2022-2023学年浙江省杭州市建德市东城实验中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市建德市东城实验中学八年级（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠8B．x＞﹣8C．x≥8D．x≤8
2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为26，30，29，30，26，28，30．则这组数据的中位数是（ ）
A．30B．29.5C．29D．28
4．（3分）下列选项中的运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
7．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值为（ ）
A．0B．4C．5D．6
8．（3分）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．
A．10B．20C．30D．40
9．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形
B．如果一个四边形的对角线互相垂直平分，那么它一定是菱形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形
10．（3分）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．﹣1B． +1C．D．﹣1
二、填空题（6小题，每小题4分）
11．（4分）当a＝﹣1时，二次根式的值为 ．
12．（4分）甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m，方差分别为S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，则身高较整齐的球队是 队．
13．（4分）把关于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是 ，其中常数项是 ．
14．（4分）在▱ABCD中，∠B＝3∠A，则∠C＝ 度．
15．（4分）对于实数m，n，定义一种运算*为：m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，则a＝ ．
16．（4分）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则▱ABCD的面积是 ．
三、解答题（有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算或证明过程）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）用合适的方法解方程：
（1）x2﹣7x＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝9．
19．（8分）某校组织学生开展读书节活动．为了了解全校学生的借阅书刊情况，学校随机抽查了30名学生的一周借书数量，并将调查数据整理如表：
（1）调查的周借书数量的众数是 本；
（2）求这30名学生的一周借书数量的平均数；
（3）若该校共有1200名学生，请根据调查的数据估计该校学生的一周借书总数约是多少本？
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB，连结DE、DF．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若BC＝5，求DF的长．
21．（10分）如图，在菱形ABCD中，E为边BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．
（1）求证：四边形AECG是矩形．
（2）求∠CHA的度数．
22．（12分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨0.5元，则每天的销售量就会减少5件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，连结CP.
（1）求证：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，延长AP交线段DC于点Q，交BC的延长线于点G，点M是GQ的中点，连结CM．求证：PC⊥MC；
（3）如图3，延长AP交射线DC于点Q，交BC于点G，点M是GQ的中点，连结CM．若PM＝4，∠BAP＝30°，求AB的长．
2022-2023学年浙江省杭州市上城区东城实验中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分）
1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣8≥0，
即x≥8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：从小到大排列为26，26，28，29，30，30，30，
∵排在中间的数是29，
∴这组数据的中位数是29．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是学生对中位数定义的掌握情况，解题的关键在于能够熟知中位数的定义，由此即可解答．
4．【分析】根据分数指数幂和实数的计算顺序和法则计算即可．
【解答】解：A、＝≠，故选项A不符合题意；
B、＝﹣≠3，故选项B不符合题意；
C、＝，故选项C符合题意；
D、＝2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是分数指数幂和实数的计算，熟练掌握其运算顺序和法则是解题的关键．
5．【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180°﹣120°＝60°，
360÷60＝6，则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
6．【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
7．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a＝1，
则3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a）+3＝3×1+3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
【解答】解：连接AC，
∵H、G是AD与CD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH＝AC＝5（cm），
同理EF＝5cm，根据矩形的对角线相等，
得到：EH＝FG＝5cm，
∴四边形EFGH的周长为20cm．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．【分析】根据正方形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形，命题正确，不符合题意；
B、如果一个四边形的对角线互相垂直平分，那么它一定是菱形，命题正确，不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本小题命题错误，符合题意；
D、四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形，命题正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（6小题，每小题4分）
11．【分析】直接把a的值代入进而得出答案．
【解答】解：当a＝﹣1时，二次根式＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12．【分析】根据方差越小数据越稳定解答即可．
【解答】解：∵平均身高都为1.82m，3.7＜4.2，
∴身高较整齐的球队是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
13．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：x（2x+1）＝3，
2x2+x＝3，
方程整理得：2x2+x﹣3＝0，
∴常数项为﹣3．
故答案为：2x2+x﹣3＝0，﹣3．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝3∠A，
∴∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝∠C＝45°，
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．
15．【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n＝mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）＝﹣变为（a+1）x2+（a+1）x+＝0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【解答】解：由x*（a*x）＝﹣得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，
依题意有a+1≠0，
Δ＝（a+1）2﹣（a+1）＝0，
解得，a＝0，或a＝﹣1（舍去）．
故答案为：0．
【点评】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
16．【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝2，
∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，
在Rt△BDE中，∵BD＝2，
∴BE＝＝＝2，
如图1，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4，
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝2，
综上所述，▱ABCD的面积是 4或2．
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
三、解答题（有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算或证明过程）
17．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用完全平方公式计算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣
＝3；
（2）原式＝4+2+1﹣2+3
＝4+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣7x＝0，
x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝0，x2＝7．
（2）（x+3）（x﹣1）＝9，
x2+2x＝12，
x2+2x+1＝13，即（x+1）2＝13，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．【分析】（1）找到出现次数最多的数就是众数；
（2）利用平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用一周借书数量的平均数乘以总人数即可求得一周借书总数．
【解答】解：（1）观察表格发现：周借书数量2本的有14人，最多，
所以周借书数量的众数为2本；
故答案为：2．
（2）平均数为：＝2.2；
答：这30名学生的一周借书数量的平均数是2.2；
（3）1200×2.2＝2640（本），
答：估计该校学生的一周借书总数约是2640本．
【点评】本题考查了众数、加权平均数及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够了解有关的定义，难度不大．
20．【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．
【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB．
又∵AD＝AB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝5，
∴AE＝BC＝．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC，由已知条件证出四边形AECG是平行四边形，再证出∠AEC＝90°，即可得出结论；
（2）连接AC，证明△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∵CG∥AE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴四边形AECG是矩形．
（2）解：连接AC，如图所示：
∵E为BC中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
同理∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，
∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，
∴AE∥CG，
∴∠AHC＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．
22．【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，由题意可列方程为1×（1+x）2＝1.21，求解即可．
（2）设每件商品的售价应该定为m元，根据题意可列方程求出m的值，再使其满足销量尽可能大即可．
【解答】解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
由题意可得，1×（1+x）2＝1.21，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）设每件商品的售价应该定为m元，
则每件商品的销售利润为（m﹣80）元，
每天的销售量为500﹣5×＝（1500﹣10m）件，
依题意可得（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000，
解得m1＝110，m2＝120，
∵要使销量尽可能大，
∴m＝110，
答：每件商品的售价应该定为110元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．
23．【分析】（1）由正方形的性质得∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，再由SAS证明△ADP≌△CDP即可；
（2）由全等三角形的性质得∠DAP＝∠DCP，即∠DCP＝∠DAG，再由平行线的性质得∠DAG＝∠G，则∠DCP＝∠G，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝QM，则∠MCQ＝∠MQC，证出∠DCP+∠MCQ＝90°，即可得出结论；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得GM＝CM＝QM，则∠MCQ＝∠Q，再证△CGM为等边三角形，得CG＝GM，∠CGM＝∠MCG＝60°，然后证△ABP≌△CBP（SAS），得∠BAP＝∠BCP＝30°，证CG＝PG，得CG＝PG＝GM＝2，设AB＝x，则BG＝x﹣2，由含30°角的直角三角形的性质得AG＝2BG＝2x﹣4，最后由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS）；
（2）证明：由（1）得：△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
即∠DAG＝∠DCP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BG，
∴∠DAG＝∠G，
∴∠DCP＝∠G，
∵∠QCG＝90°，M为GQ中点，
∴CM＝GQ＝QM，
∴∠MCQ＝∠MQC，
∵∠G+∠MQC＝90°，
∴∠DCP+∠MCQ＝90°，
即∠PCM＝90°，
∴PC⊥MC；
（3）解：∵M为QG的中点，∠QCG＝90°，
∴GM＝CM＝QM，
∴∠MCQ＝∠Q，
∵AB∥CQ，
∴∠BAP＝∠Q＝30°，
∴∠MCQ＝30°，
∴∠CMG＝∠Q+∠MCQ＝30°+30°＝60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG＝GM，∠CGM＝∠MCG＝60°，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABP＝∠CBP，AB＝BC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP＝30°，
∴∠GPC＝∠CGM﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠GPC＝∠BCP，
∴CG＝PG，
∴CG＝PG＝GM＝PM＝×4＝2，
设AB＝x，则BG＝x﹣2，
在Rt△ABG中，∠BAG＝30°，
∴AG＝2BG＝2x﹣4，
由勾股定理得：AG2＝AB2+BG2，
即：（2x﹣4）2＝x2+（x﹣2）2，
解得：x＝3+或x＝3﹣（不合题意舍去），
∴AB的长为：3+．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明△ADP≌△CDP是解题的关键，属于中考常考题型．
植树数量（单位：本）
1
2
3
4
5
人数（单位：人）
7
14
6
2
1