2024年浙江省杭州市保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（4月份）(含答案)

这是一份2024年浙江省杭州市保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（4月份）(含答案)，共32页。试卷主要包含了的相反数是等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是
A．B．C．D．2024
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
3．某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比，下列说法正确的是
A．平均数不发生变化B．中位数不发生变化
C．方差不发生变化D．平均数和中位数都不发生变化
4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则
A．B．C．D．
5．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离为
A．B．C．D．
6．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡速度为每小时3千米，平路速度为每小时4千米，下坡速度为每小时5千米，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟．问：从甲地到乙地全程是多少千米？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数、，已经列出一个方程为，那么另一个方程是
A．B．C．D．
7．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点到地面的距离为29，，，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面，则
A．9B．8C．6D．5
8．将4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则、满足
A．或B．或C．或D．或．
9．如图，二次函数的图象经过点，，点，是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为；②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根为和．其中正确的是
A．①B．①②C．②③D．①④
10．如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为16，，，则的长为
A．B．21C．D．
二．填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)（共6小题）
11．如果，那么 ．
12．分解因式 ．
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为 ．
14．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ．
15．某校积极推行“互动生成的学本课堂”，九年级某学习小组在操作实践过程中发现了一个有趣的问题：将直尺和三角板（三角板足够大，直尺足够长）按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，直尺的左侧边在直线上，在保证直角三角板其中一条直角边始终过点，同时使得直角顶点在直线上滑动，三角板的另一直角边与轴交于点，则的最小值为 ．
16．如图，在，，为边上的一点，将沿翻折，得到△．连接，，若，，则 ，点 到边上的距离为 ．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）（共7小题）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
20．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，
22．如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，过点作，交射线于点，射线交射线于点，设．
（1）当时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的值．
23．（本题12分）已知 和是同一直角坐标系中的两条抛物线。
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点 均有 ，当 时，求自变量的取值范围。
24．如图，在中，是的直径，弦于，点为弦延长线上一点，过点作的切线交AB延长线于点K，切点为，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求 的长．
2024年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意)（共10小题）
1．的相反数是
A．B．C．D．2024
【答案】
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：的相反数是2024，
故选：．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【答案】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比，下列说法正确的是
A．平均数不发生变化
B．中位数不发生变化
C．方差不发生变化
D．平均数和中位数都不发生变化
【答案】
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可求得的度数，结合对顶角相等即可求的度数．
【解答】解：，，
，
，且是的外角，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
5．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，即可求解．
【解答】解：如图，连接，
由题意得，，，
则，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形，涉及到圆的基本知识，有一定的综合性，难度不大．
6．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡速度为每小时3千米，平路速度为每小时4千米，下坡速度为每小时5千米，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟．问：从甲地到乙地全程是多少千米？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数、，已经列出一个方程为，那么另一个方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设甲地到乙地的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合从甲地到乙地需54分钟已经列出一个方程，再根据从乙地到甲地需42分钟，即可得出关于，的另一个二元一次方程．
【解答】解：设甲地到乙地的上坡路长，平路长，
根据题意得：．
故选．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点到地面的距离为29，，，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面，则
A．9B．8C．6D．5
【答案】
【分析】利用三角函数即可解答．
【解答】解：
点到地面的距离为30，
，
，，
，，
在中，
，
又到地面的距离为22，
，
在△中，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，解题的关键是熟练运用三角函数解决问题．
8．将4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则、满足
A．或B．或C．或D．或．
【答案】
【分析】先用、的代数式分别表示，，再根据，建立等式即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
整理，得，
，
或．
故选：．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
9．如图，二次函数的图象经过点，，点，是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为；
②若，则；
③若，则；
④一元二次方程的两个根为和．
其中正确的是
A．①B．①②C．②③D．①④
【答案】
【分析】利用交点式得到，即，利用配方法得到，则根据二次函数的性质可对①进行判断；由于在范围内，而时，有最小值，从而可对②进行判断；根据二次函数的性质有得到点到直线的距离比点到直线的距离大，所以，解不等式可对③进行判断；把代入一元二次方程得，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：设抛物线解析为，
即，
，
而抛物线开口向上，
二次函数的最小值为，所以①正确；
当时，；
当时，，
当时，有最小值，
，，所以②错误；
若，则点到直线的距离比点到直线的距离大，
，
，
解或，所以③错误；
，
一元二次方程化为，
即，
解得，，所以④正确．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为16，，，则的长为
A．B．21C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
【解答】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
，
，
，即，
解得，
在中，．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．
二．填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)（共6小题）
11．如果，那么 ．
【分析】根据比例的性质直接求解即可．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．分解因式 ．
【答案】．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为 ．
【答案】．
【分析】根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可．
【解答】解：正方形被分成9个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是5个小正方形，
所以任意投掷飞镖1次，击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率，理解规概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．
14．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ．
【答案】
【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：、是的切线，点、点是切点，
，，
即，
，
，
，
这段圆曲线的长为，
故选：．
【点评】本题考查切线的性质，弧长的计算，掌握切线垂直于经过切点的半径以及四边形的内角和定理、弧长的计算公式是正确解答的关键．
15．某校积极推行“互动生成的学本课堂”，九年级某学习小组在操作实践过程中发现了一个有趣的问题：将直尺和三角板（三角板足够大，直尺足够长）按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，直尺的左侧边在直线上，在保证直角三角板其中一条直角边始终过点，同时使得直角顶点在直线上滑动，三角板的另一直角边与轴交于点，则的最小值为 3 ．
【答案】3．
【分析】由可知，取得最大值时，取得最小值，过点作的垂线，构造出相似三角形，表示出长即可解决问题．
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
，
，
又，
，
．
令，则，
，
即，
当时，取得最大值为1．
又，
的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查坐标与图形性质，将的最小值转化为的最大值是解题的关键．
16．如图，在，，为边上的一点，将沿翻折，得到△．连接，，若，，则 10 ，点 到边上的距离为 ．
【答案】10
【分析】根据折叠轴对称的性质可得，，，利用相似三角形和，，可求出，的长，进而求出，最后利用三角形的面积即可求出答案．
【解答】解：过点，垂足为，连接，
由折叠得，，，，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，，
在△中，由勾股定理得，
，
，
解得，
，
在中，
，
设点到的距离为，由△的面积得，
，
即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查折叠轴对称，相似三角形，解直角三角形，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的前提，求出、的长是得出正确答案的关键．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）（共7小题）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1），（2）．
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可；
（2）根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
【解答】解：（1），
（2）．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200；（2）；（3）．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
（2）用乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查的人数为（人，
故答案为：200；
（2）“支付宝”的人数为（人，
所以表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）将微信记为，支付宝记为，银行卡记为，列表格如下：
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则（两人恰好选择同一种支付方式）．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
19．如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：平分，
，
，，
，
是边上的中线，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
20．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为．
【分析】（1）直接把，两点的坐标代入一次函数求出，的值，进而得出点坐标，代入双曲线求出的值即可；
（2）设直线交轴于，交轴于，求出，点的坐标，设点的坐标为，根据得出的值，进而得出点坐标．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过，两点，
，
解得，
，
，．
将代入，
解得．
反比例函数的解析式为；
（2）设直线交轴于，交轴于，
当时，，
，
当时，，解得，
，
设点的坐标为．
，，
．
的面积为3，
，解得，
．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键．
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，
【分析】（1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长为；
（2）过作于，过作于，中，求出，中，，故，即点到直线的距离为，
【解答】解：，，
，
，
，
，
点转动到点的路径长为；
（2）过作于，过作于，如图：
中，，
中，，
，
，
点到直线的距离约为，
答：点到直线的距离约为．
【点评】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
22．如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，过点作，交射线于点，射线交射线于点，设．
（1）当时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）把的值代入第一问的解析式就可以求出的值，再利用三角形相似就可以求出的值，进而判断即可．
（2）由条件可以证明，可以得到，再分情况讨论，从而求出的值．
【解答】解：（1）如图1，当时，，
，
四边形是矩形，
平行于．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）如图2，根据，可得：，
，，
，
又，
于是：①或②
解得：，或，．
或7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．
23．（本题12分）已知 和是同一直角坐标系中的两条抛物线。
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点 均有 ，当 时，求自变量的取值范围。
【答案】（1） ；
（2）2个；
（3） ．
【解答】（1）当时
∴顶点坐标为
（2）有2个交点，理由如下：
令 得

∵
∴
∴
∴当
当
∴过 ，共有2个交点
（3）∵当
又抛物线上的任意一点 均有
∴可知 开口向下， ，对称轴
∴
∴ 得
24．如图，在中，是的直径，弦于，点为弦延长线上一点，过点作的切线交AB延长线于点K，切点为，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求 的长．
【答案】（1）答案见解析；
（2），理由见解析；
（3）．
【分析】（1）连接，根据切线性质以及，可以推出，根据等角对等边得到；
（2），理由为：连接，根据和，可以推出，又利用同弧所对的圆周角相等得到，可以推知，从而得到；
（3）连接，根据勾股定理和垂径定理可以求解圆的半径，再根据三角函数求出KG．
【解答】（1）证明：如图，连接，
为切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），理由为：
如图，连接，
，即，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图，连接
，
，
，则，，
设半径为，
在中，，，，
由勾股定理可得：，解得，
∵
∴
∴
即
∴
∴
【点评】本题主要考查了切线性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/15 15:01:12；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303