浙江省杭州市江干区笕桥实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市江干区笕桥实验中学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下各数是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  用下列哪种方法解方程最合适(    )

A. 配方法 B. 开平方法 C. 因式分解法 D. 公式法

5.  将方程配方后，原方程变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小虎同学对数据，，，，，进行统计分析．发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差

7.  如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  选择用反证法证明“已知：在中，求证：，中至少有一个角不大于”时，应先假设(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  如图，中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，
若是方程甲的解，则也是方程乙的解；
若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么可以取或．
以上说法中正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为______．

12.  若二次根式有意义，则的取值范围为          ．

13.  河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是：，则的长为______．

14.  如图，为▱边上一点，将沿翻折得到，点在上，且，若，则______．

15.  在▱中，，是边上的高，，则的度数为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
选择合适的方法解下列方程：
；
．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、是对角线上两点，且试说明：．

20.  本小题分
近年来网的车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家曾康会司司机月收入进行了描样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：

填空；______，______，______，______．
小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由

21.  本小题分
如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设垂直于墙的边长为．
若围成的花圃面积为时，求的长；
如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
 

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若此方程的一个根是，求方程的另一根；
求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．

23.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．
求证：；
若，，连接；
若，求平行四边的面积；
设，试求与满足的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义判断即可．
本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.

，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.

，故本选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以，
故选：．
由于方程可变形为，所以用直接开平方法解方程最合适．
本题考查了解一元二次方程：根据方程特点选择合适的方法解方程是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
移项后配方，再变形，即可得出选项．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了方差：它描述了数据对平均数的离散程度，也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可．
【解答】
解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为与的平均数，与被涂污数字无关．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，；
又，
≌，
，，
；
；
四边形是平行四边形，故B正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
，
，
≌，
，；
；
；
四边形是平行四边形，故C正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
≌，
，；
；
；
四边形是平行四边形，故D正确；
添加后，不能得出≌，进而得不出四边形是平行四边形，
故选：．
可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反证法，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】
解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
由等腰三角形的判定方法可知是等腰三角形，所以为中点，再由已知条件可得为的中位线，利用中位线的性质即可求出线段的长．
【解答】
解：是其角平分线，于，
是等腰三角形，
，，
，，
，
是中线，
，
为的中位线，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：若是方程甲的解，所以，即，
则方程乙：变为，
解得，
所以也是方程乙的解，故正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙有两相等实数解，故正确；
若方程甲有两个不相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙没有实数解，故不正确；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
得，
，
，
解得，
故不正确；
故选：．
由方程甲有两个不相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
若是方程甲的解，则可得出，根据判别式的意义可对进行判断；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得，可对进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

11.【答案】 

【解析】解：所有内角都是，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为：．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．  

13.【答案】米 

【解析】解：迎水坡的坡比是：，米，
米，
米，
故答案为：米．
先由坡度的定义求出的长，再由勾股定理即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：▱，
，，，
，，
，
，
由折叠得：，，
设，则，在中，由内角和定理得：
，
解得：，
故答案为：．
折叠就有全等形，就有相等的边和角，平行四边形的性质，和等腰三角形的性质，可以把要求的角转化在一个三角形中，由三角形的内角和列方程解得即可．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识，设合适的未知数，将问题转化到一个三角形中，利用内角和定理列方程解答是常用的方法．
 

15.【答案】或 

【解析】解：情形一：当点在线段上时，如图所示，

是边上的高，，
，
，
；
情形二：当点在的延长线上时，如图所示，

是边上的高，，
，
，
．
故答案为：或．
首先求出的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出的度数是解题关键．
 

16.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
即且，解得且，
的取值范围是且． 

【解析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于的不等式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式加减法法则合并同类二次根式即可；
先利用完全平方公式计算，再去括号，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键在于熟练掌握完全平方公式：．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后用直接开平方法解方程；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

19.【答案】证明：在平行四边形中，则，，
在和中，
，
≌，
，
同理，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】通过三角形全等得出与，即四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
 

20.【答案】       

【解析】解：乙公司平均月收入，
乙公司中位数，
甲公司“千元”对应的百分比为，
众数，
方差；
故答案为：；；；；
选甲公司，理由如下：
因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．
利用平均数、中位数、众数、方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数相同，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了平均数、中位数、众数，方差的定义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，掌握定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，
则，
解得：，，
当时，，时，，
墙可利用的最大长度为，舍去．
答：的长为．
不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：，
即，，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃． 

【解析】根据题意列方程，列方程即可得到结论；
根据题意列方程，列方程即可得到结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
 

22.【答案】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
解得，
即方程的另一个根为；
证明：

，
这个一元二次方程一定有两个实数根；
解方程得，，
即，或，，
，，分别是一个直角三角形的三边长，
或，
解方程得，舍去，
解方程得，舍去．
即的值为或． 

【解析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，消去得到，然后解方程即可；
计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和勾股定理．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
；
解：，
，，
，
，
，
，
，
当时，由勾股定理得，，解得，
平行四边的面积；
四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，
设边上的高为，的长为，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据▱中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论；
根据，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边的面积；
根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．