甘肃省武威市凉州区凉州区和平镇九年制学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省武威市凉州区凉州区和平镇九年制学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含甘肃省武威市凉州区凉州区和平镇九年制学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题原卷版docx、甘肃省武威市凉州区凉州区和平镇九年制学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、选择题(共30分)
1. 的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
故选：A．
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 的值是±5B. 两个无理数的和仍是无理数
C. -3没有立方根.D. 是最简二次根式.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．
【详解】，故A选项错误；
，故B选项错误；
-3的立方根为，故C选项错误；
是最简二次根式，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
3. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】在正方形中：，
∴，
∵O为正方形对角线的中点，
∴，
∵为等边三角形, O为的中点，
∴，，
∴,
∴,
故选：B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．
5. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出OB＋OC，再根据△OBC的周长计算即可；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，AD＝BC，
∵△BOC的周长为15，
∴BC＋OB＋OC＝15，
∴BC＝7，
∴AD＝BC＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）

A. 3B. 12C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】解：∵的对角线、相交于点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故选：A．
【点晴】本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A. 4B. 3C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，
∴BF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．
9. 如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：如图：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．
10. 在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
二、填空题(共24分)
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．
【详解】解： ==，
故答案为：．
【点睛】本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．
12. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，
且，
故答案为：且．
13. 已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
14. 如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A、B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为____．
【答案】16
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出DE，再根据正方形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图，
∵正方形A、B的边长分别为3和5，
∴DF=5，EF=3，
由勾股定理得：，
所以正方形C的面积为，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能根据勾股定理求出DE的长是解此题的关键．
15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16. 点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质得出四边形ADEF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案．
【详解】由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，平行四边形的性质和判定等，根据三角形中位线的性质得出平行四边形是解题的关键．
17. 如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是______．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为矩形．
故答案为(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．
18. 如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝9，S3＝25，当S2＝_____时∠ACB＝90°．
【答案】16
【解析】
【分析】设△ABC的三边分别为BC=a、AC=b、AB=c，当∠ACB＝90°时，△ABC是直角三角形，由勾股定理可得到a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，代入可得解．
【详解】设△ABC的三边分别为BC=a、AC=b、AB=c，
∴S1＝a2＝9，S2＝b2，S3＝c2＝25，
当∠ACB＝90°时，△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，
∴S2＝S3﹣S1＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了勾股定理的几何背景，灵活运用勾股定理是解题关键．
三、计算题(共8分)
19. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质，根据二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可．
（2）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
四、作图题(共4分)
20. 如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，．
（1）在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于；
（2）在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先计算出，根据平行四边形的性质取格点使，然后利用网格特点，平移到，使点与点重合，点的对应点为，则四边形满足条件；
（2）把点向右平移格，点向左平移格，则四边形为满足条件的四边形．
【小问1详解】
解：如图甲，四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图乙，四边形为所作．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类的关键是熟悉平行四边形的性质，利用网格求出已知边和所求边的长度，根据几何图形的特性进行作图．
五、解答题(共54分)
21. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意求出a-b的值和ab的值，然后把已知的式子变形为完全平方和a-b及ab的整体形式，然后整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝．
【点睛】此题考查了整式的乘法公式：完全平方公式及平方差公式的应用，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
22 先化简，再求值：，其中满足.
【答案】，
【解析】
【详解】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过求出a、b的值，最后代入求值即可.
解：原式
∵
∴，
∴原式
23. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，然后把四边形的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
．
【点睛】本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
24. 如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
25. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，求线段的最大值．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，旋转的性质等等，先求出，进而得到，再由旋转的性质得到，，则，再由即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵点N是的中点，
∴，
∵，
∴当在线段上时，有最大值，最大值为9．
26. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
27. 如图，点E，F在平行四边形的对角线上，，求证：四边形为平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，灵活地选择方法是解决问题的关键．连接，交于点O，由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，进而可得出结论．
【详解】证明：连接，交于点O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形平行四边形．
28. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．

（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
（3）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，结合，证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得结论；
（3）先证明，，可得，结合四边形是菱形，从而可得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
四边形是菱形，
理由是：∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
当时，四边形是正方形，理由是：
解：∵，，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，熟记平行四边形，菱形，正方形的判定方法并灵活应用是解本题的关键．