专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023秋·广东深圳·九年级校联考阶段练习）菱形ABCD的对角线AC=10,BD=8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．80B．60C．40D．30
【答案】C
【分析】由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：菱形的面积=12AC⋅BD=12×10×8=40，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
2．（2022春·九年级单元测试）在一个棱长为1dm的正方体的8个角上，各锯下一个棱长为1cm的正方体，现在它的表面积和原来比（ ）
A．不变B．减少C．增加D．无法确定
【答案】A
【分析】根据几何体表面积的性质求解即可．
【详解】∵每个角锯下的表面积=每个角新增面积=3个边长为1cm的正方形的面积
∴现在它的表面积和原来比不变
故答案为：A．
【点睛】本题考查了几何体表面积的问题，掌握几何体表面积的性质是解题的关键．
3．（2022秋·陕西汉中·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是 （ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．
【详解】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选D．
【点睛】考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．
4．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市第十六中学校考期中）如图，矩形纸片ABC D中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 （ ）
A．1B．32C．2D．3
【答案】B
【详解】解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD=5
∴A′G=AG，A′D=AD=3，A′B=5-3=2，BG=4-A′G
在Rt△A′BG中，BG2=A′G2+A′B2可得，A′G=32．
则AG=32．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）．
5．（2022秋·九年级单元测试）顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为10和24的菱形，它的中点四边形的对角线长为（ ）
A．13B．15C．17D．19
【答案】A
【分析】根据题意可得顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，即可求解．
【详解】解：如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，其中对角线AC=24，BD=10，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，EH=FG=12DB=5，EF=HG=12AC=12，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∴HF=EH2+EF2=13，
即它的中点四边形的对角线长为13．
故选：A.
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
6．（2022秋·九年级课时练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB,AD的中点，连接EF,CE，点G，H分别是EF,CE的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．5B．2C．52D．1
【答案】C
【分析】连接CF，利用正方形的性质，得到AD＝DC＝2，∠ D＝90°，利用勾股定理求出CF的长度，再利用中位线定理得到GH的长度．
【详解】解：如图，连接CF，
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD＝DC＝2，∠ D＝90°
∵点F分别是AD的中点，
∴DF＝12AD＝1
在Rt△CDF中，
CF2=CD2+DF2
∴CF=CD2+DF2=5
∵点G，H分别是EF,CE的中点，
∴GH是△EFC的中位线
∴GH＝12CF＝52
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并应用中位线定理是解题的关键．
7．（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E是BC边的中点，连接AE，则AE的长为（ ）
A．3B．23C．33D．43
【答案】B
【分析】首先连接AC，根据菱形的性质与∠B=60°，证明△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出∠AEB=∠AEC=90°，利用30°所对的直角边是斜边的一半得出BE的长，最后利用勾股定理即可得出AE的长．
【详解】连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，AB=4,
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，
又∵点E是BC边的中点，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°,
∴BE=12AB=2，
在Rt△ABE中，
AE=AB2-BE2=42-22=23，
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理．
8．（2023春·吉林长春·八年级东北师大附中阶段练习）如图,已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为C'，若∠ADC'=20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55°B．45°C．60°D．65°
【答案】A
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BDC′，故∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．
【详解】由折叠的性质，得∠BDC=∠BDC′，
则∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°，
∵∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，
解得∠BDC=55°．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解．
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6，动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）

A．329B．234C．102D．241
【答案】D
【分析】过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB=A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD=4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．
【详解】解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，

∴AP+PB=A'P+PB=A'B，此时PA+PB的值最小，
∵S△PAB=13S矩形ABCD，
∴12×AB×AM=13BA×AD，
∴AM=23AD，
∵AD=6，
∴AM=4，
∴AA'=8，
∵AB=10，
在Rt△ABA'中，A'B=241．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10．（内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线m的夹角为30°，延长CB1交直线m于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线m于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线m于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2020A2021等于（ ）
A．2×32020B．2×(3)2021C．2×31010D．2×(3)1010
【答案】C
【分析】由四边形ABCB1是正方形，得到AB＝AB1＝1，AB∥CB1，于是得到AB∥A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A＝30°，解直角三角形得到A1B1＝3，AA1＝2，同理：A2A3＝2（3）2，A3A4＝2（3）3，找出规律AnAn+1＝2（3）n，答案即可求出．
【详解】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB＝AB1＝1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A＝30°，
∴A1B1＝3AB1＝3，AA1＝2AB1＝2，
∴A1B2＝A1B1＝3，
∴A1A2＝2A1B2＝23，
同理：A2A3＝2（3）2，
A3A4＝2（3）3，
…
∴AnAn+1＝2（3）n，
∴A2020A2021＝2（3）2020=2×31010，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的3倍是解题的关键．
第II卷（非选择题）
11．（2023春·福建福州·八年级统考期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上中线，若∠A=25°，则∠BDC= ．
【答案】50°
【分析】如图，由题意知，CD=AD，则∠ACD=∠A=25°，根据∠BDC=∠ACD+∠A，计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，CD=AD，
∴∠ACD=∠A=25°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
12．（2023秋·四川内江·九年级统考期末）如图，将一张矩形纸片沿EF折叠，得到两个全等的小矩形ABCD．如果矩形ABCD∽矩形ADFE，那么ABAD的值是 ．
【答案】2
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x2，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x:y=y:x2，
解得x:y=2:1，
故答案为：2:1．
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
13．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在一块木板上钉上9颗钉子，每行和每列的距离都一样，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个正方形，这样的正方形一共有 个．
【答案】6
【分析】正方形的定义即为：四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以在该九个点中任取四个点，组成的四边形能满足定义即可．
【详解】解：如图所示，将木板上的九个点分别标号为1-9，
一共可能组成正方形的组合有6种，按照序号依次连接，即可得到正方形：①1、2、5、4；②2、3、6、5；③4、5、8、7；④5、6、9、8；⑤2、4、8、6；⑥1、3、9、7，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的四边形，解题的关键在于不要遗漏所能构成正方形的可能情况．
14．（2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）已知：一菱形的面积为a2+ab，一条对角线长为a+b，则该菱形的另一条对角线长为 ．
【答案】2a
【分析】设菱形的另一对角线长为x，根据菱形的性质列方程计算，即可得到答案.
【详解】设菱形的另一对角线长为x，
根据题意得：2×12a+b×x2=a2+ab
∴x=2a
故答案为：2a．
【点睛】本题考查了菱形的面积，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
15．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=12，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长是 ．

【答案】6
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据直角三角形的性质可得DE=12AC可得答案．
【详解】解：∵ AB=AC=12，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，
∵点E为AC的中点，
∴DE=12AC=12×12=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解决问题的关键．
16．（2023·陕西西安·校考一模）如图，正方形ABCD的对角线长为22，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、CD上，四边形EFMG的边MG分别与正方形ABCD的边AB、BC交于点H、K，边MF与正方形ABCD的边BC交于点N，若四边形EFDA沿直线EF折叠后能与四边形EFMG重合，则图中四个三角形△EGH、△HBK、△KMN、△NCF的周长的和为 ．
【答案】8
【分析】由题意可求AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质可得GM=AD，AE=GE，DF=FM，即可证△EGH、△HBK、△KMN、△NCF的周长的和=AB+BC+CD+AD=8．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=CD=BC
∵正方形ABCD的对角线长为22
∴BC2+CD2=8
∴BC=CD=2=AD=AB
∵折叠
∴GM=AD，AE=GE，DF=FM
∴ △EGH、△HBK、△KMN、△NCF的周长的和=GE+EH+GH+BH+HK+BK+KN+KM+MN+NC+FC+FN
∴ △EGH、△HBK、△KMN、△NCF的周长的和=AB+BC+CD+AD=8
故答案为8
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，熟练运用轴对称的性质是本题的关键．
17．（2022秋·九年级单元测试）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE=BF ．
【答案】证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
BE=CF∠ABE=∠BCFAB=BC
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2023春·江苏南京·八年级南京市第一中学校考期中）利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在RtΔABC中，∠ABC=90°,BO是中线．
求证：___________．
证明：
【答案】求证：BO=12AC；证明见解析
【分析】延长CO至点E，使CO=OE，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得
【详解】求证：BO=12AC；
证明：延长BO至D使得BO=DO，连接AD,DC，
∵O为AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC=90∘，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD=2BO，
即BO=12AC．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
19．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）在△ABC中，∠ABC=90°
（1）作线段AC的垂直平分线1，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母）
（2）连接BO并延长至D，使得OD=OB，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O；
（2）利用直角三角形斜边上的中线得到OB=OA=OC，然后根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形可证明四边形ABCD是矩形．
【详解】（1）解：如图，点O为所作：
（2）证明：∵线段AC的垂直平分线l，
∴OA=OC，
∴OB=OA=OC，
∵OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD为矩形．
【点睛】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定．
20．（2022春·北京·八年级校考期中）尺规作图：
已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD．
下面是小敏设计的尺规作图过程：
做法：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧；
③两弧在BC上方交于点D连接AD，CD，四边形ABCD即为所求
根据小敏设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AB＝ ，CB＝ ，
∴四边形ABCD为平行四边形（ ）
又∵∠ABC90°
∴平行四边形ABCD为矩形（ ）（填推理依据）
【答案】（1）如图，四边形ABCD为所作；见解析；（2）CD，BD，两组对边相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）先利用作图结合“两组对边相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABCD为平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．
【详解】（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：∵AB＝CD，CB＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形）
又∵∠ABC＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【点睛】本题考查了作图－复杂作图及平行四边形和矩形的判定方法，解决问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
21．（2023春·江苏·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB,AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF=∠A．
(1)求证：DE=CF；
(2)若BC=2,AB=6，求四边形DCFE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据三角形中位线定理和根据平行四边形的判定和性质得出对边相等得出结论．
（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠CEF=∠A，
∴∠CEF=∠DCE，
∴CD∥EF，
∵点E是AC中点，
∴DE∥BC，即DE∥CF，
∴四边形DCEF是平行四边形，
∴DE=CF；
（2）解：∵AD=BD,AE=CE，BC=2，
∴DE=12BC=1=CF，
∵AB=6，
∴CD=EF=12AB=3，
∴四边形DCFE的周长为1+3×2=8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟记各性质并确定出由三角形的中位线定理得到DE的长度是解题的关键．
22．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm．当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，校门打开了5m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？
【答案】11-62
【分析】首先连接BD，由每个菱形的锐角度数为60°，易得△ABD是等边三角形，进而求得BD的长，当每个菱形的内角度数为90°时，求出伸缩门的宽度，则可求得答案．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝30cm=0.3m，
∴此时伸缩门的宽度为：0.3×20＝6(m)，
当每个菱形的内角度数为90°时，
∵BD＝2AB＝3210(m)，
∴此时伸缩门的宽度为：3210×20＝62(m)，
∴校门打开了：6+5-62=11-62 (m)．
答：校门打开了(11-62)米．
【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是注意准确作出辅助线．
23．（2023春·甘肃庆阳·八年级校考期中） 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，DC=24cm，AB=26cm，动点P从D开始沿DC边向C点以1cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿BA向A点以3cm/s的速度运动，P，Q分别从点D，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t秒．
(1)t为何值时，四边形DPQA为矩形？
(2)t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？
【答案】(1)t=6.5
(2)t=6
【分析】（1）根据DP=AQ，构建方程求解即可．
（2）根据PC=BQ，构建方程求解即可．
【详解】（1）解：当DP=AQ时，四边形DPQA是矩形．
则有t=26-3t，
解得t=6.5．
∴t=6.5时，四边形DPQA是矩形．
（2）当PC=BQ时，四边形PQBC是平行四边形，
则有24-t=3t，
解得t=6，
∴t=6时，四边形PQBC是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（2022春·贵州黔西·八年级统考期末）综合与实践：学习完矩形后，数学兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，AC为矩形ABCD的对角线，E，F分别是边BC，AD上的点，将边AB沿AE折叠，使点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D恰好落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】（1）依据矩形的性质和折叠的性质，可以证明△ANF≌CME，即可得到AF=CE，因此用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）根据折叠的性质可以得到CM=4，设BE=ME=x，则CE=8-x，利用勾股定理建立方程，解出答案即可求出CE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出四边形AECF的面积．
【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD，∠B=∠D=90°，
∴∠FAN=∠ECM，
∵将边AB沿AE折叠，使点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D恰好落在AC上的点N处，
∴AB=AM，CD=CN，∠AME=∠B=90°，∠CNF=∠D=90°
∴AM=CN，∠ANF=∠EMC=90°，
∴AM-MN=CN-MN，即AN=CM，
∴△ANF≌CMEASA，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由折叠可知，
AM=AB=6，BE=ME，
∴BC=AC2-AB2=102-62=8，
∴CM=AC-AB=10-6=4，
设BE=ME=x，则CE=8-x，
在Rt△EMC中，
∵CM2+EM2=CE2，
∴42+x2=8-x2，
解得，x=3，
∴CE=5，
∴S▱AECF=CE⋅AB=5×6=30．
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理的应用，平行四边形的判定方法是本题的关键．
25．（2023·天津河东·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝42，求点G到BE的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）点G到BE的距离为1655．
【分析】（1）由旋转的性质得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性质得到AB=AD，AE=AG，然后依据SAS可证明△ABE≌△ADG，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．当α=45°时，可证明△AHE为等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面积法可求得点G到BE的距离．
【详解】(1)由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG.
∵在△ABE和△ADG中,AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AG，
∴△ABE≌△ADG.
∴BE=DG.
(2)连接GE、BG，延长AD交GE与H.
当α=45∘时,则∠BAD=45∘.
∵∠BAD=∠EAG=90∘.
∴∠EAH=∠GAH=45∘.
又∵AE=AG，
∴AH⊥GE.
又∵AH⊥AB,∠EAH=45∘，
∴△AHE为等腰直角三角形,
∴EH=AH=22AE=4.
∴EG=2EH=8.
∴S△BEG=12EG⋅AH=12×8×4=16.
设点G到BE的距离为h. BE=42+22=25,
S△BEG=12EB⋅h=16, 即12×25h=16 ,解得h=1655.
∴点G到BE的距离为1655.
【点睛】考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性比较强，对学生综合解题能力要求较高.注意等面积法在解题中的应用.
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一、单选题
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二、填空题
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三、解答题