2021-2022学年广东省东莞市东城中学、东城实验中学、粤华中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省东莞市东城中学、东城实验中学、粤华中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图，在▱中，是边的中点，平分若，则▱的周长是

A.  B.  C.  D.

4. 二次根式有意义，则满足的条件是

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中，其逆命题是真命题的是

A. 若，，则 B. 若，则
C. 矩形对角线相等 D. 平行四边形的对角线互相平分

6. 如图，要使▱成为矩形，需添加的条件是

A.
B.
C.
D.

7. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 已知直角三角形的两边长为和，则它的斜边长是

A.  B.  C.  D. 或

9. 如图，的两直角边分别为，，以的斜边为一直角边，另一直角边为画第二个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长尾画第三个；，以此类推，第个直角三角形的斜边长是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，菱形的周长为，，点是对角线上一动点，是的中点，则的最小值是

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共7小题，共28分）

11. 化简______．
12. 如图，在数轴上找出表示的点，过点作，在上取点，且，以为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数值为______．
     

13. 如图，在中，，、、分别是、、的中点，，则的长度为______．
    
    
    
     

14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
15. 若，则______．
16. 如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则______．
    
     

17. 如图，四边形中，，对角线，相交于点，于点，于点，连接，，若，则下列结论：；；图中共有四对全等三角形；四边形是平行四边形；其中正确结论的是______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

四．解答题（本题共7小题，共54分）

19. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为，点，，为网格的交点．
    判断的形状，并说明理由；
    求边上的高．
    
    
     

20. 已知：如图，在平行四边形中，点、在上，且四边形也是平行四边形．
    求证：．

21. 已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图是某施工现场图，据此构造出了如图所示的数学模型，已知，，三点在同一水平线上，，，，米．
    
    求点到的距离；
    求线段的长度．

23. 如图，在▱中，点为中点，连接交的延长线于点，连接、求证：四边形为平行四边形．

24. 已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若．
    求证：四边形是正方形．
    是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：．

25. 如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点不与点重合，连接并延长交的延长线于点，连接、．
    求证：四边形是平行四边形；
    当时，求证：四边形是矩形；
    填空：当的值为______时，四边形是菱形．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】
 

【解析】解：为平行四边形，
，，
又平分，，
故为等腰三角形，
，可知，
▱的周长．
故选：．
因为为平行四边形，故AD，，又平分，，故为等腰三角形，，可知，继而可求出▱的周长．
此题考查平行四边形的性质，属于基础题，关键是判断出为等腰三角形，要求我们熟练掌握平行四边形及平行线的性质．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得，．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、若，，则，逆命题是假命题，例如，，，，推不出，本选项不符合题意．
B、若，则，逆命题是假命题，例如，时，二次根式没有意义，本选项不符合题意．
C、矩形对角线相等，逆命题是假命题，对角线相等的四边形，不一定是矩形例如等腰梯形对角线相等，本选项不符合题意．
D、平行四边形的对角线互相平分，逆命题是真命题，本选项符合题意，
故选：．
根据矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，有理数的乘法法则，二次根式的性质一一判断即可．
本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，有理数的乘法法则，二次根式的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，邻边相等，可判定平行四边形是菱形，不符合题意；
B、一内角等于，可判断平行四边形成为矩形，符合题意；
C、对角线互相垂直，可判定平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线平分对角，可判断平行四边形成为菱形，不符合题意；
故选：．
根据一个角是的平行四边形是矩形进行选择即可．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟记矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可．
此题主要考查了二次根式的加减以及乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理可得：斜边，
故选：．
直接利用勾股定理求斜边长即可．
本题考查了勾股定理的运用．本题比较简单，解题的关键是熟记勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
依此类推，第个直角三角形的斜边长为．
故选：．
在直角三角形中，利用勾股定理求出各自的斜边，归纳总结得到第个直角三角形的斜边上即可
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接，即为所求．

连接，
，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
点为的中点，
，
菱形的周长为，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求．
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减，主要考查学生的计算能力，题目比较典型，难度不大．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：，
故弧与数轴的交点表示的数值为．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确得出的长是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：、分别是、的中点，
，，
，，
，
，
，是的中点，
，
故答案为．
利用三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由数轴可知：，
则，
原式，
故答案为：．
根据数轴得到，根据二次根式的性质、合并同类项法则计算，得到答案．
本题考查的是实数与数轴、二次根式的化简，根据数轴得出的范围是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，，
解得，．
把，代入代数式得：．
故应填．
首先根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设，则．
在直角三角形中，则．
在直角三角形中：．
即：．
解得：．
将沿进行翻折，使点刚好落在上，则则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．
根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
，
在和中，，
≌，
，故正确；
于点，于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，故正确；
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
由以上可得出：≌，≌，≌，≌，≌，≌，≌等，故错误；
正确的有个，
故答案为：．
根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识；得出≌是解题关键．
 

18.【答案】解：原式．
 

【解析】无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．注意：表示的算术平方根．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
 

19.【答案】解：为直角三角形，
理由：由图可知，
，，，
，
是直角三角形；
设边上的高为，
由知，，，，是直角三角形，
，
即，
解得，，
即边上的高为．
 

【解析】根据题意，可以分别求得、、的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断的形状；
根据等积法，可以求得边上的高．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：连接，交于点，

四边形和四边形都是平行四边形，
，，
．
 

【解析】由平行四边形的性质可得，，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式


．
 

【解析】先提公因式，再将，分别代入即可求解．
本题考查了二次根式的化简求值，先提公因式再代入是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作于点，
，
，米，
米
点到的距离是米；
，
，
，，
，，
，
，
米，
在中，，米，
，
米，
由勾股定理得：米，
答：线段的长度是米．
 

【解析】过点作于点，在中，根据含度的直角三角形的性质即可求出的长度；
由角平分线的性质可求出，在中，由含度的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理即可求出．
本题主要考查了含度直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，并求出的长度是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：点为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据证明与全等．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
四边形是正方形；
证明：四边形是正方形，
，，，，
，，
，垂足为，
，，
，
，
在和中，
≌，
．
 

【解析】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
由菱形的性质得出，，，得出，证出，求出，即可得出结论；
由正方形的性质得出，，，，得出，，证出，证明≌，即可得出结论．
 

25.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，，
又点是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
四边形是菱形，
，
，
又，，
是等边三角形，
，
，
，
平行四边形是矩形；
．
 

【解析】解析：见答案；
见答案；
当的值为时，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
平行四边形是菱形．
故答案为：．
根据菱形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，根据中点的定义求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
可证是等边三角形，则即可证明；
由，，得是等边三角形，则即可证明．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．