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内蒙古自治区呼伦贝尔市阿荣旗阿荣旗阿伦中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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试卷满分：120分
一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A. 相交或垂直B. 垂直或平行
C. 平行或相交D. 相交或垂直或平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．
故选：C
【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
2. 下面各图中和是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角．熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
根据对顶角定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，D选项中是对顶角，符合要求；
故选：D．
3. 如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据连接从直线外一点到这条直线上的所有点的线段中，垂线段最短求解了可．
【详解】解：∵，
∴于点B，
∴，
∴可能，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
4. 如图，直线被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A. ∠3与∠4是同旁内角B. 与是同位角
C. 与是内错角D. 与是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、与是内错角，不符合题意；
B、与不是同位角，不符合题意；
C、与不是同旁内角，不符合题意；
D、与是同旁内角，不符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
5. 下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，①错误，故不符合要求；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②正确，故符合要求；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，③错误，故不符合要求；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，④错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质等知识．熟练掌握平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
7. 如图所示，已知直线，相交于点，平分，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义求出，最后根据进行求解．
【详解】因为平分，，
所以，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
8. 下列图形中，由能得到是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等．熟练掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行是解题的关键．
根据平行线的判定定理，对顶角相等对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：如图，
A中能得到，故符合要求；
B中能得到，故不符合要求；
C中能得到，故不符合要求；
D中不能得到，故不符合要求；
故选：A．
9. 如图，一块直角三角板直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．
10. 如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线定义、一元一次方程的应用，熟练掌握垂线定义和找准角的等量关系是解答的关键．
根据垂线定义可求得，进而根据列方程求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得
∴，
故选：A．
11. 如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）
A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM=∠BME=80°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12. 如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，
∵直线直线n，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
13. 如图所示，在河堤P处建一座桥，桥身最短的是_________，其中的道理是_________．
【答案】 ①. ## ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴桥身最短的是，其中的道理是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
14. 如图所示，若，，则_____度．
【答案】
【解析】
【分析】要求的度数，只要求出，因为与是同旁内角，根据平行线的性质，只需证明；由已知，即可证．
【详解】解：，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，，
．
故答案为：。
15. 如图，和_________是同位角，和________是内错角，的邻补角是________．
【答案】 ①. ②. ③. 或
【解析】
【分析】本题考查了同位角，内错角，邻补角．熟练掌握同位角，内错角，邻补角是解题的关键．
根据同位角，内错角，邻补角的定义进行作答即可．
【详解】解：由题意知，和是同位角，和是内错角，的邻补角是或，
故答案为：，，或．
16. 如图所示，小红用一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，
，
，
∵，
，
故答案为：
17. 如图，分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
如图，作，则，由，可得，则，由，可知，计算求解即可．
【详解】解：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共计8小题，共计69分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用乘法运算律计算求解即可；
（2）先计算有理数的乘方，绝对值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了乘法运算律，有理数的乘方，绝对值，有理数的混合运算．熟练掌握乘法运算律，有理数的乘方，绝对值，有理数的混合运算是解题的关键．
19. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，填写下列空格：
（已知）
（ ）
（已知）
（等量代换）
∴ （ ）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
根据平行线的判定与性质按照步骤作答即可．
【详解】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
20. 如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
（1）过E作直线CD，使CD∥AB；
（2）过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
（3）请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）CD⊥EF．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的作法用直尺和三角板作图即可；
（2）利用三角板的两条直角边作图即可；
（3）根据平行线的性质和垂直的定义说明.
【详解】解：（1）直线CD即为所求，如图；
（2）直线EF即为所求，如图；
（3）CD⊥EF.理由如下：
∵EF⊥AB ，
∴∠EFB=90º，
∵CD∥AB，
∴∠DEF+ ∠EFB=180°，
∴∠DEF=180º-90º=90º，
∴CD⊥EF.
21. 一个角的补角比这个角的2倍还多，求这个角余角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角为，写出它的补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数，即可得解．
【详解】解：设这个角为，则其余角为，补角为，依题意有
，
解得．
，
答：这个角的余角的度数是．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．
22. 完成下列说理过程
如图：直线与相交于点平分，求的度数．
解：因为（ ）
又因为（已知）
所以（ ）
因为平分（已知）
所以（ ）
因为（已知）
所以 °（ ）
所以
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线．熟练掌握对顶角相等，角平分线，垂线是解题的关键．
根据对顶角相等，角平分线的定义，垂线的定义按照步骤求解作答即可．
【详解】解：因为（对顶角相等）
又因为（已知）
所以（等量代换）
因平分（已知）
所以（角平分线的定义）
因为（已知）
所以（垂线的定义）
所以
．
23. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.
（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数.
【答案】（1）54°；（2）120°
【解析】
【分析】（1）由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=36°，由∠COE=90°可得∠EOD=90°，所以∠BOE=∠EOD－∠BOD=54°；（2）由∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，可得∠EOB=180°×=60°，所以∠AOE=180°－∠EOB=120°.
【详解】解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOD=36°，∠EOD=90°，
∴∠BOE=90－36°=54°；
（2）∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，
∴∠EOB=180°×=60°，
∴∠AOE=180°－∠EOB=180°－60°=120°.
【点睛】本题主要掌握对顶角的性质、角的互补性质.
24. 完成下面的证明．
（1）如图1，和相交于点，，求证．
证明：，（ ）
，（ ）
∴ = ．（ ）
（2）如图2，点D，E，F分别是的边上的点，，求证：．
证明：∵，（ ）
，（ ）
，（ ）
，（ ）
∴ = ．（等量代换）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线判定与性质按照步骤作答即可；
（2）根据平行线的性质按照步骤作答即可．
【小问1详解】
证明：，（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
【小问2详解】
证明：∵，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
25. 填空完成以下证明：
已知如图，，，于点H，求证：．
证明：∵（已知），
∴___________．
∵（已知），
∴（ ），
∴∠2=___________（ ）．
∵（已知），
∴∠3=___________（ ），
∴（ ）．
∴___________（ ），
∴．
【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，结合题目条件填空即可求解．
【详解】证明：（已知），
∴．
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，熟知相关定理并结合图形与已知条件灵活应用是解题关键．
试卷满分：120分
一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A. 相交或垂直B. 垂直或平行
C. 平行或相交D. 相交或垂直或平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．
故选：C
【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
2. 下面各图中和是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角．熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
根据对顶角定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，D选项中是对顶角，符合要求；
故选：D．
3. 如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据连接从直线外一点到这条直线上的所有点的线段中，垂线段最短求解了可．
【详解】解：∵，
∴于点B，
∴，
∴可能，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
4. 如图，直线被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A. ∠3与∠4是同旁内角B. 与是同位角
C. 与是内错角D. 与是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、与是内错角，不符合题意；
B、与不是同位角，不符合题意；
C、与不是同旁内角，不符合题意；
D、与是同旁内角，不符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
5. 下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，①错误，故不符合要求；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②正确，故符合要求；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，③错误，故不符合要求；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，④错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质等知识．熟练掌握平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
7. 如图所示，已知直线，相交于点，平分，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义求出，最后根据进行求解．
【详解】因为平分，，
所以，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
8. 下列图形中，由能得到是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等．熟练掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行是解题的关键．
根据平行线的判定定理，对顶角相等对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：如图，
A中能得到，故符合要求；
B中能得到，故不符合要求；
C中能得到，故不符合要求；
D中不能得到，故不符合要求；
故选：A．
9. 如图，一块直角三角板直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．
10. 如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线定义、一元一次方程的应用，熟练掌握垂线定义和找准角的等量关系是解答的关键．
根据垂线定义可求得，进而根据列方程求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得
∴，
故选：A．
11. 如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）
A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM=∠BME=80°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12. 如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，
∵直线直线n，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
13. 如图所示，在河堤P处建一座桥，桥身最短的是_________，其中的道理是_________．
【答案】 ①. ## ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴桥身最短的是，其中的道理是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
14. 如图所示，若，，则_____度．
【答案】
【解析】
【分析】要求的度数，只要求出，因为与是同旁内角，根据平行线的性质，只需证明；由已知，即可证．
【详解】解：，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，，
．
故答案为：。
15. 如图，和_________是同位角，和________是内错角，的邻补角是________．
【答案】 ①. ②. ③. 或
【解析】
【分析】本题考查了同位角，内错角，邻补角．熟练掌握同位角，内错角，邻补角是解题的关键．
根据同位角，内错角，邻补角的定义进行作答即可．
【详解】解：由题意知，和是同位角，和是内错角，的邻补角是或，
故答案为：，，或．
16. 如图所示，小红用一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，
，
，
∵，
，
故答案为：
17. 如图，分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
如图，作，则，由，可得，则，由，可知，计算求解即可．
【详解】解：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共计8小题，共计69分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用乘法运算律计算求解即可；
（2）先计算有理数的乘方，绝对值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了乘法运算律，有理数的乘方，绝对值，有理数的混合运算．熟练掌握乘法运算律，有理数的乘方，绝对值，有理数的混合运算是解题的关键．
19. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，填写下列空格：
（已知）
（ ）
（已知）
（等量代换）
∴ （ ）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
根据平行线的判定与性质按照步骤作答即可．
【详解】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
20. 如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
（1）过E作直线CD，使CD∥AB；
（2）过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
（3）请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）CD⊥EF．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的作法用直尺和三角板作图即可；
（2）利用三角板的两条直角边作图即可；
（3）根据平行线的性质和垂直的定义说明.
【详解】解：（1）直线CD即为所求，如图；
（2）直线EF即为所求，如图；
（3）CD⊥EF.理由如下：
∵EF⊥AB ，
∴∠EFB=90º，
∵CD∥AB，
∴∠DEF+ ∠EFB=180°，
∴∠DEF=180º-90º=90º，
∴CD⊥EF.
21. 一个角的补角比这个角的2倍还多，求这个角余角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角为，写出它的补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数，即可得解．
【详解】解：设这个角为，则其余角为，补角为，依题意有
，
解得．
，
答：这个角的余角的度数是．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．
22. 完成下列说理过程
如图：直线与相交于点平分，求的度数．
解：因为（ ）
又因为（已知）
所以（ ）
因为平分（已知）
所以（ ）
因为（已知）
所以 °（ ）
所以
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线．熟练掌握对顶角相等，角平分线，垂线是解题的关键．
根据对顶角相等，角平分线的定义，垂线的定义按照步骤求解作答即可．
【详解】解：因为（对顶角相等）
又因为（已知）
所以（等量代换）
因平分（已知）
所以（角平分线的定义）
因为（已知）
所以（垂线的定义）
所以
．
23. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.
（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数.
【答案】（1）54°；（2）120°
【解析】
【分析】（1）由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=36°，由∠COE=90°可得∠EOD=90°，所以∠BOE=∠EOD－∠BOD=54°；（2）由∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，可得∠EOB=180°×=60°，所以∠AOE=180°－∠EOB=120°.
【详解】解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOD=36°，∠EOD=90°，
∴∠BOE=90－36°=54°；
（2）∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，
∴∠EOB=180°×=60°，
∴∠AOE=180°－∠EOB=180°－60°=120°.
【点睛】本题主要掌握对顶角的性质、角的互补性质.
24. 完成下面的证明．
（1）如图1，和相交于点，，求证．
证明：，（ ）
，（ ）
∴ = ．（ ）
（2）如图2，点D，E，F分别是的边上的点，，求证：．
证明：∵，（ ）
，（ ）
，（ ）
，（ ）
∴ = ．（等量代换）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线判定与性质按照步骤作答即可；
（2）根据平行线的性质按照步骤作答即可．
【小问1详解】
证明：，（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
【小问2详解】
证明：∵，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
25. 填空完成以下证明：
已知如图，，，于点H，求证：．
证明：∵（已知），
∴___________．
∵（已知），
∴（ ），
∴∠2=___________（ ）．
∵（已知），
∴∠3=___________（ ），
∴（ ）．
∴___________（ ），
∴．
【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，结合题目条件填空即可求解．
【详解】证明：（已知），
∴．
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，熟知相关定理并结合图形与已知条件灵活应用是解题关键．
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