湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为( )
A.B.18C.D.12
3．已知,,则( )
A.B.C.D.
4．在中,,则的形状为( )
A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形
5．已知向量,,若与的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.B
7．一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
8．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积“三斜求积”,设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为,若,,则用“三斜求积”公式求得的面积为( )
A.B.C.D.1
二、多项选择题
9．四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则( )
A.B.C.D.
10．设,,为复数,．下列命题正确的是( )
A.B.若,则
C.若,则D.若,则
11．已知锐角三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且,．则下列结论正确的是( )
A.的面积最大值为2B.的取值范围为
C.D.的取值范围为
三、填空题
12．在中,,则__________.
13．已知复数z满足,则（i为虚数单位）的最大值为_________．
14．已知大屏幕下端B离地面3.5米,大屏幕高3米,若某位观众眼睛离地面1.5米,则这位观众在距离大屏幕所在平面多远,可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）____________米．
四、解答题
15．已知，.
（1）若，且A、B、C三点共线，求m的值.
（2）当实数k为何值时，与垂直？
16．如图，在平面四边形中，，，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
17．已知,,,且的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,求面积的取值范围.
18．设函数,．用表示,中的较大者,记为．已知关于x的不等式的解集为．
（1）求实数a,b的值,并写出的解析式;
（2）若,使得成立,求实数k的取值范围．
19．设O为坐标原点,定义非零向量的“相伴函数”为,向量称为函数的“相伴向量”.
（1）设函数,求的“相伴向量”;
（2）记的“相伴函数”为,若函数,与直线有且仅有四个不同的交点,求实数k的取值范围;
（3）已知点满足,向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，，所以，又，
故力对冰球所做的功为.
故选：D.
3．答案：C
解析：
故选：C．
4．答案：B
解析：在中,,则,
由余弦定理得,整理得,则,
所以是直角三角形.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为与的夹角为钝角,所以,即,解得或,
当与共线时, ,, ,
此时和反向,不满足题意,
故x的范围为;
故选：D.
6．答案：B
解析：因为，，，
所以，解得，
所以 在上的投影向量为，
故选：B
7．答案：C
解析：如图,作出,由题意可知,
海里,,,则,
因为,
所以海里,
即B,C两点间的距离是海里.
故选：C.
8．答案：A
解析：由得,,
由,得,
故,
故选：A
9．答案：BD
解析：如图，
A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，
由，得，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对于A：令,,
则,,
,,,
所以,故A正确;
对于B：由复数模的概念可知,不能得到,
例如,,则,但不成立,故B错误;
对于C：由,可得,
因为,所以,即,故C正确;
对于D：令,,
因为,所以,
所以,
,
所以,
,
所以,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：A选项,由余弦定理得,即,
所以,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立,
此时为锐角三角形,满足要求,
故,解得,故,A错误;
B选项,由正弦定理得,
所以,
,
因为为锐角三角形,所以,,
解得,
则,,,B正确;
C选项,,
由正弦定理得,C正确;
D选项,,
由C选项可知,所以,
故,D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为,
由正弦定理得,
不妨设,则,,
由余弦定理得：,
因,所以,
,
故答案为：.
13．答案：6
解析：设(a,b为实数),
则复数z满足的几何意义是以原点为圆心,以1为半径的圆上的点,
则表示的几何意义是圆上的点到的距离,
根据圆的性质可知,所求最大值为.
故答案为：6.
14．答案：
解析：如图所示：
由题意知：,,设,
则,,
所以,
由于,当且仅当,即时取等号,
所以,因为,
所以当时,可以获得观看的最佳视野.
故答案为：.
15、
（1）答案：
解析：由题意可得，，，
且A、B、C三点共线，则可得，
即，
解得；
（2）答案：
解析：由题意可得，，，
因为与垂直，则可得，
解得.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，由余弦定理可得。
，
所以.
(2)设，则，，
在中，由正弦定理可得，
即，所以，.
于是，解得或(舍).
所以，因此.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,有,得,
所以.
令,解得,
所以函数的单调递增区间为.
（2）已知,由,得,
由正弦定理,得,.
,
由是锐角三角形,有,得,
所以,则,
所以,
即面积的取值范围是.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）的解集为,
方程的两根分别为-1和2,
由韦达定理可得：,解得,
令,解得或,作出的图象如下图所示：
则
（2）由（1）得,当时,有最小值,即,
,使得,只需即可,
,,得,故．
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
的“相伴向量”为.
（2）由题知：.
可求得在单调递增,单调递减,单调递增,单调递减且,,,,,
图像与有且仅有四个不同的交点,
所以,实数k的取值范围为.
（3）
其中,,
当,,即时,取得最大值.
此时,
令,则由知：,解之得
,
因为在上单调递增,
所以在上单调递减,
从而.