专题04 相似三角形的应用（知识串讲+7大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：相似三角形应用——测树高
典例1：（2022秋·九年级课时练习）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树(AB)8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2m，观测者目高CD=1.75m，则树高AB约是多少米？
【答案】树高AB约是7m．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则ΔABE∽ΔCDE，
则BEDE=ABCD，即82=AB1.75，
解得：AB=7m，
答：树高AB约是7m．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解．
【变式1】（2020秋·河北保定·九年级校考期中）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米；
小丽：测量甲树的影长为4米（如图1）；
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
（1）请直接写出甲树的高度为 米；
（2）求乙树的高度．
【答案】（1）5；（2）4.2m．
【分析】(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,利用比例式直接得出树高;
(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度,即可求出答案.
【详解】（1）根据题意得：设甲树的高度为x米，可得
10.8＝x4，解得：x＝5（米）．
故答案为5．
（2）如图：
假设AB是乙树，
∴BC＝2.4m，CD＝1.2m，∴＝，∴＝，∴CE＝0.96（m），
∴＝，∴AB＝4.2（m），答：乙树的高度为4.2m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键.
【变式2】（2022秋·九年级单元测试）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m，量得CC′为12m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求树高．
【答案】这棵古树的高为10m
【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴{1.7x=+y
解得{x=10y=18017．
∴这棵古树的高为10m．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【变式3】（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA=3m，AC=9m，求这棵树的高度CD．
【答案】这棵树的高度CD为4m
【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴ABCD=EAEC=33+9=14，
∵AB=1，
∴CD=4．
答：这棵树的高度CD为4m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．
考点2：相似三角形应用——影长问题
典例2：（2022秋·陕西·九年级西北大学附中校考期中）如图，花丛中有一路灯AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE=3m，沿BD方向行走到达点G，DG=5m，这时小明的影长GH=5m.如果小明的身高为1.7m，求路灯AB的高度.（精确到0.lm)
【答案】路灯AB的高度约为6.0m
【分析】根据AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，则有CDAB=DEBD+DE和FGAB=HGHG+GD+DB，而CD=FG，即可得DEBD+DE=HGHG+GD+DB，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出AB．
【详解】由题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，
∴CD//AB.∴ΔCDE∽ΔABE.
∴CDAB=DEBD+DE.①
同理，ΔFGH∽ΔABH，
∴FGAB=HGHG+GD+DB.②
又∵CD=FG=1.7，
∴由①，②可得DEBD+DE=HGHG+GD+BD，
即3BD+3=55+5+BD，
解得BD=7.5.
将BD=7.5代入①，得AB=5.95≈6.0.
故路灯AB的高度约为6.0m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．
【答案】围墙AB的高度是4.4m
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=0.8m，OE=0.8m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
即xx+(3−0.8)=1.2+0.83，
解得：x=4.4m．
经检验：x=4.4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4.4m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
【变式2】（2017·陕西西安·统考模拟预测）小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度．如图，相邻的两盏路灯AC、BD高度相等，某天晚上，小颖站在E点处，此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．这时，小林测得EF=10.2米，已知AB=1.6米，小颖身高ME=1.6米，小华身高NF=1.75米，AC、BD、ME、NF均与地面垂直．请你根据以上数据计算路灯的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】路灯的高度约为6.8米．
【详解】试题分析：设灯杆AC=BD=x，可证△AEM∽△ABD，得到AE=AB⋅MEBD=32BD=32x，同理可求出BF=35x，由AE+BF=9.8可得结论.
试题解析：设灯杆AC=BD=x，
由题可知，ME∥BD，△AEM∽△ABD，
∴AEAB=MEBD，
∴AE=AB⋅MEBD=32BD=32x，
同理可证：△BNF∽△BCA，
∴BFAB=NFAC，∴BF=35x，
∴AE+BF=AB−EF=20−10.2=9.8，
∴32x+35x=9.8，
解得：x≈6.8
答：路灯的高度约为6.8米．
【变式3】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）某校园有旗杆AB在阳光下某一时刻的影子长为AG．高1.6米的标杆EF在同一时刻的影子为EM（其中AB，EF都与地面垂直）．通过测量获得数据AG=7.5，EM=1米．
(1)在图中画出旗杆的影子；
(2)求旗杆AB的高度．
【答案】(1)见解析
(2)旗杆AB的高度为12米
【分析】（1）过点B作FM的平行线即可；
（2）根据AB、EF在同一时刻的阳光下，可得BG∥FM，得∠BGA=∠FME，又因为∠BAG=∠FEM=90°，可证△BAG∽△FEM，得BAFE=AGEM，即可得答案．
【详解】（1）解：
如上图：过点B作FM的平行线交直线AE与点G，线段AG即为所求；
（2）∵AB、EF在同一时刻的阳光下，
∴BG∥FM，
∴∠BGA=∠FME，
∵∠BAG=∠FEM=90°，
∴△BAG∽△FEM，
∴BAFE=AGEM，
∵AG=7.5，EM=1，EF=1.6，
∴BA1.6=7.51，
∴AB=12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，做题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，证△BAG∽△FEM．
考点3：相似三角形应用——测河宽
典例3：（2023春·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
(1)第一小组认为要知道河宽AB，只需要知道线段______的长度．
(2)第二小组测得BC=30米，则AB=______．
(3)第三小组认为只要测得CD就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】(1)BC
(2)30米
(3)可行，理由见解析
【分析】（1）由题意得△ABC为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得△ABC为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得△ABO≌△DCO，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴要知道河宽AB，只需要知道线段BC的长度，
故答案为：BC；
（2）解：∵∠DBC=∠ACB+∠CAB，
∴∠CAB=∠DBC−∠ACB=70°−35°=35° ，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=BC=30米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在△ABO和△DCO中，
∠C=∠B=90°BO=OC∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△DCOASA，
∴AB=CD，
∴只要测得CD就能得到河宽AB，
故第三小组的方案可行．
【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想．
【变式1】（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走16m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么河宽是多少米？
【答案】河宽为80米
【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO=∠DCO=90°，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴ABDC=BOCO，
∵BO=50m，CO=10m，CD=16m，
∴AB16=5010，
∴AB=80m，
答：河宽为80米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．
【变式2】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，小聪采用了如下方法：如图，从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达D处，再右转90°走到E处，使点B、C、E恰好在一条直线上，量的DE=20m，这样就可以求出河宽AB．请说明理由，并计算出结果．
【答案】河宽AB为60米
【分析】先根据已知条件求出△ACB∽△DCE，再根据相似三角形的对应边成比例，解答即可．
【详解】解：由题意知，AC=45，CD=15，DE=20，∠BAC=∠EDC=90°，
又∵∠ACB=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴ACAB=CDDE，即45AB=1520，
∴AB=60，
答：河宽AB为60米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是将问题抽象到相似三角形中．
【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为了估算池塘的宽度AB，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且MN∥AB．经测量MN=38m，CM=21m，AM=63m，求池塘AB的宽度．
【答案】152m
【分析】根据MN∥AB，可得△CMN∽△CAB，然后再根据相似三角形的性质可得MNAB=CMAC ，再代入数进行计算即可．
【详解】解：∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴MNAB=CMAC，
∵MN=38m，CM=21m，AM=63m，
∴AC=CM+AM=84m，
∴38AB=2163，
∴AB=152m．
∴池塘AB的宽度是152m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确理解题意证明△CMN∽△CAB是解题的关键．
考点4：相似三角形应用——杠杆问题
典例4：（2023·陕西西安·统考一模）如图，乐乐测得学校门口栏杆的短臂OA长1米，长臂OB长4米，当短臂外端A下降0.6米时，求长臂外端B升高多少米？
【答案】2.4米
【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图所示，A′B′为升降之后的栏杆，过A′、B′作A′C⊥AB，B′D⊥AB，垂足分别为C、D．
由题意知，OA=OA′=1，OB=OB′=4，
∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，
∴A′C∥B′D，
∴∠A′CO=∠B′DO，∠A′=∠B′，
∴△OCA′∽△ODB′
∴OCOD=A′CB′D，即14=0.6B′D，
解得：B′D=2.4．
即长臂外端B升高2.4米．
【点睛】此题考查了相似三角形在实际生活中的运用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图1所示的是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足AO=3OB（AB与CD相交于点O)），要把这块石头翘动，至少要将杠杆的C点向下压（ ）
A．3cmB．9cmC．15cmD．27cm
【答案】D
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．
【详解】解：由题意得，AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵AO=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=27cm，
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
【变式2】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如下图，跷跷板支架EF的高为0.3米，E是AB的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度BC等于 米．

【答案】0.6/35
【分析】当EF∥BC时，BC最大，根据EF∥BC，得△AEF∽△ABC，从而得EFBC=AEAB，再根据E是AB的中点，得AEAB=12，代入即可求解．
【详解】解：当EF∥BC时，BC最大，
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴EFBC=AEAB
∵E是AB的中点，
∴AEAB=12
∴BC=2EF=0.6米，
故答案为：0.6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）铁道口栏杆的短臂长为0.8米，长臂长为8米，当短臂端点下降0.4米时，长臂端点升高 米．（杆的粗细忽略不计）．
【答案】4
【分析】如图所示，由相似三角形的判定与性质，结合题意可知△ABO∽△DCO，从而ABOA=CDOD，代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∴∠ABO=90°=∠DCO，∠AOB=∠DOC，
∴ △ABO∽△DCO，
∴ ABOA=CDOD，即，解得CD=8×（米），
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用相似三角形的判定与性质解决实际问题，读懂题意，准确找到相似三角形列出相似比是解决问题的关键．
考点5：相似三角形应用——古代文化
典例5：（2022·湖北咸宁·统考模拟预测）我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC是10亩整．股差AD=90步，勾差BF=10步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩=240平方步）答：（ ）
A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩
C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩
【答案】A
【分析】首先判定△AED∽△EBF，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE=EF求得DE=30；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．
【详解】解：根据题意知，△AED∽△EBF，则ADDE=EFFB．
又∵DE=EF，
∴DE=AD⋅FB=90×10=30．
所以，芝麻田的面积为：S芝麻=30×30÷240=3.75（亩)．
黍田的面积为：S黍=12AC⋅CB÷240−S芝麻
=12AD+DCCF+FB÷240−S芝麻
=12×(90+30)(30+10)÷240−3.75
=6.25（亩)．
综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键是在正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【变式1】（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

【答案】18.2/1815
【分析】如图，过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，可得DH=7−1.4=5.6，证明△FDH∽△FBQ，可得DHBQ=FHFQ，可得QB=16.8，从而可得答案．
【详解】解：如图，过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，
则FH=CE=10，QH=AC=20，FQ=AE=AC+CE=30，EF=CH=AQ=1.4，
∴DH=7−1.4=5.6，

∵DC∥BA，
∴△FDH∽△FBQ，
∴DHBQ=FHFQ，
∴1030=5.6QB，解得：QB=16.8，经检验符合题意；
∴AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；
故答案为：18.2
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
【变式2】（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= m．

【答案】6
【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴BDPQ=ABAQ
∵AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，
∴PQ=AQ×BDAB=12×2040=6m,
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3】（2023·江苏宿迁·统考三模）《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：“今有一根木杆，不知道其长度．量它的影子，等于1丈5尺．另外再有一根标杆，杆长1尺5寸，量得标杆的影子为5寸．问：木杆长多少？”（注：一丈＝十尺，一尺＝十寸）．若单位统一为尺，则木杆长 尺．
【答案】45
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：∵一丈等于十尺，一尺等于十寸，
∴木杆的影子长15尺，标杆长1.5尺，标杆的影子长0.5尺，
设木杆长x尺，
由题意得：x15=1.50.5，
∴x=45，
即木杆长45尺，
故答案为：45．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
考点6：相似三角形应用——测楼高
典例6：（2020秋·山东威海·九年级统考期末）如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重合且高度恰好相同.此时测得墙上影子高CD=1.2m,DE=0.6m,BD=30m(点B,E,D在同一条直线上).已知小明身高EF是1.6m，则楼高AB为（ ）
A．20mB．21.2mC．31.2mD．31m
【答案】B
【分析】过点C作CN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△CFM∽△CAN，从而得出AN，进而求得AB的长．
【详解】过点C作CN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，
∴四边形CDEM、BDCN是矩形，
∴BN=ME=CD=1.2m，CN=BD=30m，CM=DE=0.6m，
∴MF=EF−ME=1.6−1.2=0.4m，
依题意知，EF∥AB，
∴△CFM∽△CAN，
∴CMCN=FMAN，即：0.630=0.4AN，
∴AN=20，
AB=AN+BN=20+1.2=21.2(米)，
答：楼高为21.2米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
【变式1】（2023·陕西榆林·统考二模）星明楼，又称新楼，位于榆林市南大街中心，如图①．小华为了解星明楼查阅资料发现星明楼的高度AB=18.2米，一天他实地观测星明楼，如图②，他在距星明楼30米（FB=30米）的F处，沿FB向点B前进，当走到点H处时，恰好看到广告牌CD的顶端C和楼顶A在一条直线上，小华的眼睛到地面的距离EF=GH=1.7米，广告牌的高度CD=3.2米，BD=20米，点B、D、H、F在一条水平线上，AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF，EF⊥BF，请求出小华从F处向前走了多少米恰好看到点C和点A在一条直线上（即求HF的长）？

【答案】8米
【分析】如图：过点G作GM⊥AB于点M，交CD于点N；由题可得：MB=ND=GH=1.7，MN=BD=20，CN=CD−ND=1.5，AM=AB−MB=16.5，∠AMG=∠CNG=90°；然后证明△AMG∼△CNG可得+NGNG，进而得到NG=2，即DH=NG=2；最后根据HF=BF−BD−DH即可解答．
【详解】解：如图：过点G作GM⊥AB于点M，交CD于点N，

由题可得：MB=ND=GH=1.7，MN=BD=20，CN=CD−ND=1.5，AM=AB−MB=16.5，∠AMG=∠CNG=90°，
∵∠AGM=∠CGN，
∴△AMG∼△CNG，
∴AMCN=MGNG，
即+NGNG，
解得：NG=2，
∴DH=NG=2，
∴HF=BF−BD−DH=30−20−2=8（米），
∴小华从F处向前走了8米恰好看到点C和点A在一条直线上．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
【变式2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为3米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF．（结果保留整数）

【答案】小树EF的高度约为10米．
【分析】由EF∥AB可判断△DEF∽△DAB，利用相似比得到DFDB=EFAB①，同样可证明△BEF∽△BCD得到BFBD=EFCD②，然后把两式相加得到方程，再解方程求出EF即可．
【详解】解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴DFDB=EFAB①，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴BFBD=EFCD②，
①+②得DFDB+BFBD=EFAB+EFCD，
由题意得AB=5×3=15，CD=9×3=27，
∴EF15+EF27=1，
∴EF≈10米．
答：小树EF的高度约为10米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【变式3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB=5m，DE=1.5m，则楼高MN是（ ）
A．13.5mB．16.5mC．17.5mD．22m
【答案】C
【分析】依题意，四边形CBDE,FMED,DCMF都是矩形，FM=CB=ED=1.5m，EC=DB=5m，FC=BM=15m，证明△AEC∽△NEF，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，四边形CBDE,FMED,DCMF都是矩形，
∴FM=CB=ED=1.5m，EC=DB=5m，FC=BM=15m，
∵AB=5.5m
∴AC=AB−BC=5.5−1.5=4(m),
∵AC∥MF
∴△AEC∽△NEF
∴ACNF=ECEF
即4NF=55+15
解得：NF=16m
∴MN=MF+FN=16+1.5=17.5(m)，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点7：相似三角形应用——矩形综合
典例7：（2023·甘肃兰州·统考一模）四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据题意得出△ABH∽△FEH，代入数据即可求解．
【详解】解：依题意，AB∥EF，
∴△ABH∽△FEH，
∴ABEF=BHEH，
∵测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．
∴1EF=0.52.5−0.5
解得：EF=4，
∴BG=4
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式1】（2020秋·北京房山·九年级期中）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH的长为（ ）
A．0.95里B．1.05里C．2.05里D．2.15里
【答案】B
【分析】先根据题意得到△AHF∼△GAE，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
【详解】解： ∵AD//EG
∴∠DAH=∠EGA
∵∠HFA=∠AEG=90°
∴△AHF∼△GAE
∴AFEG=HFAE
∵EG=15,AE=4.5,AF=3.5
∴3.515=HF4.5
∴HF=1.05，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】（2020秋·广东清远·九年级期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC=60mm,高AD=45mm,要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH=2EF，则这个矩形零件的长为（ ）

A．36mmB．40mmC．72mmD．80mm
【答案】A
【分析】设矩形的宽EF=xmm,则长EH=2xmm,由矩形的性质得到EH∥BC，EF∥AD，推出△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结果．
【详解】解：设矩形的宽EF=xmm，则长EH=2xmm，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH//BC，EF//AD，
∴ΔAEH∽ΔABC，ΔBEF∽ΔBAD，
∴ EFAD=BEBA，EHBC=AEAB，
∴ x45=BEBA，2x60=AEAB，
∵BE+AE=AB，
∴ x45+2x60=BEAB+AEAB=ABAB=1，
解得：x=18，
∴EF=18mm，EH=36mm，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，巧妙利用比例式得到x45+2x60=BEAB+AEAB=ABAB=1是解题的关键．
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．245B．365C．725D．2885
【答案】C
【分析】通过证明△AEF∽△ABC，可得2EH8=6−EH6，可求EH的长，即可求解．
【详解】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AD−EHAD，
∵EF＝2EH，BC=8，AD=6，
∴2EH8=6−EH6
∴EH＝125，
∴EF＝245，
∴矩形EFGH的周长＝2×245+125=725
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）某班同学要测量学校升国旗的旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.6m，影长为1m，旗杆的影长为7.5m，则旗杆的高度是（ ）
A．9mB．10mC．11mD．12m
【答案】D
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
【详解】设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：1.61＝x7.5，
解得：x＝1.6×7.5＝12（m），
∴旗杆的高度是12m．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.
2．（2022秋·山西·九年级校联考期末）大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
x9=1015，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（ ）
A．22.5mB．20mC．14.4mD．12.8m
【答案】D
【分析】先根据相似三角形的判定证出△BAE∼△DCE，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵镜子垂直于地面，
∴入射角等于反射角，
∴∠DEC=∠BEA，
∵DC⊥AC,BA⊥AC，
∴∠DCE=∠BAE=90°，
∴△BAE∼△DCE，
∴ABCD=AECE，即AB1.6=162，
解得AB=12.8m，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键．
4．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）cm．
A．20B．18C．15D．16
【答案】B
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴AEAC=DEBC
设屏幕上图形的高度是x，则2060=6x
解得x=18cm．
所以，屏幕上图形的高度为18cm．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5．（2023春·九年级课时练习）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是( )
A．24 mB．25 mC．28 mD．30 m
【答案】D
【详解】由题意可得：EP∥BD，
所以△AEP∽△ADB，
所以APAP+PQ+BQ=EPBD，
因为EP=1.5，BD=9，
所以1.59=AP2AP+20，
解得：AP=5，
因为AP=BQ，PQ=20，
所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30，
故选：D．
点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6．（2023春·九年级统考课时练习）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )
A．米B．米C．米D．10米
【答案】A
【详解】试题解析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴ACEF=CGEG
∴AC1.6=153
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
7．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA＝20cm，AA′＝30cm，则三角尺与它在墙上影子的周长比是（ ）
A．4：9B．2：3C．4：25D．2：5
【答案】D
【分析】由题意知三角尺与其影子相似，先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：如图，
∵OA=20cm，AA′＝30cm，
∴OA′=50cm，
∴ABA′B′=OAOA′=2050=25，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=ABA′B′=25=2：5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．
8．（2022秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，光线从点A(0，1)处射出射向x轴上的点P，经x轴镜面反射后，光线经过点B(6，5)，则OP的长度是( )

A．57B．1C．112D．113
【答案】B
【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证△AOP∽∠BCP，再推得对应线段成比例，可求得OP的长度．
【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．
如图，PQ为法线，则入射角等于反射角，即∠APQ=∠BPQ，过B作x轴的垂线，垂足为点C．

又∵PQ⊥OC，∠OPA=90°−∠APQ， ∠CPB=90°−∠BPQ
∴∠OPA=∠CPB
∵∠AOP=∠BCP=90°，
∴△AOP∽∠BCP
∴OPOA=CPBC，
∵A(0，1)、B(6，5)，设OP=x，
∴OA=1，BC=5，CP=OC−OP=6−x，
∴x1=6−x5
解得：x=1．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等．
9．（2022春·湖北十堰·九年级专题练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距AB为20cm，像距BC为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：20：30＝x：4.5．
解得x＝3．
即蜡烛火焰的高度是3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．
10．（2023春·九年级课时练习）身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（ ）
A．185cmB．180cmC．170cmD．160cm
【答案】B
【详解】由题意得：设小雪的身高为xcm ，
则16555=x60 ，
解得：x=180 ，
故选B.
二、填空题
11．（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考期末）墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.5 m，小明向墙壁走1 m到B处发现影子刚好落在AA点，则灯泡与地面的距离CD= ．
【答案】4.5m
【分析】利用已知条件易证△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【详解】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，
1x+2.5=1.5y，1x+1=1.5y，
解得：y=4.5，
所以CD=4.5m，
故答案为4.5m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程组是解题关键．
12．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下3米宽的“亮区”DE，阴影EC长为2米，窗台下沿离地面高BC为1米，那么窗口的高AB等于 米．
【答案】1.5
【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】解：∵光是沿直线传播的，
∴AD∥BE
∴△CBE∽△CAD,
∴CECD=BCAC,
即23+2=11+AB,
∴AB=1.5米，
故答案为∶1.5
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
13．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）给出下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②一条线段只有两个黄金分割点；③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长；④所有六边形都相似，其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质判断命题的正确性．
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定之一，故①正确；
如图，ADAB=BCAB=5−12，则点C和点D是线段AB的黄金分割点，
一条线段只有两个黄金分割点，故②正确；
如图，CG≠DH，但是EG=HF，
两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，故③正确；
并不是所有六边形都相似，故④错误．
故答案是：①②③．
【点睛】本题考查矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
14．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，爸爸和小红一起外出散步，他们之间的距离为3.1m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.6m，已知爸爸、小红的身高分别为1.7m，1.6m，则路灯的高为 m.
【答案】3.2
【详解】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知CDAB=DEBE，FNFB=MNAB，即可得到结论.
解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴CDAB=DEBE，FNFB=MNAB，
即1.8AB=1.81.8+BD，1.5AB=1.51.5+2.7−BD，
解得：AB=3m.
答：路灯的高为3m.
“点睛”本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
15．（2023春·全国·九年级专题练习）《孙子算经》中有道歌谣算术题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺六寸，影长四寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道它的长度，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺六寸的小标杆，它的影长四寸，则竹竿的长度是 ．（注意：1丈=10尺，1尺=10寸）
【答案】六丈
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺六寸=1.6尺，影长四寸=0.4尺，
∴x15=1.60.4，
解得x=60（尺）．60尺合六丈．
故答案为：六丈．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
16．（2023春·全国·九年级专题练习）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
【答案】12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵
∴x=12
故答案为12
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.
三、解答题
17．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）在一次测量旗杆高度的活动中，某数学兴趣小组使用的方案如下:AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB，CD，EF都垂直于地面，若AB=1.6米，CD=2米，人与标杆之间的距离BD=1米，标杆与旗杆之间的距离DF=30米，求旗杆EF的高.
【答案】14米
【分析】过点A作AK⊥EF.垂足为点K，交CD于H，根据EF∥CD可证明△ACG∽△AEH，再根据三角形的相似比解答即可．
【详解】过点A作AK⊥EF.垂足为点K，交CD于H
则DH=KF=AB=1.6
∴CH=2-1.6=0.4，AK=BF=1+30=31，
∵CD∥EF
∴△ACH∽△AEK
∴AHAK=CHEK，即131=0.4EK
∴EK=12.4
∴EF=FK+EK=12.4+1.6=14
答:旗杆EF的高カ14米
【点睛】本题主要考查了相似三角形，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
18．（2022秋·广西梧州·九年级校考期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B,C,D，使得AB⊥BC,CD⊥BC，点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上．若测得BC=30米，EC=10米，CD=20米，试求河的宽度AB．
【答案】40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE，即AB20=30−1010，
∴AB=40米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
19．（2023春·九年级单元测试）如图，王乐同学在晩上由路灯A走向路灯B．当他行到P处时发现，他往路灯B下的影长为2m，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5m到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王乐身高1.8m，路灯B高9m）．
（1）王乐站在P处时，在路灯B下的影子是哪条线段？
（2）计算王乐站在Q处时，在路灯A下的影长；
（3）计算路灯A的高度．
【答案】（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子；（2）王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m；（3）路灯A的高度为12m
【分析】（1）影长为光线与物高相交得到的阴影部分；
（2）易得Rt△CEP∽Rt△CBD，利用对应边成比例可得QD长；
（3）易得Rt△DFQ∽Rt△DAC，利用对应边成比例可得AC长，也就是路灯A的高度．
【详解】解：（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子．
（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴1.89=22+6.5+QD，
解得：QD=1.5m．
所以王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m
（3）由题意得Rt△QDF∽Rt△CDA，
∴FQAC=QDDC，
∴1.8AC=1.510，
解得：AC=12m．
所以路灯A的高度为12m.
【点睛】本题考查了中心投影及相似的判定和性质，利用两三角形相似，对应边成比例来求线段的长．
20．（2023·九年级课时练习）如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻．小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m．小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高．你知道小明是如何计算出来的吗？
【答案】8m，见解析
【分析】利用在同一时刻、同一地点物体的高与其影子长的比值相同来解答．
【详解】解：过点C作CE//BD，交AB于点E，则四边形CEBD为矩形．
∴CE＝BD＝3，EB＝CD＝2，
依题意有AEEC=10.5，即AE3=10.5，
∴AE＝6，
∴AB＝AE＋EB＝6＋2＝8．
即电线杆AB的高为8米，
故答案为：8米．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
21．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．
【答案】见解析
【分析】在CD的右侧作∠DCP=∠A，使得CP交BD于点P，线段DP即为所求．
【详解】解：如图，线段DP即为所求．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
22．（2022秋·河南郑州·九年级统考期中）小红站在校园围墙EF外的C点恰好看到校内树AB的顶端A，小红的眼睛D、围墙的顶端E和树的顶端A在一条直线上，已知CD=1.5m，EF=2.5m，CF=4m，BF=25m，求树AB的高度．
【答案】树AB的高度为8.75m．
【分析】过D作DN⊥AB，交AB于点N，交EF于点M，先根据矩形的判定与性质可得MN=BF=25m,DM=CF=4m,BN=MF=CD=1.5m，从而可得DN=29m,EM=1m，再根据相似三角形的判定证出△DEM∼△DAN，然后根据相似三角形的性质可得ANEM=DNDM，由此可得AN的长，最后根据AB=AN+BN即可得．
【详解】解：如图，过D作DN⊥AB，交AB于点N，交EF于点M，
则四边形BCDN和四边形CDMF均为矩形，
∴MN=BF=25m,DM=CF=4m,BN=MF=CD=1.5m，
∴DN=DM+MN=29m,EM=EF−MF=2.5−1.5=1(m)，
∵EM//AN，
∴△DEM∼△DAN，
∴ANEM=DNDM，即AN1=294，
解得AN=7.25(m)，
则AB=AN+BN=7.25+1.5=8.75(m)，
答：树AB的高度为8.75m．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
23．（2022秋·北京昌平·九年级校联考期中）学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：
如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则可测得大树的高度．
(1)请你根据上述方法求出树高；
(2)请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．
【答案】(1)8m
(2)见解析
【分析】（1）入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高；
（2）在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，利用三角函数计算可得答案．
【详解】（1）解：作图如下：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC:BE=AC:DE，
即1:5=1.6:DE，
∴DE=8m，
∴大树的高度为8m；
（2）解：在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD．
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE+BE．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
24．（2022秋·江苏镇江·九年级阶段练习）如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【答案】灯杆AB的高度为6.4m．
【详解】试题分析：
由已知易证△ECD∽△EAB，从而可得：CDAB=EDEB，即1.6AB=44+3+BG；同理可证FGAB=DGDB，即1.6AB=33+BG；由此可得：44+3+BG=33+BG，解得BG后即可就得AB的长；
试题解析：
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴CDAB=EDEB，即1.6AB=44+3+BG，
∵FG∥AB，
∴△DFG∽△DAB，
∴FGAB=DGDB，即1.6AB=33+BG，
∴44+3+BG=33+BG，解得BG=9，
∴1.6AB=33+9，
∴AB=6.4（m），
即灯杆AB的高度为6.4m．
25．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．
(1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．
(2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为6米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为多少米？（结果保留根号）
【答案】(1)树AB的高度是6.5米
(2)(5+3)
【分析】（1）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高；
（2）延长AG交EF延长线于D点，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【详解】（1）延长AC、BD交于点E，
根据物高与影长成正比得：CDDE=12，
∴3.5DE=12，
∴DE=7，
∴BE=BD+DE=6+7=13，
同理ABBE=12，
∴AB13=12，
∴AB=6.5，
答：树AB的高度是6.5米．
（2）延长AG交EF延长线于D点，则∠GFM=30°，作GM⊥DE于M，
在Rt△GFM中，∠GFM=30°，GF=4，
∴GM=2，FM=23，
在Rt△GMD中，
∵同一时刻，长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴GM:DM=1:2，
∴DM=4，
∴DE=EF+FM+DM=6+23+4=10+23，
在Rt△AED中，
AE=12DE=12(10+23)=5+3，
答：树的高度是(5+3)米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到 AB的影长.
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向东走到C点，此时测得点C恰好在东南方向上．
观测者从B点出发，沿着南偏西70°的方向走到点C，此时恰好测得∠ACB=35°．
观测者从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图