湖南省邵阳市武冈市第二中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合，根据交集定义计算．

【详解】集合，．

故选B．

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．

2.过点（–1，–3）且垂直于直线x–2y+3=0直线方程为（    ）

A. 2x+y–1=0 B. x–2y–5=0

C. x–2y+7=0 D. 2x+y+5=0

【答案】D

【解析】

【分析】

设所求直线为，根据垂直关系，得到直线的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答案.

【详解】设直线为，所求直线为．

因为两直线垂直，所以斜率乘积为，

故直线的斜率为，

所以直线的方程为，

整理得：，

故选D.

【点睛】本题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简单题.

3.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将条件分子分母同除以，可得关于的式子，代入计算即可．

【详解】解：由已知．

故选：B．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题．

4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

通过面积计算得到，再计算周长得到答案.

【详解】，故，周长为：.

故选：.

【点睛】本题考查了扇形的面积和周长，计算扇形半径是解题的关键.

5.三个数，，的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将三个数与0或1进行比较，从而区分大小.

【详解】由题意得，

，

∴.

故选：A.

【点睛】本题考查指数式、对数式的比较大小，属基础题.

6.函数的部分图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

确定函数为偶函数排除，根据时，排除得到答案.

【详解】，则，函数为偶函数，排除.

当时，排除.

故选：

【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的综合应用能力.

7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A. 若则 B. 若则

C. 若则 D. 若则

【答案】D

【解析】

【详解】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；

B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；

C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；

D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.

本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.

考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.

8.已知函数，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是（    ）

A. 对称轴方程是x=+kπ（k∈Z）

B. 对称中心坐标是（+kπ，0）（k∈Z）

C. 在区间（﹣，）上单调递增

D. 在区间（﹣π，﹣）上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，利用正弦函数的性质验证求解.

【详解】

因为，

令，解得，故A错误；

令，解得，对称中心坐标是，故B错误；

当时，，函数不单调，故C错误；

当时，，函数单调递减，故D正确；

故选：D

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9.设若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分类讨论，代入相应的解析式列出关系式求解即可.

【详解】当时，，，.

∵，∴，解得.

当时，，.

∵，∴，显然无解.综上，.

故选：C

【点睛】本题考查函数的概念与性质，属于基础题.

10.已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为　　

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可．

【详解】结合题意，绘制图像，可知

当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D．

【点睛】考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难．

11.如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．

【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，

可得，，故，而

，设平面的法向量为，根据

，解得，

.

故与平面所成角的大小为，故选A．

【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．

12.已知函数，若方程有四个不同的实数根，，，，，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先作出函数图像，若设，则由图像可知，，也可确定出的范围，最后转化为关于或的二次函数，求其最值可得结果.

【详解】作函数的图像如图，

结合图像可知，，故，

令，得，

令，得，

故且，

故，

∵，∴，

∴，

故选B.

【点睛】此题考查的是有关函数与方程的知识，利用了数形结合的思想解决，属于较难题.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.函数的定义域为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据对数的真数大于0，开偶次方根的被开方数大于等于0，解不等式即可得到答案.

【详解】由题意得：解得，

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查具体函数的定义域求解，考查不等式的求解，注意定义域要写成集合或区间的形式.

14.已知，且，则__________.

【答案】

【解析】

分析】

根据三角函数的诱导公式化简得，即可求解.

【详解】由题意可知：，且，

根据三角函数的诱导公式，可得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

15.已知点在直线上，则的最小值为_______．

【答案】3

【解析】

【分析】

由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.

【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.

16.对于函数，若在其定义域内存在两个实数a，b（a<b），使当时，的值域也是，则称函数为“攀登函数”.若函数是“攀登函数”，则实数k的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得即，所以，为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根，数形结合即可求得k的取值范围.

【详解】因为是增函数，若是“攀登函数”，

则存在实数，，使即，

所以，为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.

令，则.

函数在上单调递增，在上单调递减，

，

数形结合可知，当时，直线与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，将原问题转化为方程的解进而转化为函数图象的交点问题是解题的关键，属于中档题.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知圆的方程为：，圆心坐标为，且过点.

（1）求，，的值；

（2）判断直线的位置关系.

【答案】（1）（2）相离

【解析】

【分析】

（1）将一般式化成标准式，采用待定系数法即可求解；

（2）由圆心到直线距离与的关系判断即可；

【详解】（1），圆心坐标为，

，又过点，

（2）由（1）知，圆的标准方程为：，，圆心到直线的距离

，所以直线与圆相离

【点睛】本题考查圆的一般式到标准式的配方过程，判断直线与圆的位置关系，属于基础题

18.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点；

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）证明见详解（2）

【解析】

【分析】

（1）连接，通过求证即可求证；

（2）设中点为，连接，可证即为二面角的平面角，再结合几何关系求解即可；

【详解】

（1）如图，连接，为的中点，为菱形对角线的交点，为中点，，又平面，，又菱形的对角线互相垂直平分，，又，平面；

（2）

如图，设中点为，由底面为菱形可知，为等边三角形，，

又平面，，平面，，为二面角的平面角，，故

【点睛】本题考查线面垂直的证明，求二面角的正切值，属于中档题

19.已知，若，且是第三象限角.

（1）求的值；

（2）化简，并求的值.

【答案】（1）（2），

【解析】

分析】

（1）利用诱导公式由求出及，即可求得；（2）利用三角函数诱导公式及同角三角函数之间的关系化简解析式得，代入（1）中的相应值即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

因为是第三象限角，所以，

故.

（2）原式，

故.

【点睛】本题考查三角函数诱导公式，同角三角函数的关系，属于基础题.

20.已知函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；

（2）函数在区间上的最大值为，此时；最小值为，此时.

【解析】

【分析】

（1）由余弦型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期，解不等式，可得出函数的单调递增区间；

（2）由，计算出的取值范围，然后利用余弦函数的性质可得出函数的最大值和最小值，并可求出对应的的值.

【详解】（1），所以，该函数的最小正周期为.

解不等式，得.

因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；

（2），

当时，即当时，函数取得最大值，即；

当时，即当时，函数取得最小值，即.

【点睛】本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算，解题时要充分利用余弦函数的图象与性质进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.

21.已知函数是定义域为R的奇函数.

（1）求实数，的值；

（2）若不等式成立，求t的取值范围.

【答案】（1），.（2）

【解析】

【分析】

（1）利用奇函数的性质赋值得到，，求解，的值；

（2）先判断出函数的单调性，再结合奇函数，去掉符号，从而转化为一般的不等式，解出即可.

【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即，

解得，故.

又由，所以，解得，所以，.

经检验，时，是奇函数.

（2）由（1）知，则在R上是减函数，

又因为是奇函数，所以等价于即，

由在R上为减函数，所以，

解得，故t的取值范围是.

【点睛】本题主要考查已知函数的奇偶性求参数的值，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.

22.已知，，其中为实常数.

（1）若函数在区间[2，3]上为单调递增函数，求的取值范围；

（2）高函数在区间上的最小值为，试讨论函数，的零点的情况.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据复合函数的单调性可知在上为单调递增函数且，由二次函数的图象与性质列出不等式求解即可；（2）换元法将函数解析式转化为一元二次函数，根据二次函数的图象与性质分类讨论求出函数在上的最小值，数形结合分析的零点.

【详解】（1）因为为增函数，且函数在区间上为单调递增函数时，

所以在上为单调递增函数，且，

则解得

综上，的取值范围是.

（2）由已知，

令 ，，

当时，.

①若，则在上为增函数，.

②若，则.

③若，则在上为减函数，.

所以，

画出函数的图象如下图所示：

由数形结合可知：当时，函数，无零点；

当时，函数，有1个零点；

当时，函数，有2个零点.

【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，复合函数的单调性，数形结合分析函数零点，属于中档题.