2024年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果把向东走3km记作+3km，那么−2km表示的实际意义是( )
A. 向东走2kmB. 向西走2kmC. 向南走2kmD. 向北走2km
2.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家的圆周率．( )
A. 祖冲之B. 赵爽C. 刘徽D. 朱世杰
3.下列运算正确的是( )
A. m2+m3=m5B. m23=m5C. m5−m3=m2D. m2⋅m3=m5
4.对任意整数n，(2n+1)2−25都能
( )
A. 被3整除B. 被4整除C. 被5整除D. 被6整除
5.华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是( )
A. 12B. 110C. 1100D. 11000
6.如图，O是▵ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A. 60∘B. 75∘C. 90∘D. 105∘
7.图中反映某网约车平台收费y(元)与所行驶的路程x(千米)的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素(红绿灯、堵车等)，他从家到机场需要
( )
A. 10分钟B. 15分钟C. 18分钟D. 20分钟
8.如图，已知矩形OABC的面积为503，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OB:OD=5:3，则k=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.分解因式：a2−2a+1=__________．
10.比较大小： 5−1__________ 2.(填“>”、“<”或“=”)
11.一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是____．
12.若扇形的圆心角为120∘，半径为2，则扇形的面积为_______．
13.若x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则2024−6a+2b的值为_______．
14.已知实数a满足2023−a+ a−2024=a，则a−20232的值为_______．
15.如图，在▵ABC中，BC边上的高AD=BD，点E为AD上的点，且DE=DC，若S△ABD−S△ECD=20，则图中阴影部分面积为_______．
16.定义一种新运算 a bnxn−1dx=an−bn，例如 k m2xdx=k2−m2，若 k 2(−x−2)dx=−1，则k=_____．
17.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G.则DG:EG=_______．
18.如图，点O是边长为2的正方形ABCD边CD上一动点，连接AO，点D关于AO的对称点为D′，连接AD′，OD′.若以O为圆心，OC为半径的⊙O过△AOD′直角边的中点，则⊙O的半径为_______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1)(π−3)0+tan45∘+12−2；
(2)1m÷1m−1m−1．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解不等式组1−x<22x+35+x≥3x+1，并写出满足条件的正整数解．
21.(本小题8分)
大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%，为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A.视力≥5.0，视力正常；
B.视力=4.9，轻度视力不良；
C．4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；
D.视力≤4.5，重度视力不良．
下面给出了部分信息：

抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
(1)填空：a=____________，m=____________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校八年级共有学生800人，请估计八年级学生视力正常的人数．
22.(本小题8分)
中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有小明和小华两名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中随机选购1种．
(1)小明恰好选购宫灯的概率为________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率．
23.(本小题8分)
阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某市教育局向全市中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的行驶速度?
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF=ED，连接AE、AF、BF．
(1)求证：四边形AEBF是菱形；
(2)若cs∠EBF=35，BF=5，连接CD，求CD的长．
25.(本小题8分)
已知抛物线y=x2+bx．
(1)若点2,y1在此抛物线函数图象上，当b<−1时，试说明y1<2；
(2)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．
26.(本小题8分)
已知点E是以AC为直径的⊙O上一个动点(与A、C不重合)，连接CE并延长到点B，使得BE=CE，连接AB,AB所在的直线与⊙O交于点D，EF⊥AB于点F．
(1)如图1，求证EF为⊙O的切线；
(2)若EF=4，AC=10，求BD的长．
27.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2，点A−2,1，B8,m在此函数图象上，动点P位于点O、B之间的抛物线上(不与点O，B重合)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
(1)如图1，求该二次函数的解析式；
(2)尺规作图：当AQ⋅BQ最大时，在图2中作出此时的点P；
(3)如图3，连接OB，交直线AP于点M，直接写出QMAM的最大值．
28.(本小题8分)
如图，▵ABC中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=4，点D为射线BC上的动点，连接AD并作如下变换，将AD绕点D逆时针旋转90∘到DE，且始终保持DEAD=12，过B作BF/​/DE交直线AC于点F，连接EF．


(1)如图1，求证△ADC∽△BFC；
(2)当点D在射线BC上从点B向上运动时，四边形BDEF的面积如何变化，请说明理由；
(3)设四边形BDEF面积为S(S≠0)，若仅存在两个不同的点D，使得S相等，设这两个不同的点D之间的距离为d，求d的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：向东走3km记作+3km，那么−2km表示向西走2km，
故选：B．
本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查运用所学知识解决问题的能力，结合所学知识点进行思考解答即可
【详解】解：由题干材料判断是祖冲之，
故选：A
3.【答案】D
【解析】【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解∶ A．m2与m3不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.m23=m6，故此选项不合题意；
C.m5与m3不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；；
D.m2⋅m3=m5，故此选项符合题意．
故选∶ D．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
【详解】∵2n+12−25=2n+12−52=2n+1+52n+1−5=4n+3n−2，
∴故一定能被4整除，
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
最后一个数字可能是0∽9中任一个．总共有十种情况，其中解锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：一次解锁该手机密码的概率是110．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠3=∠4，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】如图，
∵OA=OB，
∴∠3=∠4，
同理，∠1=∠5，∠2=∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6=180∘，
∴∠1+∠2+∠3=90∘，
故选C．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．根据题意可得当x>3时，y与x的函数关系式，再把y=64代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案．
【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程以超过3千米，
设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得：3k+b=1310k+b=34,
解得k=3b=4,
∴y=3x+4x>3，
当y=64时，3x+4=64，
解得x=20，
20÷60×60=20(分钟)．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，作DE⊥x轴，设点D的坐标为(a,ka)，表示OE，DE，再说明▵ODE∽▵OBA，然后根据相似三角形的对应边成比例得OA，AB，最后根据矩形OABC的面积是503得出答案．
【详解】过点D作DE⊥x轴，交x轴于点E，设点D的坐标为(a,ka)，则OE=a，DE=ka，
∵DE//AB，
∴▵ODE∽▵OBA，
∴DEAB=OEOA=ODOB=35，
∴OA=53a，AB=5k3a．
∵矩形OABC的面积是503，
∴OA⋅AB=53a⋅5k3a=503，
解得k=6．
故选：B．
9.【答案】(a−1)2
【解析】【分析】利用完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：a2−2a+1=a−12，
故答案为：(a−1)2．
本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
10.【答案】<
【解析】【分析】先估算出 5和 2的范围，再求出 5−1 5+1的范围，再比较即可．
【详解】∵ 5≈2.236， 2≈1.414，
∴ 5−1≈1.236<1.414，
∴ 5−1< 2，
故答案为：<．
本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出 5的范围是解此题的关键．
11.【答案】720°/720度
【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．
【详解】这个正多边形的边数为360∘60∘=6，
所以这个正多边形的内角和是(6−2)×180°=720°，
故答案为：720°．
本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3)且n为整数)；多边形的外角和等于360度．
12.【答案】43π/4π3
【解析】【分析】本题考查了扇形的面积公式；
直接利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的面积为120π×22360=4π3，
故答案为：4π3．
13.【答案】2020
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把x=3代入原方程得到3a−b=2，再根据2024−6a+2b=2024−23a−b，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，
∴9a−3b=6，
∴3a−b=2，
∴2024−6a+2b=2024−23a−b=2024−2×2=2020，
故答案为；2020．
14.【答案】2024
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
【详解】解：∵2023−a+ a−2024=a，
∴a−2024≥0，即a≥2024，
则a−2023+ a−2024=a，
∴ a−2024=2023，即a−2024=20232，
∴a−20232=2024，
故答案为：2024．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
15.【答案】20
【解析】【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、平方差公式等知识，求出S△ABD−S△ECD=S ▵ABE+S▵ACE是解题的关键．证明▵ABD是等腰直角三角形，得到S△ABD=12BD2，证明▵CDE是等腰直角三角形，得到S△ECD=12CD2，推导出S△ABD−S△ECD=S ▵ABE+S▵ACE，即可得到答案．
【详解】解：∵BC边上的高AD=BD，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，▵ABD是等腰直角三角形，
∴S△ABD=12AD⋅BD=12BD2，
∵DE=DC，
∴▵CDE是等腰直角三角形，
∴S△ECD=12CD⋅DE=12CD2，
∵S△ABD−S△ECD=20，
∴S△ABD−S△ECD
=12BD2−12CD2
=12BD+CDBD−CD
=12BD+CDAD−DE
=12BD+CD⋅AE
=12BD⋅AE+12CD⋅AE
=S ▵ABE+S▵ACE，
∴S ▵ABE+S▵ACE=20，
即图中阴影部分面积为20．
故答案为：20．
16.【答案】−2
【解析】【分析】由已知直接得出k−1−2−1=−1，进而得出答案．
【详解】解：∵ k 2(−x−2)dx=−1，
∴k−1−2−1=−1，
∴k−1=−1+12，
则k−1=−12，
解得：k=−2．
经检验：符合题意，
故答案为：−2．
点评：此题主要考查了负整数指数幂的性质以及新运算，正确将原式变形是解题关键．
17.【答案】23/2:3
【解析】【分析】延长AF交BC的延长线于点M，根据平行四边形的性质得AD/​/BC，AD=BC，进而证明▵ADF≌▵MCF，得AD=CM=BC=2CE，在证明▵ADG∽▵MEG，即可得解．
【详解】解：延长AF交BC的延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠M=∠DAF，∠ADF=∠MCF，∠ADG=∠MEG，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴BE=CE，DF=CF，
∴▵ADF≌▵MCFAAS，
∴AD=CM=BC=2CE，
∴ADEM=23，
∵∠M=∠DAF，∠ADG=∠MEG，
∴▵ADG∽▵MEG，
∴DGEG=ADEM=23，
故答案为：23．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
18.【答案】23或54
【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的有关概念，对称的性质以及勾股定理等知识，根据对称的性质得AD′=AD,D′O=DO,运用SSS证明▵AD′O≌▵ADO，得∠AD′O=∠ADO=90∘，设⊙O的半径OC=x，则OD=2−x，根据⊙O过△AOD′直角边的中点列方程求解即可
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=2,∠ADC=90∘,
∵点D与D′关于AO的对称，
∴D′O=DO,AD′=AD=2,
又AO=AO,
∴▵AD′O≌▵ADOSSS,
∴∠AD′O=∠ADO=90∘，
设⊙O的半径OC=x，则OD=2−x，
①当⊙O过△AOD′直角边D′O的中点时，则有：
2−x2=x，
解得，x=23，
所以，此时⊙O的半径为23；
②当⊙O过△AOD′直角边AD′的中点时，则有：12+2−x2=x2
解得，x=54，
所以，此时⊙O的半径为54；
综上，⊙O的半径为23或54；
故答案为：23或54
19.【答案】(1)解：原式=1+1+4
=6；
(2)解：原式=1m÷m−1mm−1−mmm−1
=1m÷m−1−mmm−1
=1m÷−1mm−1
=−1m⋅mm−1
=1−m．

【解析】【分析】本题主要考查实数的运算，分式的混合运算，包括锐角三角函数，非零数的负指数幂，掌握实数的运算法则是解题的关键．
(1)根据实数的运算法则，任何非零数的零次方是1，特殊角的三角函数值，非零数的负指数幂的运算法则，由此即可求解；
(2)先计算括号内异分母减法，再计算除法即可．
20.【答案】解：1−x<22x+3①5+x≥3x+1②
解不等式①，得：x>−1，
解不等式②，得：x≤2，
∴不等式组的解集为−1
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而求出正整数解．
21.【答案】(1)解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴a=4.9+4.92=4.9；
九年级C组所占百分比为820=40%，
∴m%=1−25%−15%−40%=20%，
∴m=20；
故答案为：4.9；20；
(2)解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
(3)解：800×620=240，
即八年级学生视力正常的人数为240人．

【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数的意义以及频数分布表，样本估计总体：
(1)根据中位数的定义求出a，先求出九年级C组所占百分比，然后求出m即可；
(2)从平均数、中位数、众数各个方面分析即可；
(3)用样本估计总体即可．
22.【答案】(1)解：∵从宫灯、纱灯、吊灯中随机选购1种，
∴小明恰好选购宫灯的概率为13，
故答案为：13；
(2)解：分别用字母A，B，C表示宫灯、纱灯、吊灯，
方法一：画树状图如图所示：
共有9种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的的结果只有3种，
所以，小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率为39=13．
方法二：列表如图所示：
共有9种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的的结果只有3种，
所以，小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率为39=13．

【解析】【分析】本题考查列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或B的概率．
(1)根据概率计算公式，计算出所求的概率．
(2)利用画树状图或列表，结合概率计算公式，计算出所求的概率．
23.【答案】解：设乙的速度为x米/分钟，则甲同学的速度为1.2x米/分钟，根据题意得：
8001.2x−4=400x，
解得：x=2003，
经检验x=2003是原方程的解，
1.2x=1.2×2003=80(米/分钟)，
答：乙的速度为2003米/分钟，则甲同学的速度为80米/分钟．

【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．乙的速度为x米/分钟，则甲同学的速度为1.2x米/分钟，根据甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点，列出方程，解方程即可．
24.【答案】(1)解：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE=DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
(2)解：∵四边形AEBF是菱形，
∴AE//BF，AE=BF=BE=5，
∴∠AEC=∠EBF，
∵∠ACB=90°，
∴cs∠AEC=cs∠EBF=CEAE=35，
∴CE=3，
∴AC= AE2−CE2=4，BC=CE+BE=8，
∴AB= AC2+BC2=4 5，
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=12AB=2 5．

【解析】【分析】(1)根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；
(2)先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，AC=4，BC=8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵点2,y1在抛物线y=x2+bx上．
∴y1=22+2b=4+2b，
∵b<−1，
∴4+2b<2，
∴y1<2；
(2)∵y=x2+bx=x+b22−b24，
∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为−b2,−b24，对称轴为x=−b2，
当−1≤−b2≤4，x=−b2时，y的最小值为−2，
则−b24=−2，
解得b1=2 2,b2=−2 2，
当b1=2 2时，−b2=− 2，不满足−1≤−b2≤4，舍去，
当b2=−2 2时，−b2= 2，满足−1≤−b2≤4，符合题意，
当−b2>4时，x=4时，y的最小值为−2，
则42+4b=−2，
解得b=−92，
∵−b2=94<4，
∴b=−92不满足−b2>4，舍去，
当−b2<−1时，x=−1时，y的最小值为−2，
则−12−b=−2，
解得b=3，
∵−b2=−32<−1，
∴b=3满足题意，
综上可知，b的值为−2 2或3．

【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
(1)由题意可得，y1=22+2b=4+2b，由b<−1得到4+2b<2，即可证明结论；
(2)由y=x2+bx=x+b22−b24可知，抛物线开口向上，抛物线的顶点为−b2,−b24，对称轴为x=−b2，根据对称轴的位置分析即可得到答案．
26.【答案】(1)证明：连接OE,AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90∘，
∴∠AEB=90∘
∵BE=CE，AE=AE，
∴▵ABE≌▵ACE(SAS)，
∴AB=AC，∠B=∠C，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90∘，
∴∠BAE+∠AEF=∠BAE+∠B=90∘，
∴∠AEF=∠B，
∴∠C=∠AEF，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠AEF，
∴∠AEO+∠OEC=∠AEF+∠AEO=90∘，
∴∠OEF=90∘，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
(2)解：如图，连接CD,DE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90∘，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90∘，
∴∠AFE=∠ADC，
∴CD//EF，
∴△BEF∽△BCD
∴BEBC=EFCD=BFBD，
∵BE=CE，
∴BEBE+CE=EFCD=BFBD=12，
∵EF=4，
∴CD=8，
∵AC=10，
∴AD= AC2−CD2=6，
由(1)知AB=AC，
∴AB=AC=10，
∴BD=AB−AD=4；
如图，连接CD，
同理得：CD=2EF=8，AB=AC=10，
∴AD= AC2−CD2=6，
∴BD=AB+AD=16，
综上，BD的长为4或16．

【解析】【分析】(1)证明▵ABE≌▵ACE(SAS)，得到AB=AC，∠B=∠C，由EF⊥AB，推出∠C=∠AEF，根据OE=OC，得到∠OEC=∠C，进而得到∠OEC=∠AEF，最后∠OEF=90∘，即可证明结论；
(2)分两种情况讨论，连接CD,DE，证明▵BEF∽▵BCD，求出CD，再利用勾股定理求出AD，由(1)知AB=AC，即可求出BD．
本题考查了圆切线的判定，直径所对圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造相似三角形时解题的关键．
27.【答案】(1)把A−2,1代入y=ax2，得
1=a×−22，
∴a=14，
∴y=14x2；
(2)∵BQ⊥AP，
∴∠Q=90∘，
∴点Q在AB为直径的⊙C上．
设点Q到AB的距离为h，
∵12AB⋅h=12AQ⋅BQ，
∴AQ⋅BQ=AB⋅h，
∴当h最大时，AQ⋅BQ最大，点Q在线段AB的垂直平分线上．
如图，作以线段AB为直径的圆，作线段AB的垂直平分线交圆于点Q，连接AQ交抛物线于点P，点P即为所求作的点；
(3)作QH⊥AO于点H，
∵B8,m在y=14x2上，
∴m=14×82=16，
∴B8,16，
∵OA2=22+12=5，OB2=82+162=320，AB2=−2−82+1−162=325，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90∘，
∴点O在⊙C上，OB//QH，
∴QMAM=OHOA，
∵OH是定值，
∴OH最大时，QMAM的值最大．
作QE⊥OB于点，则四边形OHQE是矩形，
∴OH=QE，
∴要使OH最大，只要QE最大即可，在点Q在过圆心且与OB的垂线上．
作CQ′⊥OB交OB于点E′，交⊙C于点Q′，则CQ′//OA．
∴OA2=5，，AB2=325，
∴OA= 5，AB=5 13
∴CQ′=12AB=5 132．
∵CA=CB，
∴CE′是▵OAB的中位线，
∴CE′=12OA= 52，
∴Q′E′=CQ′−CE′−=5 132− 52=5 13− 52，
∴QMAM=5 13− 52 5= 65−12，
∴QMAM的最大值为 65−12．

【解析】【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)作以线段AB为直径的圆，作线段AB的垂直平分线角抛物线于点P，角圆于点Q，点P即为所求作的点；
(3)作QH⊥AO于点H，先证明点O在⊙C上，OB//QH得QMAM=OHOA，可知OH最大时，QMAM的值最大．作QE⊥OB于点，则OH=QE，要使OH最大，只要QE最大即可，在点Q在过圆心且与OB的垂线上．作CQ′⊥OB交OB于点E′，交⊙C于点Q′，则CQ′//OA.然后求出CE′= 52，Q′E′=5 13− 52即可求出QMAM的最大值．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
28.【答案】(1)证明：∵AD绕点D逆时针旋转90∘到DE，
∴∠ADE=90∘=∠ADC+∠CDE，
∵BF//DE，
∴∠CBF=∠CDE，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCF=90∘，
∴∠ACB=∠BCF，
∴∠CBF+∠BFC=90∘，
∴∠ADC=∠BFC，
∴△ADC∽△BFC；
(2)解：由(1)知△ADC∽△BFC，
∴BFAD=BCAC，
∵BC=2，AC=4，
∴BFAD=12，
∵DEAD=12，
∴BF=DE，
∵BF//DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
如图，当点D在BC上时，过点D作BF的垂线，垂足为H，
S▱BDEF=DE⋅DH=12AD⋅BD⋅DH=12AD⋅BD⋅sin∠HBD，
∵∠HBD=∠CAD，
∴S▱BDEF=12AD⋅sin∠CAD=12AD⋅BD⋅CDAD=12BD⋅CD，
设BD=a，则CD=BC−BD=2−a
∴S▱BDEF=12a2−a=a−12a2=−12a−12+120当a=1时，S▱BDEF有最大值12；
当0当a=1时，S▱BDEF有最大值12，
当1如图，当点D在BC延长线上时，过点D作BF的垂线，垂足为H，
S▱BDEF=DE⋅DH=12AD⋅BD⋅DH=12AD⋅BD⋅sin∠HED，
∵四边形BDEF是平行四边形，∠HBD=∠CAD，
∴∠HBD=∠HED，
∴∠HED=∠CAD，
∴S▱BDEF=12AD⋅BD⋅sin∠HBD，
∴S▱BDEF=12BD⋅CD=12aa−2=12a2−a=12a−12−12a>2，
此时，S▱BDEF随a的增大而增大；
综上，点D在射线BC上从点B向上运动时，四边形BDEF的面积先增大到12，再减小到0，再增大；
(3)解：设BD=a，由(2)知：
点D在BC上时，S=a−12a20点D在BC延长线上，S=12a2−aa>2，
∵S(S≠0)，若仅存在两个不同的点D，使得S相等，
∴当a=1时，S=12，
∴当a>2，另S=12时，
即12a2−a=12，
解得：a=1+ 2(负值舍去)，
∴d=1+ 2−1= 2．

【解析】【分析】(1)根据题意得到∠ADE=90∘=∠ADC+∠CDE，由BF/​/DE，得到∠CBF=∠CDE，继而得到∠ADC=∠BFC，即可证明结论；
(2)先证明四边形BDEF是平行四边形，分点D在BC上，点D在BC延长线上，两种情况讨论；
(3)由(2)得到四边形BDEF面积关于BD的关系式，建立方程求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
平均数
中位数
众数
八年级
4.82
a
4.9
九年级
4.82
4.8
4.7
第1次摸球
第2次摸球
A
B
C
A
A,A
A,B
A,C
B
B,A
B,B
B,C
C
C,A
C,B
C,C