专题05 一元二次方程单元过关（基础版）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x=3B．x2+xy-5=0
C．x2+2x=3 D．x+3x-1=5x
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．方程x2+1x=3为分式方程，所以A选项不符合题意；
B．方程x2+xy-5=0为二元二次方程，所以B选项不符合题意；
C．方程x2+2x=3为一元二次方程，所以C选项符合题意；
D．方程x+3x-1=5x为一元一次方程，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）若m2-4x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠2B．m≠-2C．m≠-2，或m≠2D．m≠-2，且m≠2
【答案】D
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义列式求解，即可得到答案．
【详解】解：∵m2-4x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，
∴m2-4≠0，
解得：m≠-2，且m≠2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握一元二次方程满足的两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0．
3．（2023春·八年级课时练习）已知M=t-2，N=t2-t（t为任意实数），那么M、N的大小关系为（ ）
A．M>NB．M2，
∴m>0，
解得：m>0，
∴m的取值范围m>0．
【点睛】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．
19．（2022秋·九年级单元测试）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年村该村的人均收入=2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【详解】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：20000(1+x)2=24200，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.1（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×(1+10%)=26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
20．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=-52，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)25或1．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m-1，x1x2=-3m2+m，整体代入得到m2+2m-3=0求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0，
∴a=1，b=-2m-1，c=-3m2+m，
∴Δ=b2-4ac=-2m-12-4×1×-3m2+m=4m-12，
∵4m-12≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m-1，x1x2=-3m2+m，
∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22-2x1x2x1x2=-52，
∴x1+x22x1x2=-12，
∴(2m-1)2-3m2+m=-12，整理，得5m2-7m+2=0，解得m1=25，m2=1，
∴m的值为25或1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
21．（2023·四川·九年级专题练习）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400-m千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润=售价-进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据题意得：
240x-4=240x+2，
解得：x1=10，x2=-12，
经检验x1=10，x2=-12都是原方程的解，但x2=-12不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400-m千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
w=20-12m+16-10400-m=2m+2400，
∵12m+10400-m≤4600m>0，
∴00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w最大=2×300+2400=3000，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
22．（2023·北京·九年级专题练习）已知关于x的方程mx2-m+3x+3=0m≠0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或3
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵mx2-m+3x+3=0m≠0，
∴Δ=-m+32-4m×3
=m2+6m+9-12m
=m2-6m+9
=m-32；
∵m-32≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根为x1,x2，
则：x1⋅x2=3m，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴3m是整数，
∵m为正整数，
∴m=1,3．
【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，以及根与系数的关系，是解题的关键．
23．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％
(2)下调后每辆汽车的售价为21万元
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程1+x2=1+96％，进而问题可求解；
（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为8+225-m辆，然后可得方程为m-158+225-m=96，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
1+x2=1+96％，
解得：x1=0.4,x2=-2.4（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：
m-158+225-m=96
解得：m1=23,m2=21，
∵尽量让利于顾客，
∴m=21；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
24．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程x2-(m+3)x+m2+24=0．
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=x1x2+412，求实数m的值．
【答案】(1)m≥-76
(2)m=2
【分析】（1）根据根的判别式，可得不等式并求解，即可获得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得关于m的方程，解方程即可获得答案．
【详解】（1）解：由关于x的方程x2-(m+3)x+m2+24=0，
可得Δ=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×m2+24≥0，
解得m≥-76；
（2）由根与系数的关系，可得x1+x2=m+3，x1x2=m2+24>0，
∵x12+x22=x1x2+412，
∴x1+x22=x12+2x1x2+x22=3x1x2+412，
即(m+3)2=3(m2+2)4+412，
解得m1=-26(不符合题意，舍去)，m2=2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
25．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝-ba，x1x2＝ca
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求1s-1t的值．
【答案】(1)32；-12
(2)-132
(3)17或-17
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出m+n=32，mn=-12，然后将nm+mn进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出s+t=32，st=-12，然后求出s-t的值，然后将1s-1t进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-ba=--32=32，x1⋅x2=ca=-12．
故答案为：32；-12．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-ba=--32=32，mn=ca=-12，
∴nm+mn=m2+n2mn
=m+n2-2mnmn
=322-2×-12-12
=-132
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴s+t=-ba=--32=32，st=ca=-12，
∵t-s2=t+s2-4st
=322-4×-12
=94+2
=174
∴t-s=172或t-s=-172，
当t-s=172时，1s-1t=t-sst=172-12=-17，
当t-s=-172时，1s-1t=t-sst=-172-12=17，
综上分析可知，1s-1t的值为17或-17．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t-s=172或t-s=-172，是解答本题的关键．评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题