2022年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷（含解析）

2022年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 在等式“”中，“”中的运算符号是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是(    )

A. 五棱锥
B. 五棱柱
C. 六棱锥
D. 六棱柱

3. 如图，，则，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 与结果相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 计算个(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知第一组数据：、、、的方差为；第二组数据：、、、的方差为，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不好比较

7. 如图，在平面直角坐标系中放置三个长为，宽为的矩形，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知点在反比例函数第一象限的图象上，、在轴上，则下列说法中正确的是(    )
   满足面积为的点有且只有一个
   满足是直角三角形的点有且只有一个
   满足是等腰三角形的点有且只有一个
   满足是等边三角形的点有且只有一个

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 分式的值为，则的值是______．
10. 直线过点，则值为______．
11. 某个函数具有性质：当时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是______只要写出一个符合题意的答案即可．
12. 下列四个代数式，，，，若，则代数式的值最大的是______填序号
13. 如图，在▱中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为______．

14. 如图，内接于，，是的直径．若，则______

15. 已知是直角三角形，，则______
16. 九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的栗，可换得单位的粝米．”问题：有斗的粟斗升，若按照此“栗米之法”，则可以换得的粝米为______升．
17. 设直线是函数是实数，且的图象的对称轴，若，则的取值范围是______．
18. 如图，在锐角三角形中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
     

21. 某校为了解七、八年级学生每周课外阅读时间单位：小时对七、八年级的学生进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
    【收集数据】
    从七、八年级各随机抽取名学生进行调查，得到的数据单位：小时如下：
    七年级：
    八年级：
    【整理并描述数据】按如下时间段整理、描述两组样本数据：

【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

【解决问题】
______，______；
______，______，由此估计______填“七”或“八”年级的学生课外阅读时间较多；
该校八年级有学生人，请估计每周阅读时间在小时的八年级学生有多少人？

22. 北京首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”，墩墩和融融积极参加雪上项目的志愿者服务，现有三辆车按照，，编号，两人可以任选坐一辆车去参加服务．
    墩墩选坐号车的概率是______；
    请利用树状图或列表法求两人同坐号车的概率．
23. 为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图所示．
    
    试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
24. 如图，平行四边形中，点在上，平分，过点作，交于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．

25. 如图，点是斜边上一点，且，点在上，以为圆心，为半径的经过点，交于点，连接．
    求证：与相切；
    若，，求的长．

26. 如图，在锐角三角形中，点在边上，过点分别作线段，的垂线，垂足为点、如果，那么我们把叫做关于的正平分线．
    如图，，，，试说明为关于的正平分线；
    如图，若为关于的正平分线，过点作，，．
    试说明：四边形为正方形；
    若，边上的高为，，求的正平分线的长．
     

27. 在中，、、所对的边记为、、．
    
    如图，若，
    请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使得的周长为请保留作图的相关痕迹；
    试求证：；
    如图，若，试求证：．
28. 某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第周该软件的周销售量为单位：千套，当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第周销售该软件每千套的利润为单位：千元，与满足如图中的函数关系图象：

求与的函数关系式；
观察图象，当时，与的函数关系式为______．
设第周销售该学习软件所获的周利润总额为单位：千元，则：
在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是，求在此范围内对应的周销售量的最小值和最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在等式“”中，“”中的运算符号是．
故选：．
把运算符号放入算式中计算即可．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线性质和三角形的内角和定理，运用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
依据三角形内角和定理，可得，再根据平行线的性质，即可得到．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：原式，
：；
：；
：；
：；
故选：．
先求出结果，再求出、、、结果．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
根据幂的意义化简即可．
本题考查了有理数的乘方，掌握乘法是相同加数的和的简便运算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：观察第组和第二数据发现，发现两组数据一样稳定，
则，
故选：．
根据第组和第组数据波动一样，再根据方差的意义即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，延长交于，
依题意，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
如图，过作于，延长交于，依题意得到，，，然后利用勾股定理求出、，接着利用面积法求出，再利用勾股定理求出，最后利用三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点，则，，，
，
，
满足面积为的点只有一个，故正确，符合题意；
点在第一象限，
，
当时，，
，
解得：，
点，
当时，，
，无解，舍去，
综上所述，满足是直角三角形的点有且只有一个，故正确，符合题意
点在第一象限，点在轴的负半轴，
，
当时，
当时，，
当以点为圆心为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
同理，当时，以点为圆心为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
故错误，不符合题意；
点在第一象限，
，
不可能为等边三角形，故错误，不符合题意；
综上所述，正确的序号有，
故选：．
设点，由的面积公式求得点的坐标个数；由点在第一象限得知，然后分，两种情况讨论；由等腰三角形的性质可知，然后以点为圆心为半径画圆，可得出结论；由点在第一象限和等边三角形的性质得知不可能为等边三角形．
本题考查了反比函数图象上点的坐标特征，直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．根据分式的值为零的条件得到且，易得．
【解答】
解：分式的值为，
且，
．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：直线过点，
，
，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：中开口向上，对称轴为，
当时随着的增大而增大，
故答案为：答案不唯一．
根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
本题考查了二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
设，，
将，代入，
；
代入，
；
代入，
；
代入，，
，
故答案为：．
根据、的取值范围，可设，分别代入每一个选项计算即可得到答案．
本题考查了完全平方公式，有理数的大小比较，代数式求值，掌握其公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：时，
，
，
．

时，
，
，
是直角三角形，
，
，
．
故答案为：或．
根据题意，分两种情况，，，再根据三角形的内角和定理，求出即可．
此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形内角和是，注意分类讨论．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得：



升．
答：可以换得的粝米为升．
故答案为：．
根据题意列出算式，再按照法则计算即可．
本题考查了比例的性质，有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
，
．


，
，
．

，解得．
故答案为：．
根据对称轴为直线得出与的关系，把中的用含的式子表示出来，再根据，求出的取值范围．
本题考查了二次函数的图像与性质及不等式的解法，熟练掌握抛物线对称轴的表示方法与不等式的解法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：画出的外接圆，连接，

，，
点在优弧上运动，
当时，的面积最大，

，
，
，，
，，
最大为，
由勾股定理得，，
，
，
，
同理，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
画出的外接圆，连接，利用定角对定边可知点在优弧上运动，当时，的面积最大，求出的最大面积，再利用三角函数求出的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，等于三角形的性质，利用定边对定角确定隐圆是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
 

21.【答案】        八 

【解析】解：，，
故答案为：，；
；
；
由此估计八年级的学生课外阅读时间较多；
故答案为：，，八；
人，
答：估计每周阅读时间在小时的八年级学生约有人．
根据已知数据求解可得；
根据中位数、众数、平均数的概念，即可得出答案；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：墩墩选坐号车的概率是；
故答案为：；


画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人同坐号车的结果有种，
则两人同坐号车的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两人同坐号车的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】解：设软面笔记本的单价为元，则硬面笔记本的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
笔记本的数量为整数，
不合题意，
说学习委员搞错了． 

【解析】设软面笔记本的单价为元，则硬面笔记本的单价为元，由学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话列出分式方程，解方程，进而得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
解：如图，过点作于，

，
，
，
，
由知四边形是菱形，
，
四边形的面积． 

【解析】根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，进而可得结论；
过点作于，在中，由可得的长，再由菱形的面积公式即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，
是的半径，
与相切；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，，
，
∽，
，
，
，
为关于的正平分线；
证明：，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形为正方形；
解：过点作于点，交于点，

，
设，
，，
，
∽，
，
，
，
解得，
，，
． 

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
证明四边形是矩形，证出，则，证出，由正方形的判定可得出结论；
过点作于点，交于点，设，则，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求了，由勾股定理可求出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图，点即为所求；

证明：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，，
，
；
证明：如图，在上取一点，使，连接，

，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
． 

【解析】作的垂直平分线交于，此时，则的周长为；
证明∽，列比例式可得结论；
如图，在上取一点，使，连接，证明∽，列比例式可得结论．
本题考查了线段垂直平分线的作法，三角形相似的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，证明三角形相似是解本题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
，
，
综上所述与的函数关系式为：
；
当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
故答案为：；
存在，不变的值为，
由函数图像得：当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为．
当时，，抛物线的对称轴为，
Ⅰ当时，在对称轴右侧随的增大而增大，
当时，
解得：，舍去；
当时，取最大值，最大值为，满足；
当时，周销售量的最小值为；当时，取最大值；
Ⅱ当时，，抛物线的对称轴为，
当时，取最小值，最小值为，满足；
当时，
解得：，舍去；
当时，周销售量取最小值为；当时，取最大值；
综上所述，当周利润总额的范围是时，对应周销售量的最小值是千套，最大值是千套．
通过待定系数法求函数关系式．
观察图象，分析函数图象性质，分段求解．
分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．
本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图象的性质；一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．