2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列表示正确的个数是（   ）

　（１）；（４）若则

A．０ B．１ C．２ D．３

【答案】D

【详解】选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若则正确.

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合M，N，根据并集、补集运算求解即可.

【详解】因为，

所以，，

故选：D

3．已知，若集合，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果.

【详解】因为

所以有，解得或

当时，不满足集合中元素的互异性，

故

则

故选:B.

4．已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.

【详解】当时，，

值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，

综上，即实数的取值范围是，

故选：

5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】，当时，A不正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；利用基本不等式可推出D正确.

【详解】对于A，当时，不成立，故A不正确；

对于B，若，则，又，所以，故B不正确；

对于C，因为，，

所以当时，，此时，故C不正确；

对于D，因为，所以，，所以，故D正确.

故选：D

6．已知函数的定义域，则函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出的定义域，再求使有意义的自变量范围即可．

【详解】因为函数的定义域，

所以，即定义域为，

由题意，解得且．

所以定义域为．

故选：C．

7．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　

A．，， B．，，

C．，， D．

【答案】C

【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．

【详解】解：令，

则不等式恒成立转化为在上恒成立．

有，即，

整理得：，

解得：或．

的取值范围为．

故选：C．

8．设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合A，再根据函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的零点分布，结合A∩B恰有一个整数求解.

【详解】A={x|x＜﹣3或x＞1}，

函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，

而f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0，f（0）<0，

故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于1，f（1）<0，

要使A∩B恰有一个整数，

即这个整数解为2，

∴f（2）≤0且f（3）＞0，

即，

解得： ，

即≤a＜，

则a的取值范围为．

故答案为：A.

【点睛】本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

二、多选题

9．已知，且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为16 D．的最小值为

【答案】AD

【解析】利用基本不等式可求出，即可判断AB；由利用基本不等式可判断C；将代入可求出最值，判断D.

【详解】，，解得，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故A正确；B错误；

，当且仅当，即时等号成立，，，故C错误；

，，可得，

，当时，取的最小值为，故D正确.

故选：AD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A．不等式的解集不可能为．

B．不等式的解集可能为或．

C．存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式．

D．存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为．

【答案】CD

【分析】当时，解集为，A错误，根据对称关系不成立，B错误，取，，解不等式得到C正确，根据不等式的解与系数的关系得到D正确，得到答案.

【详解】，当时，解集为，A错误；

若不等式的解集可能为或，

根据二次不等式解与系数的关系，需满足，，不成立，故B错误；

取，，得到，解得，C正确；

和的解都关于对称，

故只能是恒成立，，的解集为，

故，解得或（舍去），D正确；

故选：CD.

11．如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（    ）

A．炮的最大射程为10千米

B．炮的最大射程为20千米

C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物

D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物

【答案】AD

【分析】由，用k表示x并求出最大值判断A，B；由直线与炮弹轨迹有无公共点判断C，D作答.

【详解】在中，令，可得，显然，

因此，当且仅当，即时等号成立，

即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误；

依题意，炮弹击中飞行物，即直线与炮弹轨迹有公共点，而，，

于是得关于的方程，即有正根，

当，即时，方程两根之和为正，两根之积为正，

因此当时，关于的方程有正根，

即当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.

故选：AD

12．若函数，数，则下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意由可得，，，从而归纳出，然后对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】根据题意，函数，则，

同理：，

归纳可得：，依次分析选项：

对于AA正确；

对于BB错误；

对于CC正确；

对于DD正确；

故选:ACD.

三、填空题

13．写出命题：，的否定：________________

【答案】

【解析】根据含全称量词命题的否定，直接写出即可.

【详解】因为含全称量词命题的否定，先改量词为存在性量词，再否定结论，

所以：，的否定：，

故答案为：

14．若，则的解析式为________.

【答案】

【解析】换元法令即可求出函数解析式；或者配凑法求解析式．

【详解】解：（换元法）令，则，

∴，，

∵，

∴，

（配凑法）∵，

且，

∴，

故答案为：．

【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，常用方法有：

（1）换元法或配凑法：已知求，一般采用换元法或配凑法，令，代入求出，或者将中配凑成关于的式子，由此可求得；

（2）待定系数法：已知函数类型常用待定系数法；

（3）方程组法：已知、满足的关系式或、满足的关系式常用方程组法，将条件中的或替换成得另一方程，再解方程组即可求得答案．

15．设为不相等的正实数，若二次函数满足，且存在最小值，则的最小值为___________.

【答案】18

【分析】根据给定条件，建立a，b的关系等式，再利用均值不等式求解作答.

【详解】因二次函数满足，则有，

有或，当时，在时无最小值，不符合题意，

因此，又，则，当且仅当时取等号，

整理得，解得，即，由解得，

所以当时，有最小值18.

故答案为：18

四、双空题

16．已知函数的最大值是9，最小值是1，则___________，___________.

【答案】         

【分析】将变形为，利用判别式法可得的两根为1，9，利用韦达定理即可求得答案.

【详解】由得，故，

当时，的两根为1，9，

故的两根为1，9，故 ，解得，

当时， ，也适合题意；

故答案为：.

五、解答题

17．求下列函数的值域.

(1)；

(2)；.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将函数分离常数变形为，即可求得函数值域；

（2）采用换元法，结合二次函数的性质，即可求得函数值域.

【详解】(1)函数值域为；

(2)令，则且，

故，

结合二次函数的性质可知，当时函数取得最大值，没有最小值，

故值域为.

18．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A, 是 的充分不必要条件得出,求出的范围.

【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，

得在时恒成立，

∴，得，即.

（2）不等式，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件；

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

，此时.

综上①②③可得

【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.

19．函数，，其中表示不超过的最大整数，例，.

（1）写出的解析式；

（2）作出相应函数的图象；

（3）根据图象写出函数的值域.

【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.

【解析】（1）根据题意，分别求出，，时的，代入解析式即可得答案；

（2）根据解析式，作出图象即可；

（3）根据图象，直接可得到的值域.

【详解】（1）当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上；

（2）图象如图所示：；

（3）由图象可得的值域为

20．某汽车制造企业计划在2020年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）需另投入成本万元，该企业确定每辆新能源汽车的售价为6万元，并且年内生产的汽车当年全部售完．

（1）写出2020年的利润L（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（收益=销售额-成本）

（2）2020年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）；（2）2020年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为.

【解析】（1）分析题干，分段列出函数解析式；

（2）由（1）得函数解析式，分别求最值并比较.

【详解】（1）当时，，

当时，，

（2）当时，，

当时，取得最大值；

当时，，

当且仅当，即时取等号，

当时，取得最大值为.

即2020年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为.

【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.

(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

21．设二次函数，，，满足条件：

①当时，，且

②当时，；

③在上的最小值为0．

求最大的，使得存在，只要，就有．

【答案】

【分析】通过三个条件先求出函数解析式，只要，，就有．那么当时也成立确定出的范围，然后研究当时也应成立，利用函数的单调性求出的最值．

【详解】解：①因，则函数的图象关于对称，，即，

由③可知时，，即，

由①得，，由②得，，则，即．

所以，，，

所以．验证满足条件

假设存在，只要，就有．

取，有，即，解得，

对固定的，取，有，即．

化简有：，解得，

故

当时，对任意的，

恒有．

的最大值为9．

22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点，）是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.

(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)已知点是点的“上位点”，判断是否一定存在点满足是点，d）的“上位点”，又是点的“下位点”，若存在，写出一个点坐标，并证明；若不存在，则说明理由；

(3)设正整数满足以下条件，对集合，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

【答案】(1)点的一个“上位点”坐标是，一个“下位点”坐标是(答案不唯一)；

(2)存在，，证明见解析；

(3)201.

【分析】（1）根据新定义，直接求解即可；

（2）存在，利用所给定义及作差法证明即可得解；

（3）由新定义及（2）结论可知时满足条件，再由的范围知时不成立即可得解.

【详解】(1)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：

若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点

的“下位点”.

点的一个“上位点”坐标可以是，一个“下位点”坐标可以是(答案不唯一).

(2)点是点的“上位点”，

一定存在点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.

证明如下：

点是点的“上位点”，

，即，即，即点是点的“上位点”，

，即，即点是点的“下位点”.

综上可得：点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.

(3)若正整数满足条件，

则，在时恒成立，

由（2）中结论可得：时，满足条件，

若，则不成立，(因为即).

故的最小值为201.