2022-2023学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若式子 x−1有意义，则x的值可以为( )
A. 4B. −4C. −1D. 0
2. 五边形的内角和为( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
3. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. −3x=0B. 1x2+1x=0
C. x3+x2=1D. x2+2x=2x2−1
4. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是(2,1)，则点B的坐标是( )
A. (−2,−1)
B. (−2,1)
C. (−1,2)
D. (1,2)
5. 已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB//CD；②AB=CD；③BC//AD；④BC=AD.从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
6. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中( )
A. 有一个内角小于60°B. 有一个内角大于60°
C. 每一个内角都小于60°D. 每一个内角都大于60°
7. 杭州市之江实验中学七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是( )
A. 平均年龄为13岁，方差改变B. 平均年龄为15岁，方差改变
C. 平均年龄为15岁，方差不变D. 平均年龄为13岁，方差不变
8. 如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m.若B端沿地面OB方向外0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移( )
A. 小于0.5m
B. 等于0.5m
C. 大于0.5m
D. 不确定
9. 已知点M是平行四边形ABCD内一点(不含边界)，设∠MAD=θ1，∠MBA=θ2，∠MCB=θ3，∠MDC=θ4.若∠AMB=110°，∠CMD=90°，∠BCD=60°.则( )
A. θ1+θ4−θ2−θ3=10°B. θ2+θ4−θ1−θ3=30°
C. θ1+θ4−θ2−θ3=30°D. θ2+θ4−θ1−θ3=40°
10. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法．
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2
其中正确的( )
A. 只有①②B. 只有①②④C. ①②③④D. 只有①②③
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 当x=−1时，二次根式 3−x的值是____．
12. 在一分钟跳绳测试中，甲、乙两班的平均成绩都为182个，方差S甲2=6.3，S乙2=5.5，成绩更为稳定的班级是______ .(填“甲”或“乙”)
13. 某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，则x= ______ (用百分数表示)．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20，BD=12，E，F分别是线段OD，OA的中点，则EF的长为______ ．
15. 若关于x的一元二次方程(a+3)x2−4x+a2−9=0有一个根为0，则a的值为______ ．
16. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°.设ABBC=k(0三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 2× 6+ 3；
(2)(1− 2)(2− 2).
18. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−6x=−1；
(2)x(2x−1)=2(2x−1)．
19. (本小题8.0分)
4月23日是世界读书日.首届全民阅读大会倡议：“推动全民阅读建设书香中国”.某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从学校八、九年级各随机抽取10名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：八年级：60、110、146、100、70、81、120、8、20、81，九年级学生阅读时间在B：80≤x<120的情况如下：92、104、118分段整理样本数据如下：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)抽取八年级这10名学生阅读时间的众数是 ；九年级这10名学生阅读时间的中位数是 ；
(2)求抽取八年级这10名学生阅读时间的平均数；
(3)如果该校九年级有学生840名，估计阅读时间在“A：120≤x<160”的学生有多少名？
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.设BC=a，AC=b；
(1)线段AD的长度是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗？说明理由．
(2)若点E是线段AC的中点，求ab的值．
21. (本小题10.0分)
如图，已知AC=AE，BC=BE，BC//AD，CD⊥CE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AD=CD=5，AC=6，求CE的长．
22. (本小题12.0分)
有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
(1)用含有x的代数式表示y．
(2)如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
23. (本小题12.0分)
平行四边形ABCD中，点C关于AD的对称点为E，连接DE，BE，BE交AD于点F．
(1)如图1，若∠ADC=90°，试说明点F为BE的中点；
(2)如图2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．
①试判断点F是否为BE的中点？并说明理由；
②若∠ABC=45°，延长BA，DE交于点H，求DFBH的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：五边形的内角和是(5−2)×180°=540°.故选B．
n边形的内角和是180°(n−2)，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3.【答案】D
【解析】解：A.方程−3x=0是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程1x2+1x=0是分式方程，选项B不符合题意；
C.方程x3+x2=1是一元三次方程，选项C不符合题意；
D.方程x2+2x=2x2−1是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为(2,1)，
∴点B的坐标为(−2,−1)，
故选：A．
由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，由关于原点对称的点的坐标特征得出点B的坐标是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：依题意得有四种组合方式：
(1)①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
(2)②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
(3)①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．
故选：C．
根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：(1)两组对边平行①③；(2)两组对边相等②④；(3)一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．
此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】C
【解析】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为15岁，方差不变．
故选：C．
根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为15岁，方差不变．
本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠O=90°，
∴△AOB和△COD都是直角三角形，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
AO= AB2−OB2= 52−32=4，
又OD=OB+BD=3+0.5=3.5，CD=AB=5，
在Rt△COD中，由勾股定理得，
OC= CD2−OD2= 52−3.52= 512，
∴AC=AO−OC=4− 512，
∵4− 512<0.5，
∴A端下移小于0.5米，
故选A．
由勾股定理先求出AO的长，再算出OD的长，因为竹竿长不变，所以CD=AB=5米，由勾股定理求出OC的长，则AC=AO−OC得到答案．
本题考查了勾股定理的实际应用，抓住竹竿的长不变，在不同的直角三角形中分别利用勾股定理计算是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAP=60°−θ1，∠DCP=60°−θ3，
∴△ABP中，60°−θ1+θ2+110°=180°，即θ2−θ1=10°①，
△DCP中，60°−θ3+θ4+90°=180°，即θ4−θ3=30°②，
由②+①，可得(θ4−θ3)+(θ2−θ1)=40°，
即θ2+θ4−θ1−θ3=40°，
故选：D．
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2−θ1=10°，θ4−θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4−θ1−θ3=40°．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2−4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=0−4ac>0
∴−4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式
Δ=b2−4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
x0=−b+ b2−4ac2a或x0=−b− b2−4ac2a
∴2ax0+b= b2−4ac或2ax0+b=− b2−4ac
∴b2−4ac=(2ax0+b)2
故④正确．
故选：B．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查二次根式的化简求值，比较简单．把x=−1代入二次根式 3−x即可．
【解答】
解：当x=−1时， 3−x= 3+1=2．
故答案为2．
12.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=6.3，S乙2=5.5，
∴S甲2>S乙2，
∴成绩更为稳定的班级是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，据此即可判断．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】30%
【解析】解：根据题意得：100(1+x)2=169，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)，
∴x的值为30%．
故答案为：30%．
利用2023年的新注册用户数=2021年的新注册用户数×(1+新注册用户数的年平均增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及百分数的互化，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA=90°，AC=20，BD=12，
∴AO=CO=10，BO=DO=6，
故AD= AO2−DO2= 102−62=8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF//AD，EF=12AD，
则EF的长为：4．
故答案为：4．
首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO.DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出EF的长．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出AD的长是解题关键．
15.【答案】3
【解析】解：根据题意，将x=0代入方程可得a2−9=0，
解得：a=3或a=−3，
∵a+3≠0，即a≠−3，
∴a=3．
故答案为：3．
将x=0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．
16.【答案】 3 n+k=2
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边，∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD//BC，
∴∠BAD=180°−∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD=60°，
∴∠BEA=180°−∠ABE−∠BAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=CE，
若ABBC=k=12，AC= 3，
则BC=2AB，
∴CE=BE=AB=AE，
∴∠CAE=∠ACE，
∵∠BEA=∠CAE+∠ACE=60°，
∴∠CAE=∠ACE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°，
设AB=x，则BC=2x，
在Rt△ABC中，AC= 3，AB2+AC2=BC2，
∴x2+( 3)2=(2x)2，
解得：x=1或−1(舍去)，
∴AB=1，AC=2，
∴S▱ABCD=AB⋅AC=1× 3= 3；
∵AB=BE，ABBC=k，
∴BEBC=k，
∴S△BOES△BOC=k，
∴S△BOE=kS△BOC，
∴S△COE=S△BOC−S△BOE=S△BOC−kS△BOC=(1−k)S△BOC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△AOD=S△BOC=S△COD，
∵S四边形OECDS△AOD=n，
∴S四边形OECD=nS△AOD，
∴S四边形OECD=nS△BOC，
∴S△COE=S四边形OECD−S△COD=nS△BOC−S△BOC=(n−1)S△BOC，
∴(1−k)S△BOC=(n−1)S△BOC，
∴1−k=n−1，
∴n+k=2．
故答案为： 3；n+k=2．
根据平行四边的性质可得∠ADC=∠ABC=60°，AD//BC，进而得到∠BAD=120°，由角平分线的性质可得∠BAE=∠DAE，以此得到△ABE为等边三角形，当ABBC=k=12，AC= 3，易得CE=BE=AB=AE，根据等边对等角得∠CAE=∠ACE，根据三角形外角性质可求出∠CAE=∠ACE=30°，进而得到∠BAC=90°，设AB=x，则BC=2x，根据勾股定理求得AB=1，则S▱ABCD=AB⋅AC；由ABBC=k可得BEBC=k，进而得到S△BOES△BOC=k，于是S△COE=S△BOC−S△BOE=(1−k)S△BOC，由平行四边的性质可得S△AOD=S△BOC=S△COD，由S四边形OECDS△AOD=n可得S四边形OECD=nS△BOC，则S△COE=S四边形OECD−S△COD=(n−1)S△BOC，于是(1−k)S△BOC=(n−1)S△BOC，以此即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
17.【答案】解：(1) 2× 6+ 3
=2 3+ 3
=3 3；
(2)(1− 2)(2− 2)
=2− 2−2 2+2
=4−3 2．
【解析】(1)先算二次根式的乘法，再算二次根式的加法即可；
(2)利用二次根式的乘法的法则进行运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)∵x2−6x=−1，
∴x2−6x+9=−1+9，
∴(x−3)2=8，
∴x−3=±2 2，
解得x1=3−2 2，x2=3+2 2；
(2)∵x(2x−1)=2(2x−1)，
∴(2x−1)(x−2)=0，
解得x1=12，x2=2．
【解析】(1)根据配方法即可求出答案；
(2)根据因式分解法即可求出答案．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
19.【答案】81 98
【解析】解：(1)抽取八年级这10名学生阅读时间的众数是81；
九年级这10名学生阅读时间的中位数是92+1042=98．
故答案为：81；98；
(2)抽取八年级这10名学生阅读时间的平均数为：110×(60+110+146+100+70+81+120+8+20+81)=79.6；
(3)840×310=252(名)，
答：估计阅读时间在“A：120≤x<160”的学生大约有252名．
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据算术平均数的计算方法解答即可；
(3)用样本估计总体，即用840乘样本中A组所占比例解答即可．
本题考查中位数、众数、算术平均数，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20.【答案】解：(1)由勾股定理得，AB= AC2+BC2= a2+b2，
∴AD= a2+b2−a，
解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a± 4a2+4b22=± a2+b2−a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；
(2)∵AD=AE，
∴AE=EC=b2，
由勾股定理得，a2+b2=(12b+a)2，
整理得，ab=34，
【解析】(1)根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；
(2)根据勾股定理列出算式，计算即可．
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AC=AE，BC=BE，
∴AB垂直平分CE，
∴AB⊥CE，
∵CD⊥CE，
∴AB//CD，
∵AC=AE，BC=BE，AB=AB，
∴△AEB≌△ACB(SSS)，
∴∠AEB=∠ACB，
∵∠AEB=∠CAD，
∴∠ACB=∠CAD，
∴BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：过A作AH⊥CD于H，
∴AH//CF，
∴四边形AHCF是矩形，
∴CF=AH，
∴AC2−CH2=AD2−DH2，
∵AD=CD=5，AC=6，
∴52−DH2=62−(5−DH)2，
∴DH=1.4，
∴AH= AD2−DH2= 52−1．42=4.8，
∴CF=4.8，
由(1)△AEB≌△ACB，
∴AE=AC，∠EAF=∠CAF，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFC(SAS)，
∴EF=CF，
∴CE=2CF，
∴CE=9.6．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB⊥CE，推出AB//CD，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ACB，根据平行四边形的判定即可得到结论；
(2)过A作AH⊥CD于H，根据勾股定理和矩形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：
y=x(30−3x)，即y=−3x2+30x．
(2)当y=63时，−3x2+30x=63．
解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30−3x=9<10，符合题意；
当x=3时，30−3x=21>10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
(3)不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：
如果y=72，那么−3x2+30x=72，
整理，得x2−10x−24=0，
解此方程得x1=12>，x2=−2(不合题意舍去)，
当x=12时，30−3x=−6，不合题意舍去；
故不能围成面积为72m2的花圃．
【解析】(1)利用矩形面积公式建立函数关系式；
(2)把y=63代入函数解析式，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制；
(3)把y=72代入函数解析式，求自变量的值，然后检验即可得出结论．
此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题目的条件，得出y与x的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵C，E关于AD对称，
∴DE=CD，EC⊥AD，
∴AB=DE，
∵AD⊥CD，
∴C，D，E共线，
∴AB//CE，
∴∠A=∠ADE，
∵AB=DE，∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△DFE(AAS)，
∴BF=EF，
∴点F为BE的中点；
(2)①点F是BE的中点．理由如下：
如图2中，连接CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵E，C关于AD对称，
∴FE=FC，FO⊥EC，
∴∠EFD=∠DFC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∴BF=EF．
②如图3中，设OD=a，OF=b．

∵∠ABC=45°，AD//BC，
∴∠HAD=∠ABC=45°，
∵E，C关于AD对称，
∴∠CDA=∠ADH=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∵∠DOC=90°，∠ODC=45°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴AB=CD= 2OD= 2a，
∵EF=FB，EO=OC，
∴BC=AD=2b，
∴AH= 2b，
∴BH= 2a+ 2b= 2(a+b)，DF=a+b，
∴BH= 2DF，
∴DFBH= 22．
【解析】(1)只要证明△AFB≌△DFE(AAS)即可解决问题；
(2)①点F是BE的中点．只要证明∠FBC=∠FCB即可解决问题；
②如图3中，设OD=a，OF=b.想办法用a，b表示BH，DF即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
课外阅读时间x(min)
D：0≤x<40
C：40≤x<80
B：80≤x<120
A：120≤x<160
八年级
1
2
5
2
九年级
2
2
3
3