专题04 一元二次方程的实际应用（知识串讲+9大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）解一元二次方程步骤
解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用常见类型
（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
考点一遍过
考点1：增长率问题
典例1：（2023春·安徽六安·八年级校考期中）春天是万物萌动的开始，是一个充满诗情画意的季节．合肥非遗园在春季积极开展特色樱花节，吸引了大量的游客前来观赏游玩．据统计：在三月份该景点接待游客约为4万人，三、四、五三个月共接待游客约为13.24万人，若这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．41+x2=13.24B．4+41+x+41+x2=13.24
C．41+x+41+x2=13.24D．4+41+x2=13.24
【答案】B
【分析】等量关系为：三月份产量+三月份产量×（1+增长率）+三月份产量×（1+增长率）2=13.24
【详解】这三个月平均每月接待游客人数的增长率相同，设平均增长率为x，则
4+41+x+41+x2=13.24
故选：B
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
【变式1】（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A．3001+x2=1200B．300+300⋅2⋅x=1200
C．300+3001+x2=1200D．3001+1+x+1+x2=1200
【答案】D
【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解．
【详解】解：由题意得：二月的营业额为：3001+x
三月的营业额为：3001+x2
故一月、二月、三月的总营业额为：300+3001+x+3001+x2=3001+1+x+1+x2
故根据总营业额为1200万元，可列方程为：3001+1+x+1+x2=1200
故选：D
【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键．
【变式2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．21+x=6.62B．2(1+x)2=6.22
C．21+x+2(1+x)2=6.62D．2+21+x+2(1+x)2=6.62
【答案】D
【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为21+x亿元，第三天票房为2(1+x)2亿元，结合三天累计票房为6.62亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，
∴该电影上映的第二天票房为21+x亿元，第三天票房为2(1+x)2亿元，
根据题意得2+21+x+2(1+x)2=6.62，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年该社区当年用于社区维修和建设的资金到达100万，设2021年至2023年该社区每年投入资金的年平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）
A．641−x2=100B．641+2x=100
C．641−2x=100D．641+x2=100
【答案】D
【分析】设2021年至2023年该社区每年投入资金的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设2021年至2023年该社区每年投入资金的年平均增长率为x，
由题意可得：641+x2=100，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考点2：传播问题
典例2：（2023春·广西贺州·八年级统考期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）人．
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是x+1人，则传染xx+1人，依题意列方程：1+x+x1+x=196，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得1+x+x1+x=196，
即1+x2=196，
解方程得x1=13，x2=−15（舍去），
故选：A．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
【变式1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A．1+2x=64B．1+x2=64C．1+x+x2=64D．1+x2=64
【答案】D
【分析】根据平均一个人传染x个人，有一个人患流感，第一轮有x+1人患流感，第二轮共有x+1+x+1x人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，第一轮有x+1人患流感，第二轮共有x+1+x+1x人，根据题意可得：x+1+x+1x=64，
整理得：1+x2=64，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是得到两轮传染数量关系，从而可列出方程求解．
【变式2】（2022秋·湖南岳阳·九年级校考期中）新冠肺炎奥密克戎变异株BA.5自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，20−30分钟左右呈现指数复制，12−24小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）
A．13B．11C．12D．14
【答案】C
【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为338人，设平均每人感染x人，则列式为2(x+1)2=338．即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得2(x+1)2=338．
解得：x=12或x=−14（舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染了12个人，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人B．13人C．14人D．15人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两轮传染后共有196人”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得x+1+x+1x=196，解得：x=13或x=−15（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
考点3：循环问题
典例3：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A．12xx+1=56B．12xx−1=56
C．xx−1=56D．xx+1=56
【答案】C
【分析】由等量关系式：每个人所送出去的寄语卡×人数= 56张，列出方程，即可求解．
【详解】解：由题意得，
每个人所送出去的寄语卡数为（x−1）张，则有
xx−1=56．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
【变式1】（2023春·广东江门·八年级校考期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：1+x+x2=57，
整理，得：x2+x−56=0，
解得：x1=7，x2=−8（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】（2022秋·全国·九年级专题练习）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】设九年级班级个数为x个，由每个班级都要比赛x−1场，且两个班级之间的比赛只算作一场列出方程求解即可．
【详解】解：设九年级班级个数为x个，
由题意得12xx−1=15，
∴x2−x−30=0，
解得x=6或x=−5（舍去），
∴九年级班级个数为6个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
【变式3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排20场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．12xx+1=20B．xx−1=20C．xx+1=20D．12xx−1=20
【答案】D
【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排20场比赛，即可得到12xx−1=20，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
12xx−1=20，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题属于“握手模型”，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．
考点4：几何面积问题
典例4：（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为80m2的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为12m），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26m．

(1)根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图1），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米；
(2)如图2，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54m2，那么小路的宽度为多少米．
【答案】(1)这个矩形车棚相邻两边长分别为10米、8米；
(2)1米．
【分析】（1）设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为(26+2−2x)米，根据矩形车棚的面积为80m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的可用长度为12m，即可得出结论；
（2）设小路的宽度为y米，则剩余部分可合成长为(10−y)米，宽为(8−2y)米的矩形，根据停放自行车的面积为54m2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为(26+2−2x)米，
根据题意得：x(26+2−2x)=80，
整理得：x2−14x+40=0，
解得：x1=4，x2=10，
当x=4时，26+2−2x=26+2−2×4=20>12，不符合题意，舍去；
当x=10时，26+2−2x=26+2−2×10=812，不符合题意，舍去；
当x=8时，BC=26−2x=10，
即当鸡舍的长、宽分别是10米和8米时，鸡舍面积为80平方米．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键．
【变式2】（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新建围栏，围成一块长方形草坪（如图CDEF）．

(1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由；
(2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米1.25元，建新围栏的费用是每米5元，计划修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由．
【答案】(1)能完成，利用旧围栏24米；
(2)能完成，利用旧围栏20米或8米．
【分析】（1）设CD的长为x米，则DE的长为120−2x米，利用长方形面积公式列一元二次方程计算即可求解；
（2）设利用旧围栏m米，则DE=m米，CD=EF=100m米，利用总费用175元，列出分式方程计算即可求解．
【详解】（1）解：设CD的长为x米，则DE的长为120−2x米，
依题意得x120−2x=1152，
整理得x2−60x+576=0，
∵Δ=−602−4×1×576=1296>0，
∴x=60±12962=60±362，
∴x1=48，x2=12，
∴120−2x=24或120−2x=96>26（不合题意，舍去），
∴能完成，利用旧围栏24米；
（2）解：设利用旧围栏m米，则DE=m米，CD=EF=100m米，
依题意得1.25m+5m+2⋅100m=175，
整理得0.25m2−7m+40=0，
∵Δ=−72−4×0.25×40=9>0，
∴m=7±92×0.25=7±30.5，
∴m1=20，m2=8，
经检验，m1=20，m2=8都是原方程的解，且满足题意，
答：能完成，利用旧围栏20米或8米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程．
【变式3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用总长为20米的护栏围成．若计划建造车棚的面积为50平方米，则这个车棚的长和宽分别应为多少米．

【答案】这个车棚的长为10米，宽为5米
【分析】设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为20−x2米，根据车棚的面积为50平方米列方程，求解即可．
【详解】解：设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为20−x2米，
依题意得：x⋅20−x2=50，
整理得：x2−20x+100=0，
解得：x1=x2=10，
∴x=10，
∴20−x2=5，
答：这个车棚的长为10米，宽为5米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
考点5：销售利润问题
典例5：（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）某商店如果将进货价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价0.5元，其销量增加5件．
(1)若降价x元，则每天的销量为_______件（用含x的代数式表示）；
(2)要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价；
(3)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
【答案】(1)100+10x
(2)24元
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用每天的销量=100+5×商品降价的钱数0.5，即可用含x的代数式表示出降价x元时每天的销量；
（2）设每件降价y元，则每件的销售利润为32−y−20元，每天的销量为100+10y件，利用每天销售该商品获得的利润=每件的销售利润×每天的销量，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，将符合题意的值代入32−y中，即可求出售价应定为24元/件；
（3）设每件降价m元，则每件的销售利润为32−m−20元，每天的销量为100+10m件，利用每天销售该商品获得的利润一每件的销售利润×每天的销量，可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式Δ=−116