吉林省长春市第八十七中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份吉林省长春市第八十七中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷，共26页。

A．﹣1B．﹣C．20D．2﹣1
2．（3分）已知第三象限的点P（﹣4，﹣5），那么点P到x轴的距离为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣5D．5
3．（3分）已知▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠B（ ）
A．110°，70°B．70°，110°C．100°，80°D．70°，20°
4．（3分）一个皮球从高处落下后，会从地面弹起．下表记录了小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中x表示落下高度（ ）
A．y＝x2B．y＝2xC．D．y＝x+25
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的解为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′（﹣2，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（3，4）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
8．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，，则k的值为（ ）
A．B．2C．D．3
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）如图，在6×4网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（1，2）（﹣1，﹣1），则点C的坐标为 ．
11．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．∠BOC＝120°，AC＝6 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若AB＝4，则DE的长为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，D是AB上一动点，DF⊥BC于点F．连接EF，则线段EF的最小值是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，过点P（1，1）向直线y＝kx﹣4k+5作垂线 ．
三.解答题（共78分）
15．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2023．
16．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
17．（6分）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数；
（2）在图②中，作出线段AB的中点P，保留作图痕迹
18．（7分）如图，在▱ABCD中，E是CD的中点
（1）求证：AE＝FE；
（2）若DC＝2BC，∠F＝33°．求∠BAE的度数．
19．（7分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
20．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB＝AE，四边形ACED是什么特殊的平行四边形，请说明理由．
21．（8分）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）（分钟）的函数关系如图所示．
（1）a＝ ；
（2）求CD所在直线的函数表达式；
（3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第101页的练习中的第3题．
点P是矩形边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15．求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．（提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连结OP）．
【问题解决】小明发现：如图①，连结OP，过点P作PE⊥AC，垂足分别为点E、F，利用矩形对角线的性质△AOP+S△DOP＝S△AOD，便可求出PE+PF的值，请你运用小明发现的方法，求出点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和
【规律应用】如图②，当点P是矩形边AB上任意一点时，PE+PF＝ ．
【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，则PE和PF之间的数量关系是 ．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，平行四边形ABCD的面积为36，动点P从A点出发，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在BC间往返运动，当点P到达点D时，连结PQ．设运动时间为t秒．
（1）直线AD与BC之间的距离是 ．
（2）当点Q从点C向点B运动时（点Q不与点B、C重合），设四边形ABQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式
（3）当PQ⊥BC时，求t的值．
（4）当PQ平分平行四边形ABCD的面积时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b（k≠0）的图象经过点A（2，5）．
（1）b＝ ；
（2）点B在此一次函数图象上，其横坐标为﹣3，请求出△AOB的面积；
（3）点M在此一次函数的图象上，其横坐标为m（m≠2），直线上A、M两点间的部分（包括A、M两点）
①当图象G的最大值与最小值之差为1时，求m的值；
②平面内有一点E（m+2，m+2），以点O为对称中心构造矩形EFGH，使得EF⊥x轴，直接写出m的取值范围．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣C．20D．2﹣1
【解答】解：∵20＝2，2﹣1＝，
∴28＞2﹣1＞﹣＞﹣1．
故最小的数为：﹣4．
故选：A．
2．（3分）已知第三象限的点P（﹣4，﹣5），那么点P到x轴的距离为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣5D．5
【解答】解：点P（﹣4，﹣5）到x轴的距离为|﹣7|＝5．
故选：D．
3．（3分）已知▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠B（ ）
A．110°，70°B．70°，110°C．100°，80°D．70°，20°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C＝∠A＝70°；
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠B的度数是110°，∠C的度数是70°．
故选A．
4．（3分）一个皮球从高处落下后，会从地面弹起．下表记录了小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中x表示落下高度（ ）
A．y＝x2B．y＝2xC．D．y＝x+25
【解答】解：由表格中数据可知，弹跳高度y是落下高度x的，
即y＝x，
故选：C．
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【解答】解：A、∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的解为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：把A（m，3）代入y＝2x得：5＝2m，
解得：m＝，
∴A（，3），
则关于x，y的方程组．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′（﹣2，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（3，4）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2，可得A点向上平移了4个单位，
由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移5个单位，再向右平移2个单位，
所以点A、B均按此规律平移，1+8），4）．
故选：B．
8．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，，则k的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【解答】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD＝BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD＝S△ABE，
∵OC＝AC，CD⊥OA，
∴OD＝AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
∴S平行四边形OCBA＝4S△OCD＝2，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠3 ．
【解答】解：由题意得：
x﹣3≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠3．
10．（3分）如图，在6×4网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（1，2）（﹣1，﹣1），则点C的坐标为 （﹣3，1） ．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
∴C（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
11．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．∠BOC＝120°，AC＝6 3 ．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∴OB＝OC＝OD＝OA，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴AB＝5．
故答案为：3．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若AB＝4，则DE的长为 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，D是AB上一动点，DF⊥BC于点F．连接EF，则线段EF的最小值是 ．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝，
即×12×2＝，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
14．（3分）在平面直角坐标系中，过点P（1，1）向直线y＝kx﹣4k+5作垂线 5 ．
【解答】解：∵y＝kx﹣4k+5＝k（x﹣3）+5，
∴直线y＝kx﹣4k+5过定点（4，5）．
连接PA，当直线y＝kx﹣4k+5与PA垂直时，过点A作y轴的平行线AB，如图所示．
∵点P的坐标为（1，8），5），
∴PB＝4﹣5＝3，AB＝5﹣6＝4，
∴PA＝＝＝5．
∴垂线段的最大长度为2．
故答案为：5．
三.解答题（共78分）
15．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2023．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当a＝2023时，原式＝．
16．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
17．（6分）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数；
（2）在图②中，作出线段AB的中点P，保留作图痕迹
【解答】解：（1）如图①，平行四边形ABCD即为所求，
AB＝CD＝＝，
AD＝BC＝＝，都是无理数．
（2）如图②，点P即为所求．
18．（7分）如图，在▱ABCD中，E是CD的中点
（1）求证：AE＝FE；
（2）若DC＝2BC，∠F＝33°．求∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE＝FE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵DC＝2BC，
∴AB＝2BC，
∵△DAE≌△CFE，
∴AD＝FC，
∴BC＝FC，
∴FB＝BC+FC＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAE＝∠F＝33°，
∴∠BAE的度数是33°．
19．（7分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
【解答】解：（1）把A（1，8）代入中，
得：m＝7×1＝8，
∴y＝．
把B（n，﹣2）代入y＝中，
得：﹣4＝，
解得n＝﹣4，
.∴m＝6，n＝﹣4．
（2）由（1）知：A（1，4），﹣2），
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，
即x＜﹣4或3＜x＜1，
∴不等式的解集为x＜﹣4或2＜x＜1．
20．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB＝AE，四边形ACED是什么特殊的平行四边形，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：四边形ACED是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
由（1）可知，四边形ACED是平行四边形，
∴平行四边形ACED是矩形．
21．（8分）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）（分钟）的函数关系如图所示．
（1）a＝ 600 ；
（2）求CD所在直线的函数表达式；
（3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【解答】解：（1）由图象可得，
小林家与公园之间的路程为：12×50＝600（米），
故答案为：600；
（2）设哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（9，600），0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+2400（9≤x≤12）；
（3）哥哥的速度为：600÷（7﹣6）＝200（米/分钟），
设小林出发a分钟时，两人相遇，
第一次相遇时，200（a﹣6）＝50a，
解得a＝8；
第二次相遇时，200（a﹣9）+50a＝600，
解得a＝9.2；
即小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第101页的练习中的第3题．
点P是矩形边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15．求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．（提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连结OP）．
【问题解决】小明发现：如图①，连结OP，过点P作PE⊥AC，垂足分别为点E、F，利用矩形对角线的性质△AOP+S△DOP＝S△AOD，便可求出PE+PF的值，请你运用小明发现的方法，求出点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和
【规律应用】如图②，当点P是矩形边AB上任意一点时，PE+PF＝ ．
【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，则PE和PF之间的数量关系是 PF﹣PE＝ ．
【解答】解：【问题解决】如图①，
∵AB＝8，BC＝15，
∴AC＝＝＝17，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝17，AO＝CO＝，
∵S△APO+S△PDO＝S△AOD，
∴×AO×PE+×AB×BC，
∴×（PE+PF）＝，
∴PE+PF＝；
【规律应用】如图②，连接OP，
∵S△APO+S△PDO＝S△AOB，
∴×AO×PE+×AB×BC，
∴×（PE+PF）＝，
∴PE+PF＝；
故答案为：；
【规律探究】PF﹣PE＝，理由如下：
如图③，连接OP，
∵S△APO﹣S△PDO＝S△AOD，
∴×AO×PF﹣×AB×BC，
∴×（PF﹣PE）＝，
∴PF﹣PE＝；
故答案为：PF﹣PE＝．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，平行四边形ABCD的面积为36，动点P从A点出发，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在BC间往返运动，当点P到达点D时，连结PQ．设运动时间为t秒．
（1）直线AD与BC之间的距离是 4 ．
（2）当点Q从点C向点B运动时（点Q不与点B、C重合），设四边形ABQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式
（3）当PQ⊥BC时，求t的值．
（4）当PQ平分平行四边形ABCD的面积时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）设直线AD与BC之间的距离是h，
∵BC＝9，平行四边形ABCD的面积为36，
∴9h＝36，
∴h＝3，即直线AD与BC之间的距离是4，
故答案为：4；
（2）过点A作AE⊥BC于E，
∵直线AD与BC之间的距离是8，
∴AE＝4，
∵动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在BC间往返运动，
∴当点Q从点C向点B运动时（点Q不与点B、C重合），AP＝t，
∴四边形ABQP的面积S＝（AP+BQ）•AE＝2（t+18﹣7t）＝36﹣4t（3＜t＜6），
∴S＝36﹣4t（3＜t＜4）；
（3）过点A作AE⊥BC于E，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝4，
∵PQ⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥PQ，AE＝PQ，
∴四边形AEQP为矩形，
∴AP＝EQ＝t，BQ＝BE+EQ＝BE+AP＝3+t，
当0≤t≤2时，由题意得，
∴3t＝3+t，解得t＝；
当3＜t≤3时，由题意得，
∴18﹣3t＝3+t，解得t＝；
当6＜t≤9时，由题意得，
∴7t﹣18＝3+t，解得t＝，不符合题意．
∴当PQ⊥BC时，t的值为或；
（4）∵平行四边形ABCD的面积为36，
∴当PQ平分平行四边形ABCD的面积时，S四边形ABQP＝18，
当5≤t≤3时，由题意得，BQ＝3t，
∴S四边形ABQP＝＝（AP+BQ）•AE＝，解得t＝；
当5＜t≤6时，由题意得，BQ＝18﹣3t，
∴S四边形ABQP＝＝（AP+BQ）•AE＝，解得t＝；
当5＜t≤9时，由题意得，BQ＝3t﹣18，
∴S四边形ABQP＝＝（AP+BQ）•AE＝，解得t＝．
综上所述，当PQ平分平行四边形ABCD的面积时或或．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b（k≠0）的图象经过点A（2，5）．
（1）b＝ 3 ；
（2）点B在此一次函数图象上，其横坐标为﹣3，请求出△AOB的面积；
（3）点M在此一次函数的图象上，其横坐标为m（m≠2），直线上A、M两点间的部分（包括A、M两点）
①当图象G的最大值与最小值之差为1时，求m的值；
②平面内有一点E（m+2，m+2），以点O为对称中心构造矩形EFGH，使得EF⊥x轴，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A代入一次函数表达式可得：5＝2+b，
∴b＝3，
故答案为：3；
（2）将x＝﹣3代入一次函数表达式可得：y＝﹣8+3＝0，
∴B（﹣6，0），
∴S△AOB＝×3×5＝5.5；
（3）①将x＝m代入一次函数表达式可得：y＝m+3，
∴M（m，m+8），
∴|m+3﹣5|＝3，
∴m＝3或1；
②∵E在直线y＝x上，且矩形EFGH以O为对称中线，
∴矩形EFGH为正方形，
∴H（﹣m﹣7，m+2），﹣m﹣2），﹣m﹣5），
又∵m+3＞m+2，m＜m+2，
∴M一定在E的左上方，
∴当E在第一象限即，m+2＞0时，
∴，
∴m≥3；
当E在第三象限，
∴F在直线y＝x+3的上，
即﹣m﹣4＝m+2+3，
∴m＝﹣6.5，
综上所述，m＝﹣3.3或m≥3．
落下高度x（cm）
80
100
160
200
弹跳高度y（cm）
40
50
80
100
落下高度x（cm）
80
100
160
200
弹跳高度y（cm）
40
50
80
100