式，把代入即可求出值，可得答案；
（2）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时交点的横坐标的取值范围即可得答案．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴，
∵点在的图象上，
∴，
解得：．
【小问2详解】
由（1）可知：与的图象交于点，，
∴一次函数图象在反比例函数图象下方时，即或，
∴不等式的解集为：或．
20. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质及判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
21. 小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）（分钟）的函数关系如图所示．
（1）a=______；
（2）求CD所在直线的函数表达式；
（3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【答案】（1）
（2）
（3）分钟
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键．
（1）根据路程速度时间运算求解即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出弟弟的函数表达式，再联立哥哥的函数表达式求出交点即可．
【小问1详解】
解：由图象可得，小林家与公园之间的路程为：12×50=600（米）；
【小问2详解】
解：设哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是，
∵哥哥单程的时间为：，
∴，，
所以把点和代入得：
∴，
解得：，
即哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是；
【小问3详解】
解：设弟弟从家出发过程中与之间的函数关系式是，
由图可得：，
∴把代入可得：，
解得：，
∴，
∴联立可得：，
解得：，
∴小林出发分钟后与哥哥第二次相遇．
22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题．
点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）．
（1）【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和
（2）【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______．
（3）【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键．
（1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可；
（2）根据：列式运算即可；
（3）根据：列式运算即可．
【小问1详解】
解：如图①：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
如图②，连接OP，
∵，
∴，
∴，
解得：；
【小问3详解】
，理由如下：
如图③，连接，
∵，
∴，
∴，
解得：．
23. 如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒．
（1）直线与之间的距离是 _____．
（2）当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式
（3）当时，求的值．
（4）当平分平行四边形的面积时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
（4）或或
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可；
（2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解；
（3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可；
（4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：设直线与之间的距离是，
∵，平行四边形的面积为，
∴，
∴，即直线与之间的距离是，
【小问2详解】
过点作于，如图所示：
∵直线与之间的距离是，
∴，
∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，
∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，，
∴四边形的面积
∴；
【小问3详解】
过点作于，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得，不符合题意．
∴当PQ⊥BC时，t的值为或；
【小问4详解】
∵平行四边形的面积为，
∴当平分平行四边形的面积时，，
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得．
综上所述，当平分平行四边形的面积时或或．
24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．

（1）_____；
（2）点B在此一次函数图象上，其横坐标为，请求出的面积；
（3）点M在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上A、M两点间的部分（包括A、M两点）记为G，
①当图象G的最大值与最小值之差为1时，求m的值；
②平面内有一点，以点O为对称中心构造矩形，使得轴，当图象G与矩形只有一个交点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
（3）①3或1；②或或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质与判定， 求一次函数解析式等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，得到，则；
（3）①先求出，再由图象G的最大值与最小值之差为1，得到，解方程即可得到答案；②先证明矩形为正方形，再证明E一定在M的右下方，然后分当点E在第一象限时，当点E在第三象限时，当点F恰好在直线上时， 当在点 A上方时，三种情况结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：3；
小问2详解】
解：由（1）得一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①在中，当时，，
∴，
∵图象G的最大值与最小值之差为1，
∴，
∴
∴或；
②∵在直线上，且矩形以O为对称中心，
∴矩形为正方形，
∵，
∴E一定在M的右下方，
当点E在第一象限时，
∵图象G与矩形只有一个交点，
∴图象G与有一个交点，，
∴；
当点E在第三象限时，，
如图所示，当点F恰好在直线上时，此时图象G与矩形只有一个交点，
∴，
解得；

如图所示，当在点 A上方时，则，此时图象G与矩形只有一个交点，
∴，

综上所述，或或．落下高度x（cm）
80
100
160
200
弹跳高度y（cm）
40
50
80
100