2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，四象限，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆
2. 下列各式：中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如果把分式中的和都同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 没有变 B. 扩大4倍 C. 缩小2倍 D. 扩大2倍
4. 为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是（ ）
A. 这批电视机 B. 这批电视机的使用寿命
C. 所抽取的100台电视机的寿命 D. 100
5. 在函数y＝kx﹣6中，已知y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（　　）
A. 当x＞0时，y＞0 B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. 图象在第二、四象限
6. “打开电视，正在播广告”这一是（ ）
A. 必然 B. 随机 C. 没有可能 D. 确定
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）
A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④
8. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，AC=8，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1，若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

9. 函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1
10. 如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为(　　)

A. (1345，0) B. (1346，0)
C. (1345.5，) D. (1346.5，)
二、填 空 题（本大题共8小题，每空3分，共24分．）
11. 分式的值为0，那么x的值为_____．
12. 若菱形两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
13. 给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有______（填
写出所有符合要求的分式的序号）．
14. 一个袋中装有6个红球，4个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到____球的可能性
15. 已知，则代数式 的值为____．
16. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
17. 如图，边长为的正方形和边长为的正方形排放在一起，和分别是两个正方形的对称，则的面积为________．

18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=(k>0)在象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC的中点，且S△AOF=时，OA的长为__________．

三、解 答 题（本大题共8题，共76分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 解方程：（1） =1 . （2）
21. 先化简，再求值： ，其中满足
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点平行四边形的第四个顶点D的坐标．

23. 某中学开展“绿化家乡、植树造林”，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树棵树和所占百分比情况进行了，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅没有完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）这四个班共植树 棵；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若四个班级植树的平均成活率是 95%，全校共植树 2000 棵，请你估计全校种植的树中成活的树大约有多少棵？

24. 某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用没有超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
25. 如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF，EF与AC相交于点P，求证：PA=PC．

26. 如图，，且DB=AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

27. 如图1，已知点A（﹣2，0），点B（0，﹣4），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y= C，D两点且D（a，8）、C（4，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）如图2，点P在双曲线y= 上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出满足要求的所有点Q的坐标．

28. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，点PAD边上任意一点，连接PB，并将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PB′．
（1）当∠DP B′＝20°时，∠ABP＝____________；
（2）如图2，连结BB′，点P从A运动到D的过程中，求△PBB′面积的取值范围；
（3）若点B′恰好落在ABCD边AD或BC所在的直线上时，直接写出AP的长．（结果保留根号，没有必化简）

图1 图2









2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟
（A卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆
【正确答案】A

【详解】试题解析：A、只是轴对称图形，没有是对称图形，符合题意；
B、只是对称图形，没有合题意；
C、D既是轴对称图形又是对称图形，没有合题意．
故选A．
考点：1.对称图形；2.轴对称图形．
2. 下列各式：中，分式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果没有含有字母则没有是分式．
解：、、的分母中均没有含有字母，因此它们是整式，而没有是分式．、、分母中含有字母，因此是分式．
故选C．
“点睛”本题主要考查分式的定义，注意π没有是字母，是常数，所以没有是分式，是整式．
3. 如果把分式中的和都同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 没有变 B. 扩大4倍 C. 缩小2倍 D. 扩大2倍
【正确答案】D

【分析】根据题意把原分式中的分别换成，2y代入原式，化简后再和原分式对比即可得到结论．
【详解】解：把原分式中的分别换成，2y可得：
，
∴当把分式中的都扩大2倍后，分式的值也扩大2倍．
故选D．
本题考查的是分式的基本性质的应用，熟记分式的基本性质并能用分式的基本性质进行分式的化简是解答本题的关键．
4. 为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是（ ）
A. 这批电视机 B. 这批电视机的使用寿命
C. 所抽取的100台电视机的寿命 D. 100
【正确答案】C

【详解】解：要了解一批电视机的使用寿命，从中抽取100台，故样本是所抽取的100台电视机的使用寿命．
故选C．
5. 在函数y＝kx﹣6中，已知y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（　　）
A. 当x＞0时，y＞0 B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. 图象在第二、四象限
【正确答案】D

【分析】由“函数y＝kx－6中，已知y随x的增大而减小”可得：k<0，由此可得：k-2<0，则反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，由此即可判断各选项中的描述是否正确了.
【详解】∵在函数y＝kx－6中，已知y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴k-2<0，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x>0时，y<0，
∴上述四个选项中，正确的只有D中的结论.
故选D.
本题是一道函数和反比例函数的综合题，熟悉“函数的性质”和“反比例函数的图象和性质”是解题的关键.
6. “打开电视，正在播广告”这一是（ ）
A. 必然 B. 随机 C. 没有可能 D. 确定
【正确答案】B

【详解】分析：
根据“必然”、“随机”、“没有可能”和“确定”的定义进行判断即可.
详解：
∵“打开电视，正在播广告”有可能发生，也有可能没有发生，
∴这是一个“随机”.
故选B.
点睛：理解“必然”、“随机”、“没有可能”和“确定”的含义是解答本题的关键.
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）
A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④
【正确答案】B

【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项没有符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以没有能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项没有符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项没有符合题意．
故选B．
8. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，AC=8，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1，若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【正确答案】A

【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF=4，继而得到DE=5；证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
【详解】解：如图：

∵∠AFC=90°，AE=CE，
∴E为Rt△AFC中斜边AC上的中线
∴EF=AC=4，DE=1+4=5；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=10，
故选：A．
该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．

9. 函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1
【正确答案】A

【详解】解：当x=-4时，y1=；
当x=-1时，y2=，
当x=2时，y3=，
∵-a2-1＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选A
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质数形思想解题是关键．
10. 如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为(　　)

A. (1345，0) B. (1346，0)
C. (1345.5，) D. (1346.5，)
【正确答案】C

【详解】分析：
如下图，连接AC，由已知易证△ABC是等边三角形，由此可得AC=AB=OA=1，OE=，CE=，图形可得B1、B2、B3、B4、B5、B6的坐标，画出后面的图形，图形可知每翻转6次，图形向由平移4个单位，由2017÷6=336……1，可知：点B2017相当于将点B1向右平移了336×4+1.5个单位长度得到的，由此即可得到点B2017的坐标.
详解：
如下图，连接AC交OB于点E，
四边形OABC是菱形，∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，
∴OA=AB=BC=OC=1，∠ABC=60°，
∴△OAC是等边三角形，∠COE=30°，
∴AC=OA=1，OE=，CE=，
∴由图可知：B1、B2、B3、B4、B5、B6的坐标分别为：、、、、和；
∵由图可知：图形可知每翻转6次，图形向由平移4个单位，而2017÷6=336……1，
∴点B2017相当于将点B1向右平移了336×4+1.5个单位长度得到的，
∴点B2017坐标为.
故选C.

点睛：在原图中继续向右边画出翻转后所得的点B5、B6、B7，已知条件计算得到点B1、B2、B3、B4、B5、B6的坐标，并图形找到点B在翻转过程中坐标的变化规律，是解答本题的关键.
二、填 空 题（本大题共8小题，每空3分，共24分．）
11. 分式的值为0，那么x的值为_____．
【正确答案】3

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母没有为0．两个条件需同时具备，缺一没有可．据此可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为3．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零．注意：分母没有为零这个条件没有能少．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【正确答案】24

【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故24．
本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．

13. 给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有______（填
写出所有符合要求的分式的序号）．
【正确答案】①②．

【详解】①，最简分式，符合题意；②，最简分式；③= ，故③没有是最简分式，故没有符合题意，
故答案为①②.
14. 一个袋中装有6个红球，4个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到____球的可能性
【正确答案】红

【详解】试题分析：根据袋子中的球的特点，可知红球至多，所以摸到红球的可能性.
故答案：红.
15. 已知，则代数式 的值为____．
【正确答案】-2

【分析】由可得，由此可得，在将此式子代入中，即可求得该分式的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为.
本题解题的关键是由“”根据“异分母分式的加减法法则”和“分式的基本性质”化简变形得到.
16. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
【正确答案】3

【详解】试题分析：增根是化为整式方程后产生的没有适合分式方程的根，所以应先增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
试题解析：方程两边都乘以（x-3）,
得x-2(x-3)=m
∵原方程有增根
∴最简公分母x-3=0
解得：x=3，
当x=3时，m=3
故m的值是3．
考点：分式方程的增根．
17. 如图，边长为的正方形和边长为的正方形排放在一起，和分别是两个正方形的对称，则的面积为________．

【正确答案】

【分析】由O1和O2分别是两个正方形的对称，可求得BO1，BO2的长，易证得∠O1BO2是直角，继而求得答案．
【详解】解：∵O1和O2分别是这两个正方形的，
∴BO1=×6=3，BO2=×8=4，∠O1BC=∠O2BC=45°，
∴∠O1BO2=∠O1BC+∠O2BC=90°，
∴的面积=×4×3=12．
故答案是：12．
本题考查的是正方形的综合运用，熟练掌握对称是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=(k>0)在象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC的中点，且S△AOF=时，OA的长为__________．

【正确答案】8

【详解】分析：
过点A作AH⊥OB于点H，过点F作FM⊥OB于点M，设OA=x，在由已知易得：AH=，OH=，由此可得S△AOH= 由点F是平行四边形AOBC的BC边上的中点，可得BF=，BM=，FM=，由此可得S△BMF=，由S△OAF=可得S△OBF=，由此可得S△OMF=，由点A、F都在反比例函数的图象上可得S△AOH=S△BMF，由此即可列出关于x的方程，解方程即可求得OA的值.
详解：
如下图，点A作AH⊥OB于点H，过点F作FM⊥OB于点M，设OA=x，
∵四边形AOBC是平行四边形，∠AOB=60°，点F是BC的中点，S△OAF=，
∴AH=，OH=，BF=，∠FBM=60°，S△OBF=，
∴S△AOH=，BM=，FM=，
∴S△BMF=，
∴S△OMF=，
∵由点A、F都在反比例函数的图象上，
∴S△AOH=S△BMF，
∴=，
化简得：，解得：（没有合题意，舍去），
∴OA=8.
故答案为.

点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.
三、解 答 题（本大题共8题，共76分）
19. 计算：
（1）
（2）
【正确答案】(1) ;(2)

【详解】整体分析：
（1）把除法转化乘法后，再约分化简；（2）化异分母加减为同分母加减后，再计算.
解：（1）
=
=；
（2）原式=
=
.
20. 解方程：（1） =1 . （2）
【正确答案】(1) x=-4 ;(2) 原方程无解.

【详解】分析：
这是两道解分式方程的题目，按照解分式方程的一般步骤解答即可.
详解：
（1）去分母得，2x+2＝x－2，
解得：x=－4，
检验：当x=-4时，，
∴原方程的解为：x=-4.
（2）方程两边同时乘以3(3x－1)，得：
6x－2＋3x＝1，即9x＝3，解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解.
点睛：解分式方程的基本方法是：首先将原方程通过去分母化为整式方程，然后解所得整式方程得到未知数的值，通过检验确定所得未知数的值是否是原方程的解，并得出结论.
21. 先化简，再求值： ，其中满足 .
【正确答案】， 4.

【详解】分析：
先按照分式混合运算的相关运算法则对原式进行化简，再将变形得到，将变形所得结果代入原式化简后的式子计算即可.
详解：
原式=
=
∵，
∴，
∴原式=.
点睛：本题的解题要点有2点：（1）熟悉分式混合运算的相关运算法则；（2）将变形为.
22. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成对称的三角形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

【正确答案】（1）图略；（2）图略，点B″的坐标为（0，﹣6）；（3）点D坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；
（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．
【详解】解：（1）如图所示△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△即为所求，B′′（0，-6）；

（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．

当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23. 某中学开展“绿化家乡、植树造林”，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树的棵树和所占百分比情况进行了，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅没有完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）这四个班共植树 棵；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若四个班级植树的平均成活率是 95%，全校共植树 2000 棵，请你估计全校种植的树中成活的树大约有多少棵？

【正确答案】（1）200；（2）补全两幅统计图见解析；（3）1900．

【详解】试题分析：（1）根据乙班植树40棵，所占比为20%，即可求出这四个班种树总棵数：40÷20%=200（棵）．
（2）根据丁班植树70棵，总棵数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而补全统计图．
（3）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数．
试题解析：（1）200．
（2）丁所占的百分比是：×=35%，丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
丙植树的棵数是：200×15%=30（棵）．
补全两幅统计图如下：

（3）根据题意得：2000×95%=1900（棵），
答：全校种植的树中成活的树有1900棵．
考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．频数、频率和总量的关系；4．用样本估计总体．
24. 某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用没有超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【正确答案】（1）100，50；（2）10.

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化面积是x（m2），根据在完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用没有超过8万元，列出没有等式，求解即可．
【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：

解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+×0．25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
25. 如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF，EF与AC相交于点P，求证：PA=PC．

【正确答案】证明见解析.

【详解】分析：
由已知易得AB=CD，AB∥CD，BE=DF可得AE=CF，∠AEP=∠CFP，∠APE=∠CPF易证△AEP≌△CFP，由此可得PA＝PC．
详解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AEP＝∠CFP，
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF，
在△AEP和△CFP中， ，
∴△AEP≌△CFP，
∴PA＝PC．
点睛：熟悉“平行四边形的性质”和“全等三角形的性质和判定”是解答本题的关键.
26. 如图，，且DB=AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

【正确答案】（1）证明见解析（2）添加AB=BC

【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
【详解】解：（1）证明：∵E是AC中点，
∴EC=AC．
∵DB=AC，
∴．
又∵，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
（2）添加AB=BC．
理由：∵，DB=AE
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC=DE，AB=BC，
∴AB=DE．
∴是矩形．
27. 如图1，已知点A（﹣2，0），点B（0，﹣4），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y= C，D两点且D（a，8）、C（4，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）如图2，点P在双曲线y= 上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出满足要求的所有点Q的坐标．

【正确答案】(1) a=2，k=16，b=4；(2) Q1（6，0）或Q1（-6，0）Q1（2，0）.

【详解】分析：
（1）如下图，过点D作DP⊥y轴于点P，已知条件可证得△PDE≌△OAE，由此可得PD==a=OA=2，这样即可得到点D的坐标，将点D的坐标代入中即可求得k的值，再点C（4，b）在该反比例函数的图象上即可求得b的值；
（2）如下图，分AB为所求平行四边形的边和对角线两种情况已知条件分析讨论即可.
（1）如图1，过点D作DP⊥y轴于点P，

∵点E为AD的中点，
∴AE=DE．
又∵DP⊥y轴，∠AOE=90°，
∴∠DPE=∠AEO．
∵在△PDE与△OAE中， ，
∴△PDE≌△OAE（ASA），
∴PD=OA，
∵A（﹣2，0），
∴a=2，
∴D（2，8）．
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=xy=2×8=16．
∵点C在反比例函数图象上，C的坐标为（4，b），
∴b==4，
∴a=2，k=16，b=4；
（2）∵点P在双曲线上，点Q在x轴上，
∴可设点P的坐标为，点Q的坐标为（m，0），
如下图，①当AB为所求平行四边形ABP1Q1边时，由点B的坐标为（0，-4）可得点P此时的坐标（-4，-4），∴PB=AQ1=4，
∴OQ1=OA+AQ1=6，
∴此时点Q1的坐标为（-6，0）；
②当AB为所求平行四边形ABQ2P2的边时，由平行四边形的性质可知点P到x轴的距离=点B到x轴的距离=4，
∴点P此时的坐标为（4，4）；
又∵点P可以可知是由点A平移得到的，而点Q2可以看着是由点B平移得到的，
∴由平移的性质可得点Q2的坐标为（6，0）；
③当AB为所求平行四边形AP1BQ3的对角线时，由AQ3=PB①中所得PB=4可得AQ3=4，
∵AO=2，
∴OQ3=4-2=2，
∴Q3坐标为（2，0）；

综上所述，满足条件的点Q有3个，坐标分别为：Q1（-6，0）或Q2（6，0）或Q3（2，0）.
点睛：本题是一道反比例函数与平行四边形综合的题目，解题的关键是熟悉反比例函数的图象特征和性质及平行四边形的性质.
28. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，点P为AD边上任意一点，连接PB，并将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PB′．
（1）当∠DP B′＝20°时，∠ABP＝____________；
（2）如图2，连结BB′，点P从A运动到D的过程中，求△PBB′面积的取值范围；
（3）若点B′恰好落在ABCD边AD或BC所在的直线上时，直接写出AP的长．（结果保留根号，没有必化简）

图1 图2
【正确答案】(1) 10°或50°;(2) S△PBB′;（3）AP=2.5或.

【详解】分析：
（1）根据题意需分点B′在平行四边形ABCD外部和内部分别进行分析讨论：①当点B′在平行四边形外部时，如图1，由题意易得∠BPB′=90°，∠DPB′=20°可得∠BPD=70°，由此可得∠APB=110°∠A=60°即可得到∠ABP=10°；②如图2，当点B′在平行四边形内部时，由题意易得∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，∠DPB=∠A+∠ABP即可求得∠ABP的度数；
（2）由题意可知△PBB′是等腰直角三角形，故当其直角边最短时，其面积最小，而当其直角边最长时，其面积，由①BP⊥AD时，PB最小；②PB与BD重合时，PB这两种情况进行分析计算即可求得所求的取值范围；
（3）画出相应的图形，已知条件进行分析解答即可.
详解：
（1）由题意可知：存在点B′在平行四边形ABCD外部和内部两种情况，现分别讨论如下：
①当点B′在平行四边形ABCD外时，
∵∠DPB=∠B′PB﹣∠B′PD=90°﹣20°=70°，
∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=70°﹣60°=10°，

图1
②当点B′在平行四边形ABCD内时，
∵∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，
∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=110°﹣60°=50°，

综上所述，当∠DPQ=20°时，∠APB=10°或50°．
（2）①如图3，显然当BP⊥AD时，BP最小，
∵∠A=60°，AB=5，
∴AP=2.5，
∴此时BP最小=，
∴此时S△PBB′=
②如图4，显然当P与D重合时，BP．
过P点作PE⊥AB于点E，求得：PE=，BE=1，则BP=7.
∴此时S△PBB′=，
综上：S△PBB′.

（3）AP=2.5或
①当点B′在AD上时，如图3，由（2）可知，此时AP=2.5；
②当点B′在直线BC上时，如图5，作BE⊥AD于点E，
∴∠AEB=∠PEB=90°，
∵∠A=60°，AD∥BC，
∴∠ABE=30°，∠CBE=120°，
∴AE=AB=2.5，BE=，∠CBE=90°，
∵△BPB′是等腰直角三角形，
∴∠CBP=45°，
∴∠PBE=45°，
∴PE=BE=，
∴AP=2.5+；
综上所述，当点B′在直线AD或直线BC上时，AP的长为2.5或2.5+；

点睛：本题是一道考查：平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质和旋转的性质的综合性几何题，解题的关键是能够画出符合题意的图形、作出相应的辅助线和熟悉上述三种图形的相关性质.





















2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟（B卷）
一、选一选:
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＜3 B. x≤3 C. x＞3 D. x≥3
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A. 如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B. 如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D. 如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
4. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
5. 若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号,使计算结果,则这个运算符号应该填（ ）
A. + B. ﹣ C. × D. ÷
6. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为

A. 15°或30° B. 30°或45° C. 45°或60° D. 30°或60°
7. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）
A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
8. 将一张宽为6的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形.重叠部分是一个△ABC,则三角形ABC面积的最小值是（ ）

A. 9 B. 18 C. 18 D. 36
9. 下列命题中，是真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等四边形是正方形
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( )

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF;
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题:
11. 计算：；
12. 若有意义，则x的取值范围是_________．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．

14. 如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．

15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB/C/D/的位置，旋转角为a (0°
16. 已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.

三、解 答 题:
17. （1）计算： （2）计算：
18. 如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积．


19. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
20. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为(　　)
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图,在(1)中四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.


图1　　　　　　　　　图2
21. 正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.













2022-2023学年吉林省长春市八年级下册数学期中专项提升模拟（B卷）
一、选一选:
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据最简二次根式的条件解答．
【详解】A.符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
B.被开方数还能开方，，不是最简二次根式；
C. 被开方数还能开方，=，不是最简二次根式；
D.被开方数含有分母，，不是最简二次根式．
故选A．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足以下两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式，分母中不含根号；②被开方数或式中不含能开提尽方的因数或因式．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＜3 B. x≤3 C. x＞3 D. x≥3
【正确答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得，3﹣x≥0，解得，x≤3，
故选B．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A. 如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B. 如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D. 如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
【正确答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．
【详解】解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC直角三角形，此选项正确；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，则3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
故选：B．
本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
【正确答案】D

【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，计算即可．
【详解】∵点D，E分别AB、BC的中点，
∴DE=AC=3.5，
同理，DF=BC=3，EF=AB=2.5，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=9，
故选D．
本题考查的是三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

5. 若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号,使计算结果,则这个运算符号应该填（ ）
A. + B. ﹣ C. × D. ÷
【正确答案】C

【详解】试题解析：




故选C.
6. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为

A. 15°或30° B. 30°或45° C. 45°或60° D. 30°或60°
【正确答案】D

【详解】解：如图，

∵四边形ABCD菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，ADBC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选∶D．

7. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）
A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
【正确答案】A

【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，
根据勾股定理AC==12米．
故选A．

此题是勾股定理在实际生活中的运用，解题关键是熟练运用勾股定理求解．
8. 将一张宽为6的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形.重叠部分是一个△ABC,则三角形ABC面积的最小值是（ ）

A. 9 B. 18 C. 18 D. 36
【正确答案】B

【详解】如图,当AC⊥AB时,三角形面积最小,

∵∠BAC=90°,∠ACB=45°
∴AB=AC=6，
∴S△ABC=×6×6=18，
故选B.
点睛：此题考查了翻折变换，翻折变换实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应角和对应边相等.在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题课时实际操作图形的折叠，便于找到图形间的关系.
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【正确答案】A

【分析】根据四边形的判定方法进行判断．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形，故选项D不符合题意．
故选：A．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( )

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF;
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正确；
③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题的关键．
二、填 空 题:
11. 计算：；
【正确答案】

【详解】解：原式=．
针对零指数幂，值，二次根式化简3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
12. 若有意义，则x的取值范围是_________．
【正确答案】

【详解】解：由题意得，
解得
故
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．

【正确答案】5

【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=×10=5cm．
故答案为5．
本题主要考查了三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14. 如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．

【正确答案】30°##30度

【分析】过A作AE⊥BC于点E，由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，可得AE＝AB，由此即可求得∠ABE＝30°，即平行四边形中最小的内角为30°．
【详解】解：过A作AE⊥BC于点E，如图所示：

由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，
得到AE＝AB，又△ABE为直角三角形，
∴∠ABE＝30°，
则平行四边形中最小的内角为30°．
故答案为30°．
本题考查了平行四边形的面积公式及性质，根据题意求得AE＝AB是解决问题的关键．
15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB/C/D/的位置，旋转角为a (0°
【正确答案】22

【详解】试题解析：

∵ (对顶角相等)，
∴
∴
∴旋转角
故答案为22.
16. 已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.

【正确答案】5

【详解】作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P−N−M−Q长度的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，
∴△OPP′为等边三角形，△O′为等边三角形，
∴∠P′OQ′=90°，
∴在Rt△P′OQ′中，
P′Q′==5.
故答案为5.
点睛：本题考查了轴对称—最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.
三、解 答 题:
17. （1）计算： （2）计算：
【正确答案】（1）0；（2）.

【详解】试题分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式加减法则进行运算即可.
试题解析：原式
原式


18. 如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积．


【正确答案】36

【分析】根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得∠BAD=90°，根据三角形的面积公式，即可求得答案．
【详解】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵AD＝12，BD＝13，
∴ ，
∴∆ABD是直角三角形，即：∠BAD=90°，
∴四边形ABCD的面积=．
本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
19. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析．

【分析】（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；
（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF ．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF ，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF ．
本题考查了全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
20. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为(　　)
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.


图1　　　　　　　　　图2
【正确答案】（1）C；（2）①证明见解析；②，3

【详解】试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为矩形，故选C；
（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足E，∴AE=3．如图2：

∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；
②连接AF′，DF，如图3：

在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF=
，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′==3．
考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．

21. 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；

（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2

考点：四边形综合题