2022-2023学年吉林省长春市朝阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个代数式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  空气中某种微粒的直径是米，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于(    )

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

4.  在平面直角坐标系中，若将直线向上平移个单位长度得到直线，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等．
已知：如图，四边形是平行四边形．
求证：，．
证明：连结，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
，
≌．
，．
其中，在“”处应补充的步骤依次是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  如图，点为▱的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，与之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是(    )

A. 药物释放过程需要小时
B. 药物释放过程中，与的函数表达式是
C. 空气中含药量大于等于的时间为
D. 如果当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过小时学生才能进入教室

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  若分式的值为，则的值为______．

10.  函数自变量的取值范围是______ ．

11.  如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，正比例函数与线段有交点，则的最小值为______ ．

12.  如图，是▱的对角线，，过点作于点，，则的大小是______ 度

13.  如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连结、，则四边形是平行四边形的理由是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，▱边在轴上，垂直于轴，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若▱的面积为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，在▱中，平分交边于点，若，，求▱
的周长．

18.  本小题分
春季来临，长春市某区为美化环境，计划种植树木棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多，结果提前天完成任务，求原计划每天植树的棵数．

19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
在图中以为边画一个面积为，且只是中心对称的四边形．
在图中以为对角线画一个面积为，且只是中心对称的四边形．
在图中以为对角线画一个只是中心对称的四边形，且该四边形的一条边与相等．

20.  本小题分
如图，在▱中，为对角线、的交点，、分别是、的中点，顺次连接、、、．
求证：四边形是平行四边形．
若的面积为，直接写出四边形的面积．

21.  本小题分
正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面直角坐标系，直线经过格点、，与函数的图象交于格点．
求直线对应的函数关系式和的值．
在图中画出函数的图象．
当一次函数的值大于函数的值时，根据图象，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．

结合图，写出解题过程．
【结论应用】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，，若两张纸条宽分别为和，求的值．

23.  本小题分
一辆货车和一辆轿车先后从地出发前往地，货车以匀速到达地，轿车在货车
出发后出发，匀速行驶后进入服务区休息了，在休息了时货车到达了地，休息后轿车提高了速度匀速到达地，两车之间的路程与各自行驶的时间之间的函数图象如图所示．
、两地之间的路程为______ ，轿车休息前每小时行驶______ ．
求轿车休息后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
当两车之间的路程为时，直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，在长方形中，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，当点不与点重合时，连结，将线段烧着点逆时针旋转得到线段，连结，设与长方形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
当点与点重合时，求的值．
当点与点重合时，求的长．
当点在外部时，求与之间的函数关系式．
若长方形被直线分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出的取范围值及这个轴对称图形的最长边的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分式，故本选项符合题意；
B.是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C.是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
D.是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断一个代数式是分式的关键是看分母中含有字母．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的图象在第一、三象限．
故选：．
先把点代入反比例函数得到，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数的图象在第一、三象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数的图象上点的横纵坐标之积为常数；当时，图象分布在第一、第三象限；当时，图象分布在第二、第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：若将直线向上平移个单位长度得到直线，
，
解得，
故选：．
根据一次函数图象的平移规律“上加下减”，可得，进一步计算即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】证明：连结，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
，
≌．
，．
故选：．
先利用平行四边形的性质证得，，再证≌可得，．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明≌是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在和中，
，
≌．
，．
故四边形的周长为．
故选：．
根据平行四边形的对边相等得：，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：≌根据全等三角形的性质，得：，，故四边形的周长为．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从图象可知：，直线与轴交点的坐标为，
不等式的解集是，
故选：．
根据图形得出和直线与轴交点的坐标为，即可得出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设正比例函数解析式是，
反比例函数解析式是，
把点代入反比例函数的解析式，得：，
解得：，
反比例函数的解析式是．
当时，代入上式得，
把时，代入正比例函数的解析式是，得：，
正比例函数解析式是，
A.由图象知，时，，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B.药物释放过程中，与成正比例，函数表达式是，故B不符合题意；
C.把分别代入和得，和，
解得：和，
，
空气中含药量大于等于的时间为；故C不符合题意；
D、由题意得，
解得，
所以至少需要经过小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：．
首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为常数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

9.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得．
故答案为：．
根据分式值为零的条件，可得：且，据此求出的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
又点、的坐标分别为、，
线段的函数解析式为，
，
，
值随值的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
故答案为：．
由，可得出当时，结合反比例函数的性质，即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：▱中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先根据平行四边形的对角相等求得的度数，然后利用等边对等角求得的度数，最后根据直角三角形的两锐角互余求得答案即可．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角相等，难度不大．
 

13.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 

【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，，
四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，，再判断四边形是平行四边形的依据．
本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，设与轴交于点，

垂直于轴，点在函数的图象上，
的面积为，
▱的面积为，
的面积为，
的面积为，
点在函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
连接，，设与轴交于点，根据反比例函数系数的几何意义，得的面积为，再根据▱的面积为，可知的面积为，所以的面积为，所以，即可求出的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，平行四边形的性质，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

17.【答案】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
▱的周长． 

【解析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质证出，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

18.【答案】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天植树棵． 

【解析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求作；
如图中，平行四边形即为所求作；
如图中，平行四边形即为所求作．
 

【解析】画一个底为，高为的平行四边形即可；
画一个底为，高为的平行四边形即可；
画平行四边形，且一条边即可．
本题考查作图应用与设计作图，掌握平行四边形的性质，学会利用数形结合的思想是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：是的中点，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：由图知点坐标为，点的坐标为，
一次函数经过、两点，
，解得：，
一次函数解析式为：，
经过点 ，
，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
；

反比例函数的图象如图：

根据图象可知，当时，一次函数位于反比例函数图象上方，
即一次函数的值大于函数的值时，的取值范围是． 

【解析】用待定系数法求出直线对应的函数关系式，再求出的值得到点坐标，将点坐标代入函数即可求出的值；
根据解析式画出函数图象即可；
根据图象找出一次函数位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，反比例函数的图象，以及数形结合思想，综合性较强．求出函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：【教材呈现】设和之间的距离为，
则平行四边形的面积等于，
，
，
即：，
，
答：和之间的距离为．
【结论应用】
，，
四边形是平行四边形，
两张纸条宽分别为和，，
，
． 

【解析】【教材呈现】利用等积法，设与之间的距离为，由条件可知▱的面积是的面积的倍，可求得▱的面积，再由，可求得．
【结论应用】证明四边形是平行四边形，由平行四边形的面积可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等面积法的应用，熟练掌握平行四边形的面积公式是解决问题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由图象可知，货车的速度，
根据已知，货车从地到地，
、两地之间的路程为，
时，为定值，
时，轿车速度与货车速度相同，即轿车休息前每小时行驶，
故答案为：，；
根据题意，时，，
设轿车休息后与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
轿车休息后与之间的函数关系式为；
当，即轿车刚出发时，两车之间的路程为，
当时，两车之间的路程为，
在中，令得：
，
解得，
综上所述，两车之间的路程为时，或或．
由图象得货车的速度，即知、两地之间的路程为，而时，为定值，故轿车休息前每小时行驶；
设轿车休息后与之间的函数关系式为，将，代入可得；
观察图象并结合可得两车之间的路程为时，或或．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

24.【答案】解：四边形是矩形，
，，
由题意，
当，重合时，，
；

当，重合时，，
；

当时，重叠部分是，．
当时，如图中，重叠部分是四边形，

．
当时，如图中，重叠部分是五边形，

．
综上所述，；

如图中，当与线段相交，且点在线段上时，长方形能直线分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形是轴对称图形，

此时，四边形的最长边． 

【解析】根据，构建方程求解；
求出，可得结论；
分三种情形：当时，重叠部分是，当时，如图中，重叠部分是四边形，当时，如图中，重叠部分是五边形，别求解即可；
如图中，当与线段相交，且点在线段上时，长方形能直线分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形是轴对称图形，
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，等腰梯形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题．