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2021年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
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这是一份2021年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
6．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A（2，2），反比例函数y＝图象经过点C，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．下列结论：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9．据数据显示，截至2020年初，扬州市户籍人口约为4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表示为 ．
10．分解因式：2a2﹣8＝ ．
11．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 （结果保留π）．
12．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 °．
13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分．则这组数据的中位数为 分．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P为圆上一点（与点A、B不重合），则∠APB的度数为 ．
15．我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石．（精确到个位）
16．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为 ．
17．如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 ．
18．设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝ ．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
20．解不等式组：，并写出它的正整数解．
21．网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题．
（1）这次活动共调查了 名学生，扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是 ；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该学校共有1200名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？
22．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
23．为迎接2021年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施．市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
25．如图，CD为⊙O的直径，AB∥CD，BC平分∠ACD，延长CA，过B作BE⊥CA，垂足为E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BE＝，求⊙O的半径．
26．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
27．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，b），若点A1的坐标是（a，|a﹣b|），则称点A1是点A的“关联点”．
（1）点（﹣1，3）的“关联点”坐标是 ；
（2）点A在函数y＝2x﹣3上，若点A的“关联点”A1与点A重合，求点A的坐标；
（3）点A（a，b）的“关联点”A1是函数y＝x2的图象上一点，当0≤a≤2时，求线段AA1长度的最大值．
28．阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
（1）如图1，▱ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函数y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是 ；
（3）如图2，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、CE，过F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．当△EFG面积最大时，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
解：∵﹣2021＜﹣1＜1＜2021，
∴最大的实数是2021，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：A、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
B、a3•a5＝a8，故本选项符合题意；
C、a5与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：B．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
5．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
6．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A（2，2），反比例函数y＝图象经过点C，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
【分析】利用勾股定理求得OA，即可得到C的坐标，代入解析式即可求得k的值．
解：∵点A（2，2），
∴OA＝＝4，
∴菱形的边长为4，
∴C（6，2），
∴k＝6×2＝12，
故选：C．
7．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可．
解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∵．两根之和不为2，而x1＝l，x2＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1＝l，则x2＝l，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
∵x1+x2＝4≠2，与题意不符；
故选：A．
8．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．下列结论：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系以及翻折变换的性质，逐项进行判断即可．
解：连接AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
由翻折得，
AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，BE＝FE，
在Rt△AFN和△ADN中，
∵AF＝AD，AN＝AN，
∴Rt△AFN≌△ADN（HL），
∴DN＝FN，
∴EN＝EF+FN＝BE+DN，因此③正确；
由AD∥BC得，∠DAE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEM，
∴∠DAE＝∠AEM，
∴AM＝EM，因此④正确；
过点M作MH⊥AE于H，
∵AM＝EM，
∴AH＝EH，∠AMH＝∠EMH，
设BE＝a，则EF＝a，AB＝AD＝2a，
在Rt△ABE中，
AE＝＝a，
∴AH＝HE＝a，
∵∠MAH+∠AMH＝90°，∠BAE+∠MAH＝90°，
∴∠BAE＝∠AMH，
∴sin∠BAE＝＝sin∠AMH＝，
即＝，
∴AM＝a，
∴DM＝a﹣2a＝a，
∵AD＝2a，
∴AD＝4DM，因此②不正确；
在Rt△AMF中，
sin∠AME＝＝＝，因此①正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9．据数据显示，截至2020年初，扬州市户籍人口约为4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表示为 4.57×106 ．
【分析】将一个数表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
解：根据科学记数法的定义，4570000＝4.57×106，
故答案为：4.57×106．
10．分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
11．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 12π （结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，
∴该圆锥的侧面积为：π×3×4＝12π．
故答案为：12π．
12．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 °．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．
解：∵正多边形的外角和是360°，
∴360°÷9＝40°．
故答案为：40．
13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分．则这组数据的中位数为 120 分．
【分析】直接根据中位数的定义求解即可．
解：20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分，
所以第10，11个数是120，
∴这组数据的中位数为120，
故答案为：120．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P为圆上一点（与点A、B不重合），则∠APB的度数为 45°或135° ．
【分析】连接OA，OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，根据圆周角定理解答即可．
解：连接OA，OB，
当点P在优弧上时，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOB＝＝90°，
由圆周角定理得，∠APB＝∠AOB＝45°，
当点P在劣弧上时，∠APB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：45°或135°．
15．我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 169 石．（精确到个位）
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，再乘以1534石，即可得出答案．
解：根据题意得：
1534×≈169（石），
故答案为：169．
16．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为 ﹣ ．
【分析】联立已知两个等式，求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：联立得：，
由②得；b＝1﹣2a③，
把③代入①得：2021a+2020（1﹣2a）＝3，
去括号得：2021a+2020﹣4040a＝3，
移项合并得：﹣2019a＝﹣2017，
解得：a＝，
把a＝代入③得：b＝1﹣＝﹣，
则＝﹣．
故答案为：﹣．
17．如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 a＞1或a＜0 ．
【分析】由题意可知，点（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圆心的距离大于半径1，可得不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
解：∵过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，
∴点（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圆心的距离大于半径1，
∴，
∴a2+（a﹣1）2＞1，
∴2a（a﹣1）＞0，
∴a＞0，a﹣1＞0或a＜0，a﹣1＜0，
∴a＞1或a＜0，
故答案为：a＞1或a＜0．
18．设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝ 69 ．
【分析】设这一列数中有x个﹣1，y个2，根据已知列方程组得，解方程组可得x和y的值，最后代入可得答案．
解：设这一列数中有x个﹣1，y个2，
∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，
∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2•x+22•y＝51，
∴，
解得：，
∴a13+a23+a33+…+a20213＝x•（﹣1）3+y•23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．
故答案为：69．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
【分析】（1）先根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（1）原式＝2﹣+1+2×
＝2﹣+1+
＝3；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，
＝x2﹣1﹣x2+4x﹣4
＝4x﹣5，
当x＝时，原式＝4×﹣5＝﹣4．
20．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出正整数解即可．
解：，
由①得：x＜4，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜4，
则不等式组的正整数解为1，2，3．
21．网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题．
（1）这次活动共调查了 200 名学生，扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是 144° ；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该学校共有1200名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？
【分析】（1）根据一般的人数和所占的百分比求出总人数，用360°乘以“良好”所占的百分比即可；
（2）用总人数减去其他学习效果的人数，求出不合格的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以等次为“优秀”的学生所占的百分比即可．
解：（1）这次活动共调查的学生数是：50÷25%＝200（名），
扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是：360°×＝144°；
故答案为：200，144°；
（2）不合格的人数有：200﹣30﹣80﹣50＝40（名），补全统计图如下：
（3）1200×＝180（人），
答：估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有180人．
22．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8，
所以这两名学生来自不同学校的概率为＝．
23．为迎接2021年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施．市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【分析】提出问题：求原计划每天栽多少棵树？设原计划每天栽x棵树，由题意：市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．列出分式方程，解方程即可．
解：提出问题：求原计划每天栽多少棵树？
设原计划每天栽x棵树，则实际每天栽（1+）x棵树，
由题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原分式方程的解，
答：原计划每天栽90棵．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
25．如图，CD为⊙O的直径，AB∥CD，BC平分∠ACD，延长CA，过B作BE⊥CA，垂足为E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BE＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，OA，根据平行的性质，角平分线的性质以及同圆中同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，证明出∠OBE＝90°即可；
（2）先根据已知条件证明四边形ACOB是菱形，再求出∠EAB＝60°，在直角三角形AEB中求出AB长度即可．
【解答】（1）证明：连接OB，OA，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠ACD，
∵∠BOD＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠ACD，
∴CE∥OB，
∴∠CEB+∠OBE＝180°，
∵BE⊥CA，即∠CEB＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB∥CD，AE∥BO，
∴四边形ACOB是平行四边形，
∵OB＝OC，
∴▱ACOB是菱形，
∴AC＝OC＝OA，
∴∠ACD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴OC＝AB＝4，
∴⊙O的半径为4．
26．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）①证明∠ABP∽△ACB，推出＝，可得结论．
②当＝时，△APB∽△ABC，由此可得结论．
（2）在CA的下方作∠ACP＝∠ABC，CP交AB的延长线于P．
解：（1）①∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴∠ABP∽△ACB，
∴＝，
∴AP＝＝1．
②∵∠A＝∠A，
∴当＝时，△APB∽△ABC，
∴＝，
∴AP＝，
故答案为：．
（2）如图2中，点P即为所求．
27．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，b），若点A1的坐标是（a，|a﹣b|），则称点A1是点A的“关联点”．
（1）点（﹣1，3）的“关联点”坐标是 （﹣1，4） ；
（2）点A在函数y＝2x﹣3上，若点A的“关联点”A1与点A重合，求点A的坐标；
（3）点A（a，b）的“关联点”A1是函数y＝x2的图象上一点，当0≤a≤2时，求线段AA1长度的最大值．
【分析】（1）根据“关联点”的定义即可得出答案；
（2）先设出点A的坐标，再根据“关联点”的定义写出A1的坐标，由两个点重合即可得出答案；
（3）先写出点A的“关联点”的坐标，代入y＝x2求出a和b的关系，将AA1的长度用含a的式子表示出来，根据a的取值范围即可求出AA1长度的最大值．
解：（1）∵|﹣1﹣3|＝4，
∴根据“关联点”的定义，点（﹣1，3）的“关联点”坐标是（﹣1，4），
故答案为（﹣1，4）；
（2）∵点A在y＝2x﹣3上，设点A（m，2m﹣3），
则|m﹣（2m﹣3）|＝|﹣m+3|，
∴A1的坐标为（m，|﹣m+3|），
∵点A的“关联点”A1与点A重合，
∴2m﹣3＝|﹣m+3|，
解答m＝0或m＝2，
∴点A的坐标为（0，﹣3）或（2，1）；
（3）由题意知点A（a，b）的“关联点”A1的坐标为（a，|a﹣b|），
把（a，|a﹣b|）代入y＝x2得：|a﹣b|＝a2，
∴若a≥b，则b＝a﹣a2，若a＜b，则b＝a+a2，
因为点A的坐标为（a，b），A1的坐标为（a，|a﹣b|），
∴AA1＝|a﹣b|﹣b，
当a≥b时，AA1＝a﹣b﹣b＝a﹣2b＝a﹣2（a﹣a2）＝2a2﹣a，
∵0≤a≤2，
∴2a2﹣a的最大值为2×22﹣2＝6，
当a＜b时，AA1＝b﹣a﹣b＝﹣a，
∵0≤a≤2，
∴﹣a的最大值为0，
综上，AA1长度的最大值为6．
28．阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
（1）如图1，▱ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函数y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是 1 ；
（3）如图2，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、CE，过F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．当△EFG面积最大时，求的值．
【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，设BE＝x，则CE＝14﹣x，运用勾股定理得AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，建立方程可求得：BE＝9，CE＝5，再运用勾股定理求得AE＝12，根据三角函数定义即可求得答案；
（2）分两种情况：a≥0或a＜0，①当a≥0时，令x＝，则y1＝（）2＝，求得K（，），代入y2＝ax﹣1，求得a＝，即可得出0≤a＜；
②当a＜0时，令y1＝y2，可得x2﹣ax+1＝0，由Δ＝0，可得a＝﹣2，即可得出﹣2＜a＜0；
（3）如图3，设BF＝x，则CF＝3﹣x，表示出S△EFG＝﹣（x﹣）2+，利用二次函数性质得出BF＝CF＝，再利用平行线分线段成比例定理即可求得答案．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝14，
设BE＝x，则CE＝14﹣x，
∵△ABE和△ACE是直角三角形，
∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴BE＝9，CE＝5，
∴AE＝＝＝12，
∴tanB＝＝＝；
（2）如图2，∵y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，
∴分两种情况：a≥0或a＜0，
①当a≥0时，令x＝，则y1＝（）2＝，
∴K（，），
将K（，）代入y2＝ax﹣1，
得：＝a﹣1，
解得：a＝，
∴当0≤a＜时，y1＞y2，
②当a＜0时，令y1＝y2，
得x2＝ax﹣1，
∴x2﹣ax+1＝0，
当直线y2＝ax﹣1与抛物线y1＝x2只有一个交点T时，Δ＝0，
∴a2﹣4＝0，
解得：a＝±2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴当﹣2＜a＜0时，y1＞y2，
综上，当x＜时，y1＞y2，a的取值范围为0≤a＜或﹣2＜a＜0，即﹣2＜a＜，
∵a的最大整数为2，最小整数为﹣1，
∴整数a可取的最大值与最小值的和是2+（﹣1）＝1，
故答案为：1；
（3）如图3，设BF＝x，则CF＝3﹣x，
∵FG∥CE，FH∥BE，
∴△BFG∽△BCE，△FCH∽△BCE，S△EFG＝S▱EGFH，
∴＝（）2，＝（）2，
∵S△BCE＝BC×AB＝×3×2＝3，
∴S△BFG＝x2，S△FCH＝（3﹣x）2，
∴S△EFG＝S▱EGFH＝（S△BCE﹣S△BFG﹣S△FCH）＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△EFG的最大值为，
此时，BF＝，CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，
∴BF＝CF，
∵FH∥BE，
∴＝＝1．
2021年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
6．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A（2，2），反比例函数y＝图象经过点C，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．下列结论：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9．据数据显示，截至2020年初，扬州市户籍人口约为4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表示为 ．
10．分解因式：2a2﹣8＝ ．
11．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 （结果保留π）．
12．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 °．
13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分．则这组数据的中位数为 分．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P为圆上一点（与点A、B不重合），则∠APB的度数为 ．
15．我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石．（精确到个位）
16．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为 ．
17．如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 ．
18．设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝ ．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
20．解不等式组：，并写出它的正整数解．
21．网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题．
（1）这次活动共调查了 名学生，扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是 ；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该学校共有1200名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？
22．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
23．为迎接2021年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施．市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
25．如图，CD为⊙O的直径，AB∥CD，BC平分∠ACD，延长CA，过B作BE⊥CA，垂足为E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BE＝，求⊙O的半径．
26．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
27．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，b），若点A1的坐标是（a，|a﹣b|），则称点A1是点A的“关联点”．
（1）点（﹣1，3）的“关联点”坐标是 ；
（2）点A在函数y＝2x﹣3上，若点A的“关联点”A1与点A重合，求点A的坐标；
（3）点A（a，b）的“关联点”A1是函数y＝x2的图象上一点，当0≤a≤2时，求线段AA1长度的最大值．
28．阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
（1）如图1，▱ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函数y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是 ；
（3）如图2，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、CE，过F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．当△EFG面积最大时，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列四个数中，最大的实数是（ ）
A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
解：∵﹣2021＜﹣1＜1＜2021，
∴最大的实数是2021，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a3•a5＝a8 C．a5+a2＝a7 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：A、（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
B、a3•a5＝a8，故本选项符合题意；
C、a5与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：B．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
5．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
6．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A（2，2），反比例函数y＝图象经过点C，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．
【分析】利用勾股定理求得OA，即可得到C的坐标，代入解析式即可求得k的值．
解：∵点A（2，2），
∴OA＝＝4，
∴菱形的边长为4，
∴C（6，2），
∴k＝6×2＝12，
故选：C．
7．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可．
解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∵．两根之和不为2，而x1＝l，x2＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1＝l，则x2＝l，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
∵x1+x2＝4≠2，与题意不符；
故选：A．
8．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．下列结论：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系以及翻折变换的性质，逐项进行判断即可．
解：连接AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
由翻折得，
AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，BE＝FE，
在Rt△AFN和△ADN中，
∵AF＝AD，AN＝AN，
∴Rt△AFN≌△ADN（HL），
∴DN＝FN，
∴EN＝EF+FN＝BE+DN，因此③正确；
由AD∥BC得，∠DAE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEM，
∴∠DAE＝∠AEM，
∴AM＝EM，因此④正确；
过点M作MH⊥AE于H，
∵AM＝EM，
∴AH＝EH，∠AMH＝∠EMH，
设BE＝a，则EF＝a，AB＝AD＝2a，
在Rt△ABE中，
AE＝＝a，
∴AH＝HE＝a，
∵∠MAH+∠AMH＝90°，∠BAE+∠MAH＝90°，
∴∠BAE＝∠AMH，
∴sin∠BAE＝＝sin∠AMH＝，
即＝，
∴AM＝a，
∴DM＝a﹣2a＝a，
∵AD＝2a，
∴AD＝4DM，因此②不正确；
在Rt△AMF中，
sin∠AME＝＝＝，因此①正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9．据数据显示，截至2020年初，扬州市户籍人口约为4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表示为 4.57×106 ．
【分析】将一个数表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
解：根据科学记数法的定义，4570000＝4.57×106，
故答案为：4.57×106．
10．分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
11．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 12π （结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，
∴该圆锥的侧面积为：π×3×4＝12π．
故答案为：12π．
12．如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 °．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．
解：∵正多边形的外角和是360°，
∴360°÷9＝40°．
故答案为：40．
13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分．则这组数据的中位数为 120 分．
【分析】直接根据中位数的定义求解即可．
解：20份试卷成绩，结果如下：a个140分，b个135分，5个120分，1个110分，2个100分，3个90分，
所以第10，11个数是120，
∴这组数据的中位数为120，
故答案为：120．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P为圆上一点（与点A、B不重合），则∠APB的度数为 45°或135° ．
【分析】连接OA，OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，根据圆周角定理解答即可．
解：连接OA，OB，
当点P在优弧上时，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOB＝＝90°，
由圆周角定理得，∠APB＝∠AOB＝45°，
当点P在劣弧上时，∠APB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：45°或135°．
15．我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 169 石．（精确到个位）
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，再乘以1534石，即可得出答案．
解：根据题意得：
1534×≈169（石），
故答案为：169．
16．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为 ﹣ ．
【分析】联立已知两个等式，求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：联立得：，
由②得；b＝1﹣2a③，
把③代入①得：2021a+2020（1﹣2a）＝3，
去括号得：2021a+2020﹣4040a＝3，
移项合并得：﹣2019a＝﹣2017，
解得：a＝，
把a＝代入③得：b＝1﹣＝﹣，
则＝﹣．
故答案为：﹣．
17．如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 a＞1或a＜0 ．
【分析】由题意可知，点（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圆心的距离大于半径1，可得不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
解：∵过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，
∴点（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圆心的距离大于半径1，
∴，
∴a2+（a﹣1）2＞1，
∴2a（a﹣1）＞0，
∴a＞0，a﹣1＞0或a＜0，a﹣1＜0，
∴a＞1或a＜0，
故答案为：a＞1或a＜0．
18．设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝ 69 ．
【分析】设这一列数中有x个﹣1，y个2，根据已知列方程组得，解方程组可得x和y的值，最后代入可得答案．
解：设这一列数中有x个﹣1，y个2，
∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，
∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2•x+22•y＝51，
∴，
解得：，
∴a13+a23+a33+…+a20213＝x•（﹣1）3+y•23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．
故答案为：69．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）
19．（1）计算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
【分析】（1）先根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（1）原式＝2﹣+1+2×
＝2﹣+1+
＝3；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，
＝x2﹣1﹣x2+4x﹣4
＝4x﹣5，
当x＝时，原式＝4×﹣5＝﹣4．
20．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出正整数解即可．
解：，
由①得：x＜4，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜4，
则不等式组的正整数解为1，2，3．
21．网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题．
（1）这次活动共调查了 200 名学生，扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是 144° ；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该学校共有1200名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？
【分析】（1）根据一般的人数和所占的百分比求出总人数，用360°乘以“良好”所占的百分比即可；
（2）用总人数减去其他学习效果的人数，求出不合格的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以等次为“优秀”的学生所占的百分比即可．
解：（1）这次活动共调查的学生数是：50÷25%＝200（名），
扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是：360°×＝144°；
故答案为：200，144°；
（2）不合格的人数有：200﹣30﹣80﹣50＝40（名），补全统计图如下：
（3）1200×＝180（人），
答：估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有180人．
22．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8，
所以这两名学生来自不同学校的概率为＝．
23．为迎接2021年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施．市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【分析】提出问题：求原计划每天栽多少棵树？设原计划每天栽x棵树，由题意：市园林工程处决定在公路旁栽1440棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．列出分式方程，解方程即可．
解：提出问题：求原计划每天栽多少棵树？
设原计划每天栽x棵树，则实际每天栽（1+）x棵树，
由题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原分式方程的解，
答：原计划每天栽90棵．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
25．如图，CD为⊙O的直径，AB∥CD，BC平分∠ACD，延长CA，过B作BE⊥CA，垂足为E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BE＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，OA，根据平行的性质，角平分线的性质以及同圆中同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，证明出∠OBE＝90°即可；
（2）先根据已知条件证明四边形ACOB是菱形，再求出∠EAB＝60°，在直角三角形AEB中求出AB长度即可．
【解答】（1）证明：连接OB，OA，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠ACD，
∵∠BOD＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠ACD，
∴CE∥OB，
∴∠CEB+∠OBE＝180°，
∵BE⊥CA，即∠CEB＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB∥CD，AE∥BO，
∴四边形ACOB是平行四边形，
∵OB＝OC，
∴▱ACOB是菱形，
∴AC＝OC＝OA，
∴∠ACD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴OC＝AB＝4，
∴⊙O的半径为4．
26．（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）①证明∠ABP∽△ACB，推出＝，可得结论．
②当＝时，△APB∽△ABC，由此可得结论．
（2）在CA的下方作∠ACP＝∠ABC，CP交AB的延长线于P．
解：（1）①∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴∠ABP∽△ACB，
∴＝，
∴AP＝＝1．
②∵∠A＝∠A，
∴当＝时，△APB∽△ABC，
∴＝，
∴AP＝，
故答案为：．
（2）如图2中，点P即为所求．
27．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，b），若点A1的坐标是（a，|a﹣b|），则称点A1是点A的“关联点”．
（1）点（﹣1，3）的“关联点”坐标是 （﹣1，4） ；
（2）点A在函数y＝2x﹣3上，若点A的“关联点”A1与点A重合，求点A的坐标；
（3）点A（a，b）的“关联点”A1是函数y＝x2的图象上一点，当0≤a≤2时，求线段AA1长度的最大值．
【分析】（1）根据“关联点”的定义即可得出答案；
（2）先设出点A的坐标，再根据“关联点”的定义写出A1的坐标，由两个点重合即可得出答案；
（3）先写出点A的“关联点”的坐标，代入y＝x2求出a和b的关系，将AA1的长度用含a的式子表示出来，根据a的取值范围即可求出AA1长度的最大值．
解：（1）∵|﹣1﹣3|＝4，
∴根据“关联点”的定义，点（﹣1，3）的“关联点”坐标是（﹣1，4），
故答案为（﹣1，4）；
（2）∵点A在y＝2x﹣3上，设点A（m，2m﹣3），
则|m﹣（2m﹣3）|＝|﹣m+3|，
∴A1的坐标为（m，|﹣m+3|），
∵点A的“关联点”A1与点A重合，
∴2m﹣3＝|﹣m+3|，
解答m＝0或m＝2，
∴点A的坐标为（0，﹣3）或（2，1）；
（3）由题意知点A（a，b）的“关联点”A1的坐标为（a，|a﹣b|），
把（a，|a﹣b|）代入y＝x2得：|a﹣b|＝a2，
∴若a≥b，则b＝a﹣a2，若a＜b，则b＝a+a2，
因为点A的坐标为（a，b），A1的坐标为（a，|a﹣b|），
∴AA1＝|a﹣b|﹣b，
当a≥b时，AA1＝a﹣b﹣b＝a﹣2b＝a﹣2（a﹣a2）＝2a2﹣a，
∵0≤a≤2，
∴2a2﹣a的最大值为2×22﹣2＝6，
当a＜b时，AA1＝b﹣a﹣b＝﹣a，
∵0≤a≤2，
∴﹣a的最大值为0，
综上，AA1长度的最大值为6．
28．阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
（1）如图1，▱ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函数y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是 1 ；
（3）如图2，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、CE，过F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．当△EFG面积最大时，求的值．
【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，设BE＝x，则CE＝14﹣x，运用勾股定理得AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，建立方程可求得：BE＝9，CE＝5，再运用勾股定理求得AE＝12，根据三角函数定义即可求得答案；
（2）分两种情况：a≥0或a＜0，①当a≥0时，令x＝，则y1＝（）2＝，求得K（，），代入y2＝ax﹣1，求得a＝，即可得出0≤a＜；
②当a＜0时，令y1＝y2，可得x2﹣ax+1＝0，由Δ＝0，可得a＝﹣2，即可得出﹣2＜a＜0；
（3）如图3，设BF＝x，则CF＝3﹣x，表示出S△EFG＝﹣（x﹣）2+，利用二次函数性质得出BF＝CF＝，再利用平行线分线段成比例定理即可求得答案．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝14，
设BE＝x，则CE＝14﹣x，
∵△ABE和△ACE是直角三角形，
∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴BE＝9，CE＝5，
∴AE＝＝＝12，
∴tanB＝＝＝；
（2）如图2，∵y1＝x2，y2＝ax﹣1，当x＜时，y1＞y2，
∴分两种情况：a≥0或a＜0，
①当a≥0时，令x＝，则y1＝（）2＝，
∴K（，），
将K（，）代入y2＝ax﹣1，
得：＝a﹣1，
解得：a＝，
∴当0≤a＜时，y1＞y2，
②当a＜0时，令y1＝y2，
得x2＝ax﹣1，
∴x2﹣ax+1＝0，
当直线y2＝ax﹣1与抛物线y1＝x2只有一个交点T时，Δ＝0，
∴a2﹣4＝0，
解得：a＝±2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴当﹣2＜a＜0时，y1＞y2，
综上，当x＜时，y1＞y2，a的取值范围为0≤a＜或﹣2＜a＜0，即﹣2＜a＜，
∵a的最大整数为2，最小整数为﹣1，
∴整数a可取的最大值与最小值的和是2+（﹣1）＝1，
故答案为：1；
（3）如图3，设BF＝x，则CF＝3﹣x，
∵FG∥CE，FH∥BE，
∴△BFG∽△BCE，△FCH∽△BCE，S△EFG＝S▱EGFH，
∴＝（）2，＝（）2，
∵S△BCE＝BC×AB＝×3×2＝3，
∴S△BFG＝x2，S△FCH＝（3﹣x）2，
∴S△EFG＝S▱EGFH＝（S△BCE﹣S△BFG﹣S△FCH）＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△EFG的最大值为，
此时，BF＝，CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，
∴BF＝CF，
∵FH∥BE，
∴＝＝1．
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