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2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）
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这是一份2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份），共23页。
2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）2022年9月10日至25日第19届亚运会将在杭州举办，可容纳8万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为210000平方米，其中数字210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，则∠3的度数是（ ）
A．56° B．60° C．70° D．72°
4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
5．（3分）已知﹣x＞2，则下列不等式正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
6．（3分）方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（ ）
A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
7．（3分）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B纵坐标为﹣1，则k1，k2的值是（ ）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝ ．
12．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则此扇形的面积是 ．（结果保留π）
13．（4分）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ．
14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ．
15．（4分）若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于圆O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）当∠ABC＝60°时，线段BC长为 .（用字母a表示）
（2）设△ABC的面积为S，则S的最大值为 ．（用字母a表示）
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）化简，圆圆的解答过程如下：
解：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
18．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）扇形统计图中，求厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
20．（8分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q．
（1）求证：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圆的面积．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足为G，过点C作CH∥AF，分别交DE，AD于点H，P点．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如图2，连接CG，若tanα＝k，设△PHD和△CGH的面积分别为S1，S2．请用含k的代数式表示的值．
2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】运用相反数定义—实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：由相反数的定义可得，﹣的相反数是，
故选：A．
【点评】此题考查了实数相反数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．（3分）2022年9月10日至25日第19届亚运会将在杭州举办，可容纳8万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为210000平方米，其中数字210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：210000＝2.1×105，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，则∠3的度数是（ ）
A．56° B．60° C．70° D．72°
【分析】由平行线的性质可得∠4＝∠2，∠1＝∠ABC，从而可求∠3．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝112°，∠2＝42°，
∴∠4＝∠2＝42°，∠ABC＝∠1＝112°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．（3分）已知﹣x＞2，则下列不等式正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由﹣x＞2，可得x＜﹣2．
【解答】解：∵﹣x＞2，
∴x＜﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（ ）
A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
【分析】由购买数量间的关系，可得出方方同学购买了（20﹣x）支彩色水笔，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵方方同学购买笔记本和彩色水笔共20件，且购买了x本笔记本，
∴购买了（20﹣x）支彩色水笔．
根据题意得：2（20﹣x）+4x＝50．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B纵坐标为﹣1，则k1，k2的值是（ ）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
【分析】根据正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，可以得出关于k1和k2的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的．
【解答】∵正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，
∴，
化简，得，
解方程组得或，
∵点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，
∴k1＜0，k2＜0，
∴，
故选项C正确；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出k1和k2的关系．
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和x1的取值范围，再根据当自变量为x1−2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，即可得到y2，y和y3大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
∴该函数图象开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），
∵当自变量为x1时，其函数值y1大于零，
∴1＜x1＜3，
∴﹣1＜x1﹣2＜1，3＜x1+2＞5，
∴横坐标为x1﹣2的点在（1，0）左侧，此点对应的纵坐标小于零，
横坐标为x1+2的点在（3，0）右侧，此点对应的纵坐标小于零，
∵当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，
∴y2＜0，y3＜0，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
【分析】作DH⊥BC于H，如图，根据旋转的性质得DE＝DC，则利用等腰三角形的性质得EH＝CH，由可得BE＝2yEH＝2yCH，再根据平行线分线段成比例，由DH∥AC得到，所以x＝，然后用等线段代换后约分即可．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处，
∴DE＝DC，
∴EH＝CH，
∵，即BE＝yEC，
∴BE＝2yEH＝2yCH，
∵∠C＝90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴，即x＝＝＝2y+1．即x﹣2y＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
【解答】解：tan60°的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则此扇形的面积是 15π ．（结果保留π）
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：扇形的面积＝＝15π，
故答案为：15π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．
13．（4分）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则P＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ 50° ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AED＝100°，
∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
15．（4分）若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围 x≤﹣9或x＞0 ．
【分析】首先画出图形，进而利用函数图象得出x的取值范围．
【解答】解：如图所示：
∵反比例函数y＝﹣，当y≤，
∴y＝时，则x＝﹣9，
故y≤时，x≤﹣9或x＞0．
故答案为：x≤﹣9或x＞0．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确画出函数图象是解题关键．
16．（4分）如图，△ABC内接于圆O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）当∠ABC＝60°时，线段BC长为 a .（用字母a表示）
（2）设△ABC的面积为S，则S的最大值为 a2 ．（用字母a表示）
【分析】（1）如图①，作AH⊥BC于H，由直角三角形的性质求出BH，AH的长，即可解决问题；
（2）当C是中点时，△ACM的面积最大，连接OA，OB，CO，延长CO交AB于M，可以证明CM⊥AB，由直角三角形的性质求出OM的长，OA的长得到CM的长，即可求出S的最大值．
【解答】解：（1）如图①，作AH⊥BC于H，
∵∠ABC＝60°，
∴BH＝AB＝a，
∴AH＝BH＝a，
∵∠BCA＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝a，
∴BC＝CH+BH＝a．
故答案为：a．
（2）如图②，当C是中点时，△ACM的面积最大，
连接OA，OB，CO，延长CO交AB于M，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴C、O在AB的垂直平分线上，
∴CM⊥AB，AM＝MB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝a，
∴OC＝OA＝a，
∵M是AB中点，
∴OM＝AB＝a，
∴CM＝OC+OM＝a，
∴△CAB的面积＝AB•CM＝a2，
∴S的最大值是a2．
故答案为：a2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，关键是明白当C是中点时，△ACM的面积最大，求出OC，OM的长即可解决问题．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）化简，圆圆的解答过程如下：
解：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：圆圆的解答不正确．
原式＝﹣﹣
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 60 ．
（2）扇形统计图中，求厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得m的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案为：100，60；
（2）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°；
（3）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【点评】本题考查勾股定理，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答是解题关键．
20．（8分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）把点P（m，n）代入一次函数y＝2x+3的解析式中，可得到n＝2m+3，代入（n﹣4）（m+2）﹣mn即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（2，7），B（﹣1，1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+3；
（2）∵点P（m，n）在该一次函数图象上，
∴n＝2m+3，
∴（n﹣4）（m+2）﹣mn
＝（2m﹣1）（m+2）﹣m（2m+3）
＝2m2+3m﹣2﹣2m2﹣3m
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q．
（1）求证：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圆的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠CAD，则可得出结论；
（2）设DQ＝x，则AQ＝3x，AD＝4x，求出BD＝2x，由等腰三角形的性质求出CD＝2x，则可求出答案；
（3）先确定出点Q是△ABC的外接圆的圆心，再用锐角三角函数求AQ，即可球场答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DA⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∠C＝∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADB＝∠QDB，
∴△BDQ∽△ADB；
（2）解：设DQ＝x，则AQ＝3x，AD＝4x，
由（1）知，△BDQ∽△ADB，
∴，
∴DB2＝DQ•DA，
∴BD＝2x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2x，
在Rt△ACD中，tanC＝＝2；
（3）如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AD，BE是等边△ABC的高，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点Q是等边△ABC的外接圆的圆心，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABE，
∴AQ＝BQ，
在Rt△ABE中，BE＝6，
∴AE＝BE•tan∠BAE＝6×tan30°＝2，
在Rt△AEQ中，AQ＝＝＝4，
∴S△ABC的外接圆＝π•AQ2＝π×42＝16π，
即△ABC外接圆的面积为16π．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
【分析】（1）①由题意，将已知两点代入表达式分别求出a和b即可得解．
②依据题意，把A，B两点代入①所求解析式，然后两式相减，再适当变形可得x1+x2的值，再代入①的表达式式即可求出t．
（2）由题意可得a＜0，，再由过点（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3），
∴．
∴．
∴所求二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
②由题意，∵A、B在抛物线上，
∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．
上述两式相减得，
﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．
显然A、B是两个点，
∴x1≠x2．
∴x1﹣x2≠0．
∴x1+x2＝2．
∴s＝2．
又C（s，t）是抛物线上的点，
∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．
即t＝﹣3．
（2）由题意，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
∴a＜0，．
∴b≤0．
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a过点（1，3），
∴b＝2a+3≤0．
∴a≤．
又a＜b，
∴a＜2a+3．
∴a＞﹣3．
∵a≤，
∴﹣3＜a≤．
又4a+b＝6a+3，
∴﹣15＜6a+3≤﹣6．
∴﹣15＜4a+b≤﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，需要熟练掌握并灵活运用．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足为G，过点C作CH∥AF，分别交DE，AD于点H，P点．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如图2，连接CG，若tanα＝k，设△PHD和△CGH的面积分别为S1，S2．请用含k的代数式表示的值．
【分析】（1）根据正方形的性质得到全等，再依据全等三角形的判定可以得到线段相等；
（2）先根据正方形得到平行，再利用平行线分线段成比例得到结论；
（3）根据正方形的性质即可求得相似三角形，再根据相似比可以得到线段的关系进而得出面积的关系即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AF，∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADE＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，AD∥BC，
又∵CH∥AF，
∴四边形AFCP是平行四边形，
∴，
∵AP＝FC，DP＝BF，AE＝BF，
∴DP＝AE，
令AD＝kAE，
∴AD＝kDP，
∵AP＝AD﹣DP＝（k﹣1）DP，
∴﹣1，
∵tanα＝＝2，
即k＝2，
∴＝2﹣1＝1；
（3）解：由（2）知，，
∵∠DPH＝∠CDH＝∠AED＝α，tanα＝k，
∴，
∴PH＝，CH＝DH•k，
∴＝＝k2，
∴＝＝＝（k﹣1）k2＝k3﹣k2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）2022年9月10日至25日第19届亚运会将在杭州举办，可容纳8万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为210000平方米，其中数字210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，则∠3的度数是（ ）
A．56° B．60° C．70° D．72°
4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
5．（3分）已知﹣x＞2，则下列不等式正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
6．（3分）方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（ ）
A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
7．（3分）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B纵坐标为﹣1，则k1，k2的值是（ ）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝ ．
12．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则此扇形的面积是 ．（结果保留π）
13．（4分）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ．
14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ．
15．（4分）若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于圆O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）当∠ABC＝60°时，线段BC长为 .（用字母a表示）
（2）设△ABC的面积为S，则S的最大值为 ．（用字母a表示）
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）化简，圆圆的解答过程如下：
解：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
18．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）扇形统计图中，求厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
20．（8分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q．
（1）求证：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圆的面积．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足为G，过点C作CH∥AF，分别交DE，AD于点H，P点．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如图2，连接CG，若tanα＝k，设△PHD和△CGH的面积分别为S1，S2．请用含k的代数式表示的值．
2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】运用相反数定义—实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：由相反数的定义可得，﹣的相反数是，
故选：A．
【点评】此题考查了实数相反数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．（3分）2022年9月10日至25日第19届亚运会将在杭州举办，可容纳8万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为210000平方米，其中数字210000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：210000＝2.1×105，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，则∠3的度数是（ ）
A．56° B．60° C．70° D．72°
【分析】由平行线的性质可得∠4＝∠2，∠1＝∠ABC，从而可求∠3．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝112°，∠2＝42°，
∴∠4＝∠2＝42°，∠ABC＝∠1＝112°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．（3分）已知﹣x＞2，则下列不等式正确的是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由﹣x＞2，可得x＜﹣2．
【解答】解：∵﹣x＞2，
∴x＜﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（ ）
A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
【分析】由购买数量间的关系，可得出方方同学购买了（20﹣x）支彩色水笔，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵方方同学购买笔记本和彩色水笔共20件，且购买了x本笔记本，
∴购买了（20﹣x）支彩色水笔．
根据题意得：2（20﹣x）+4x＝50．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B纵坐标为﹣1，则k1，k2的值是（ ）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
【分析】根据正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，可以得出关于k1和k2的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的．
【解答】∵正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，
∴，
化简，得，
解方程组得或，
∵点A在第二象限，横坐标为﹣2，另一交点B的纵坐标为﹣1，
∴k1＜0，k2＜0，
∴，
故选项C正确；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出k1和k2的关系．
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和x1的取值范围，再根据当自变量为x1−2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，即可得到y2，y和y3大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
∴该函数图象开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），
∵当自变量为x1时，其函数值y1大于零，
∴1＜x1＜3，
∴﹣1＜x1﹣2＜1，3＜x1+2＞5，
∴横坐标为x1﹣2的点在（1，0）左侧，此点对应的纵坐标小于零，
横坐标为x1+2的点在（3，0）右侧，此点对应的纵坐标小于零，
∵当自变量为x1﹣2与x1+2时，其函数值分别为y2，y3，
∴y2＜0，y3＜0，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
【分析】作DH⊥BC于H，如图，根据旋转的性质得DE＝DC，则利用等腰三角形的性质得EH＝CH，由可得BE＝2yEH＝2yCH，再根据平行线分线段成比例，由DH∥AC得到，所以x＝，然后用等线段代换后约分即可．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边BC上的点E处，
∴DE＝DC，
∴EH＝CH，
∵，即BE＝yEC，
∴BE＝2yEH＝2yCH，
∵∠C＝90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴，即x＝＝＝2y+1．即x﹣2y＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
【解答】解：tan60°的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则此扇形的面积是 15π ．（结果保留π）
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：扇形的面积＝＝15π，
故答案为：15π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．
13．（4分）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则P＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ 50° ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AED＝100°，
∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
15．（4分）若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围 x≤﹣9或x＞0 ．
【分析】首先画出图形，进而利用函数图象得出x的取值范围．
【解答】解：如图所示：
∵反比例函数y＝﹣，当y≤，
∴y＝时，则x＝﹣9，
故y≤时，x≤﹣9或x＞0．
故答案为：x≤﹣9或x＞0．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确画出函数图象是解题关键．
16．（4分）如图，△ABC内接于圆O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）当∠ABC＝60°时，线段BC长为 a .（用字母a表示）
（2）设△ABC的面积为S，则S的最大值为 a2 ．（用字母a表示）
【分析】（1）如图①，作AH⊥BC于H，由直角三角形的性质求出BH，AH的长，即可解决问题；
（2）当C是中点时，△ACM的面积最大，连接OA，OB，CO，延长CO交AB于M，可以证明CM⊥AB，由直角三角形的性质求出OM的长，OA的长得到CM的长，即可求出S的最大值．
【解答】解：（1）如图①，作AH⊥BC于H，
∵∠ABC＝60°，
∴BH＝AB＝a，
∴AH＝BH＝a，
∵∠BCA＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝a，
∴BC＝CH+BH＝a．
故答案为：a．
（2）如图②，当C是中点时，△ACM的面积最大，
连接OA，OB，CO，延长CO交AB于M，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴C、O在AB的垂直平分线上，
∴CM⊥AB，AM＝MB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝a，
∴OC＝OA＝a，
∵M是AB中点，
∴OM＝AB＝a，
∴CM＝OC+OM＝a，
∴△CAB的面积＝AB•CM＝a2，
∴S的最大值是a2．
故答案为：a2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，关键是明白当C是中点时，△ACM的面积最大，求出OC，OM的长即可解决问题．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）化简，圆圆的解答过程如下：
解：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：圆圆的解答不正确．
原式＝﹣﹣
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 60 ．
（2）扇形统计图中，求厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得m的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案为：100，60；
（2）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°；
（3）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【点评】本题考查勾股定理，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答是解题关键．
20．（8分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）把点P（m，n）代入一次函数y＝2x+3的解析式中，可得到n＝2m+3，代入（n﹣4）（m+2）﹣mn即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（2，7），B（﹣1，1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+3；
（2）∵点P（m，n）在该一次函数图象上，
∴n＝2m+3，
∴（n﹣4）（m+2）﹣mn
＝（2m﹣1）（m+2）﹣m（2m+3）
＝2m2+3m﹣2﹣2m2﹣3m
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q．
（1）求证：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圆的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠CAD，则可得出结论；
（2）设DQ＝x，则AQ＝3x，AD＝4x，求出BD＝2x，由等腰三角形的性质求出CD＝2x，则可求出答案；
（3）先确定出点Q是△ABC的外接圆的圆心，再用锐角三角函数求AQ，即可球场答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DA⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∠C＝∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADB＝∠QDB，
∴△BDQ∽△ADB；
（2）解：设DQ＝x，则AQ＝3x，AD＝4x，
由（1）知，△BDQ∽△ADB，
∴，
∴DB2＝DQ•DA，
∴BD＝2x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2x，
在Rt△ACD中，tanC＝＝2；
（3）如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AD，BE是等边△ABC的高，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点Q是等边△ABC的外接圆的圆心，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABE，
∴AQ＝BQ，
在Rt△ABE中，BE＝6，
∴AE＝BE•tan∠BAE＝6×tan30°＝2，
在Rt△AEQ中，AQ＝＝＝4，
∴S△ABC的外接圆＝π•AQ2＝π×42＝16π，
即△ABC外接圆的面积为16π．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
【分析】（1）①由题意，将已知两点代入表达式分别求出a和b即可得解．
②依据题意，把A，B两点代入①所求解析式，然后两式相减，再适当变形可得x1+x2的值，再代入①的表达式式即可求出t．
（2）由题意可得a＜0，，再由过点（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3），
∴．
∴．
∴所求二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
②由题意，∵A、B在抛物线上，
∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．
上述两式相减得，
﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．
显然A、B是两个点，
∴x1≠x2．
∴x1﹣x2≠0．
∴x1+x2＝2．
∴s＝2．
又C（s，t）是抛物线上的点，
∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．
即t＝﹣3．
（2）由题意，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
∴a＜0，．
∴b≤0．
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a过点（1，3），
∴b＝2a+3≤0．
∴a≤．
又a＜b，
∴a＜2a+3．
∴a＞﹣3．
∵a≤，
∴﹣3＜a≤．
又4a+b＝6a+3，
∴﹣15＜6a+3≤﹣6．
∴﹣15＜4a+b≤﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，需要熟练掌握并灵活运用．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足为G，过点C作CH∥AF，分别交DE，AD于点H，P点．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如图2，连接CG，若tanα＝k，设△PHD和△CGH的面积分别为S1，S2．请用含k的代数式表示的值．
【分析】（1）根据正方形的性质得到全等，再依据全等三角形的判定可以得到线段相等；
（2）先根据正方形得到平行，再利用平行线分线段成比例得到结论；
（3）根据正方形的性质即可求得相似三角形，再根据相似比可以得到线段的关系进而得出面积的关系即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AF，∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADE＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，AD∥BC，
又∵CH∥AF，
∴四边形AFCP是平行四边形，
∴，
∵AP＝FC，DP＝BF，AE＝BF，
∴DP＝AE，
令AD＝kAE，
∴AD＝kDP，
∵AP＝AD﹣DP＝（k﹣1）DP，
∴﹣1，
∵tanα＝＝2，
即k＝2，
∴＝2﹣1＝1；
（3）解：由（2）知，，
∵∠DPH＝∠CDH＝∠AED＝α，tanα＝k，
∴，
∴PH＝，CH＝DH•k，
∴＝＝k2，
∴＝＝＝（k﹣1）k2＝k3﹣k2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
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