2022-2023学年浙江省杭州市翠苑中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市翠苑中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了仔超选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是地对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（）□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
3．（3分）一组数据4、5，6、a、b的平均数为5，则这组数据的中位数为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
4．（3分）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
5．（3分）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
6．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（ ）
A．a＜0B．a＝0C．a≠0D．a≤0
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．BO＝DOB．∠ABD＝∠ADBC．AC⊥BDD．AB＝CD
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
9．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1B．y≥﹣1C．y≤1D．y＜1
二、认真填一填。（本题有6个小题，每个小题4分，共24分）
11．（4分）若有意义，则m的取值是 ．
12．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和多180°，要么这个多边形的边数是 ．
13．（4分）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别为 ．
14．（4分）用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为 ．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E为BC边上的一点，将△ABE沿AE折叠至△AB′E（点B的对应点为点B′）．
（1）如图1，当点B落在AD边上时，则CE的长为 ；
（2）如图2，连接B′C，B′D，当△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形时，BE的长为 ．
三、全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣7x＝﹣2．
19．（9分）杭州市青少年宫在七、八年货举行了“杭州亚运会”知识竞赛，从七，八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90＜x＜95；D.95≤r≤100．
七年级10名学生的成绩：96、86、96、86、99、96、90、100、89、82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94、90、92．
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）若八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x＞90）的八年级学生人数是多少？
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+6m＝0．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为a，b．且8，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
21．（10分）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
22．（9分）去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10月份共卖出400套，12月份共卖出576套．
（1）求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
（2）若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
23．（12分）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，DE＝AD．
①连接BG，若BG＝，求AF的长；
②设AF＝m，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式S＝3﹣m．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EFGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省杭州市翠苑中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔超选一选。（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是地对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
D、该图形既是地对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（）□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（）+＝﹣﹣1+＝﹣1，故A符合题意；
B、（）﹣＝﹣﹣1﹣＝﹣2﹣1，故B不符合题意；
C、（）×＝﹣×﹣1×＝﹣2﹣，故C不符合题意；
D、（）÷＝﹣÷﹣1÷＝﹣1﹣，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）一组数据4、5，6、a、b的平均数为5，则这组数据的中位数为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【分析】根据平均数的定义得出a+b＝10，再依据中位数的定义判断即可．
【解答】解：由题意知4+5+6+a+b＝25，
∴a+b＝10，
由于不能确定a、b的具体数值，
所以这组数据的中位数无法确定，
故选：D．
4．（3分）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
5．（3分）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
【分析】由坡面AB的坡度为＝＝1：，可得AC＝5m，再根据勾股定理可得AB＝＝10m．
【解答】解：∵坡面AB的坡度为＝＝1：，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝10m．
故选：A．
6．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（ ）
A．a＜0B．a＝0C．a≠0D．a≤0
【分析】根据命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，可得假设内容．
【解答】解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，
故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”，
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．BO＝DOB．∠ABD＝∠ADBC．AC⊥BDD．AB＝CD
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，理由如下：
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定t值．
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（ ）
A．y＞﹣1B．y≥﹣1C．y≤1D．y＜1
【分析】先根据Δ＝1﹣m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2﹣4b+m＝0，整体代入，可得y的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴b2﹣b+m＝0，
∴4b2﹣4b+m＝0，
∴y＝4b2﹣4b﹣3m+3＝3﹣4m，
∴m＝，
∴＜1，
∴y＞﹣1，
故选：A．
二、认真填一填。（本题有6个小题，每个小题4分，共24分）
11．（4分）若有意义，则m的取值是 m≤4 ．
【分析】二次根式的被开方数4﹣m是非负数．
【解答】解：根据题意，得
4﹣m≥0，
解得m≤4．
故答案为：m≤4．
12．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和多180°，要么这个多边形的边数是 5 ．
【分析】根据题意列出方程（n﹣2）×180°＝360°+180°求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝360°+180°，
解得n＝5，
故答案为：5．
13．（4分）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别为 3，4 ．
【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知（a+b+c）＝5，据此可得出（a﹣2+b﹣2+c﹣2）的值；再由方差为4可得出数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴（a+b+c）＝5，
∴（a﹣2+b﹣2+c﹣2）＝（a+b+c）﹣2＝5﹣2＝3，
∴数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，
∴[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝4，
∴a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差＝[（a﹣2﹣3）2+（b﹣2﹣3）2+（c﹣2﹣3）2]＝[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝4．
故答案为：3，4．
14．（4分）用一条长60cm的绳子围成一个面积为200cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为 x（﹣x）＝150 ．
【分析】设长方形的长为x cm，则宽为（﹣x）cm，根据围成长方形的面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设长方形的长为x cm，则宽为（﹣x）cm，
依题意得：x（﹣x）＝150．
故答案为：x（﹣x）＝150．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间t为 4或5或 时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
【分析】分三种情况讨论，由线段相等列出等式，即可求解．
【解答】解：∵点P以与秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D动：点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴AP＝t，PD＝6﹣t，CQ＝3t，BQ＝16﹣3t，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ或PD＝CQ或PD＝BQ时，P、Q与四边形ABCD中任意两个顶点构成平行四边形．
当AP＝BQ时，则t＝16﹣3t，
解得：t＝4，
当PD＝CQ时，则6﹣t＝3t，
解得：t＝，
当PD＝BQ时，则6﹣t＝16﹣3t，
解得：t＝5，
综上所述：t的值为4或5或，
故答案为：4或5或．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E为BC边上的一点，将△ABE沿AE折叠至△AB′E（点B的对应点为点B′）．
（1）如图1，当点B落在AD边上时，则CE的长为 3 ；
（2）如图2，连接B′C，B′D，当△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形时，BE的长为 或 ．
【分析】（1）根据题意可得AB＝EB＝6，进而求出CE；
（2）分DB'＝CB'和DB'＝DC两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠至△AB′E，
∴∠BAE＝∠B'AE＝45°，
∴∠AEB＝45°＝∠BAE，
∴BE＝AB＝6，
∵BC＝9，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3，
故答案为：3；
（2）当DB'＝CB'时，
如图，过点B'作B'M⊥DC于点M，B'G⊥AD于点G，
∴四边形DMB'G是矩形，DM＝MC＝CD＝3，
根据折叠的性质，得AB＝AB'＝CD，∠BAE＝∠B'AE，
∴B'G＝DM＝MC＝AB'＝3，
∴∠GAB'＝30°，
∴∠BAE＝∠B'AE＝∠GAB'＝30°，
∴BE＝ABtan∠BAE＝6×＝2；
当DB'＝DC时，
如图，过点B'作B'M⊥AD于点M，延长MB'交BC于点N，
∴DB'＝DC＝AB＝AB'＝6，
∴直线B'M是矩形的对称轴，
∴AM＝DM＝BN＝CN＝BC＝，四边形ABNM是矩形，
∴B'M＝＝＝，AB＝MN＝6，
∴B'N＝MN﹣B'M＝6﹣，
设BE＝EB'＝x，则EN＝BN﹣BE＝﹣x，
∴（﹣x）2+（6﹣）2＝x2，
解得x＝8﹣2．
故答案为：或．
三、全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝3；
（2）
＝3+2+1﹣2﹣3
＝4﹣3．
18．（8分）解一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣7x＝﹣2．
【分析】（1）根据直接开平方法，x＝±，来进行计算即可；
（2）根据公式法，x＝，来进行计算即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝±3，
即：2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
（2）∵a＝2，b＝﹣7，c＝2，
∴x＝，
＝，
＝，
则：x1＝，x2＝．
19．（9分）杭州市青少年宫在七、八年货举行了“杭州亚运会”知识竞赛，从七，八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90＜x＜95；D.95≤r≤100．
七年级10名学生的成绩：96、86、96、86、99、96、90、100、89、82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94、90、92．
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 40 ，b＝ 93 ，c＝ 96 ；
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）若八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x＞90）的八年级学生人数是多少？
【分析】（1）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得a的值，然后根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数对应的百分比即可．
【解答】解：（1）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为×100%＝30%，
∴1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
将七年级成绩重新排列为：82、86、86、89、90、96、96、96、99、100，
则这组数据的中位数b＝＝93，众数c＝96，
故答案为：40；93；96；
（2）七年级成绩更稳定，
七年级成绩的平均数为×（82+86+86+89+90+96+96+96+99+100）＝92（分），
所以其成绩的方差d＝×[（82﹣92）2+2×（86﹣92）2+（89﹣92）2+（90﹣92）2+3×（96﹣92）2+（99﹣92）2+（100﹣92）2]＝34.6，
∵34.6＜50.4，
∴七年级成绩更稳定；
（3）1200×（1﹣20%﹣10%）＝840（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是840人．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+6m＝0．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为a，b．且8，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac＝（m+6）2﹣24m＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2，
∵（m﹣6）2≥0，
∴b2﹣4ac≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：原方程可变为（x﹣m）（x﹣6）＝0，
则方程的两根为x1＝m，x2＝6，
∴直角三角形三边为6，8，m；
①若m为直角三角形的斜边时，则：
62+82＝102，m＝10（舍去负值）；
②若8为直角三角形的斜边时，则：
62+m2＝82，m＝2．
综上所述，m的值为10或2．
21．（10分）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE＝∠FGE，∠EHG＝∠AEG，从而可证明∠FGH＝90°；
（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG．
∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MH∥BD，MH＝．
同理：GF∥BD，GF＝．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH＝＝3，，
由（1）可知：∠FGH＝90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM＝90°．
∴GM＝＝5．
22．（9分）去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10月份共卖出400套，12月份共卖出576套．
（1）求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
（2）若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
【分析】（1）根据增长率问题的数量关系列一元二次方程求解即可；
（2）①用含有m的代数式分别表示甲，乙，丙品牌的收入，再相加即可；②根据总收入为79800元列方程求解即可．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x400（1+x）2＝576，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
∵0.2＝20%，
答：该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率为20%．
（2）①甲品牌收入：100×（200﹣6m）＝（20000﹣600m）元，
乙品牌收入：80×（300﹣4m）＝（24000﹣320m）元，
丙品牌收入：（160﹣m）（200+10m）＝（32000+1400m﹣10m2）元，
∴该服饰公司1月份的总收入为：20000﹣600m+24000﹣320m+32000+1400m﹣10m2＝（﹣10m2+480m+76000）元，
②由题意得：﹣10m2+480m+76000＝79800（m≤30），
解得：m1＝10，m2＝38（舍去），
答：将丙品牌内衣价格下降10元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元．
23．（12分）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，DE＝AD．
①连接BG，若BG＝，求AF的长；
②设AF＝m，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式S＝3﹣m．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EFGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接AC，BD，由E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点可得，EF＝GH＝BD，EH＝FG＝AC，又AC＝BD，得EF＝GH＝EH＝FG，即结论得证；
（2）①过点G作GI⊥AB延长线于I，根据AAS证△GIF≌△EDH，得出GI＝DE＝1，根据勾股定理求出BI，设AF＝x，则BF＝6﹣x，再利用勾股定理求出x即可；
②延长IG交DC延长线于M，由①知△GIF≌△EDH，同理可证△AEF≌△MGH，则菱形的面积＝矩形ADMI的面积﹣△GIF的面积﹣△EDH的面积﹣△AEF的面积﹣△MGH的面积，得出关于m的关系式即可得出m最大时菱形面积最大，当H与C重合时m有最大值，求出此时的m值即可．
【解答】解：（1）连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝GH＝BD，EH＝FG＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝GH＝EH＝FG，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）①如图2，过点G作GI⊥AB延长线于I，
∵EH∥FG，CD∥FI，
∴∠DHE＝∠GFI，
又∵∠I＝∠D＝90°，FG＝EH，
∴△GIF≌△EDH（AAS），
∴GI＝DE＝AD＝1，
∴BI＝＝＝2，
设AF＝x，则BF＝6﹣x，
∵EF＝FG，
∴AF2+AE2＝FI2+IG2，
即x2+（4﹣1）2＝（6﹣x+2）2+12，
解得x＝，
故AF＝；
②如图2，延长IG交DC延长线于M，
∴由已知可得，四边形ADMI是矩形，
由①知△GIF≌△EDH，
同理可证△AEF≌△MGH，
∴菱形的面积＝矩形ADMI的面积﹣△GIF的面积﹣△EDH的面积﹣△AEF的面积﹣△MGH的面积，
∵S△GBF＝FB•GI＝3﹣m，
即（6﹣m）•GI＝3﹣m，
∴GI＝1，
∵AF＝m，AB＝6，AD＝4，DE＝AD，
∴FI＝＝＝＝，
∴S菱形EFGH＝S矩形ADMI﹣2S△AEF﹣2S△FIG＝4×（+m）﹣2××3m﹣2××1×＝3+m，
∴当m取最大值时菱形EFGH面积最大，
∵当H与C重合时EH有最大值，即m取到最大值，
此时AF＝＝＝＝＝2，
S菱形EFGH＝3+m＝18+2，
∴当AF＝2时，菱形EFGH面积最大为18+2．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
d
八年级
92
93
100
50.4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
d
八年级
92
93
100
50.4