2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日至日第届亚运会将在杭州举办，可容纳万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为平方米，其中数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，是的中线，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方方同学用元钱去购买笔记本和彩色水笔共件，已知每本笔记本元，每支彩色水笔元，设方方同学买了本笔记本，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点纵坐标为，则，的值是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，在中，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，设，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为与时，其函数值分别为，，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处如果，那么与满足的关系式是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______．

12.  已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积是______结果保留

13.  学校组织秋游，安排给九年级辆车，小明和小慧都可以从这辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为______．

14.  如图，已知是的直径，弦与交于点，若，，则 ______ ．

15.  若反比例函数，当，且时自变量的取值范围______ ．

16.  如图，内接于圆，，．
当时，线段长为______ 用字母表示
设的面积为，则的最大值为______ 用字母表示

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简，圆圆的解答过程如下：
解：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

18.  本小题分
某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类现随机抽取该市吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ．
扇形统计图中，求厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
根据抽样调查的结果，请你估计该市吨垃圾中约有多少吨可回收物．

19.  本小题分
已知，如图，在中，，平分交于，过作交于．
求证：；
如果，，求的长．

20.  本小题分
设一次函数为常数，且，图象过，．
求该一次函数的表达式：
若点在该一次函数图象上，求代数式的值．

21.  本小题分
已知中，，为锐角，、是的两条高，与交于点．
求证：∽；
如果，求的正切值；
如果，，求外接圆的面积．

22.  本小题分
已知二次函数是实数，．
若该函数图象经过点，．
求该二次函数表达式；
若，，是抛物线上的点，且，求的值；
若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在正方形中，点，分别在，边上，，，垂足为，过点作，分别交，于点，点．
求证：；
若，求的值；
如图，连接，若，设和的面积分别为，请用含的代数式表示的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由相反数的定义可得，的相反数是，
故选：．
运用相反数定义实数的相反数是进行求解．
此题考查了实数相反数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，，
．
故选：．
由平行线的性质可得，，从而可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的中线，
，
故选：．
根据三角形的中线的定义即可判断．
本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，由，可得．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：方方同学购买笔记本和彩色水笔共件，且购买了本笔记本，
购买了支彩色水笔．
根据题意得：．
故选：．
由购买数量间的关系，可得出方方同学购买了支彩色水笔，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为，
，
化简，得，
解方程组得或，
点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为，
，，
，
故选项C正确；
故选：．
根据正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为，可以得出关于和的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出和的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，，
，
在中，

，
，
，
在中，

．
故选：．
先根据等腰三角形的性质，用的代数式表示在三角形中，用和的代数式表示，最后在等腰三角形中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于，即可表示出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向下，与轴交于，，
当自变量为时，其函数值大于零，
，
，，
横坐标为的点在左侧，此点对应的纵坐标小于零，
横坐标为的点在右侧，此点对应的纵坐标小于零，
当自变量为与时，其函数值分别为，，
，，
故选：．
根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和的取值范围，再根据当自变量为与时，其函数值分别为，，即可得到，和大小关系，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处，
，
，
，即，
，
，
，
∽，
，即即．
故选：．
作于，如图，根据旋转的性质得，则利用等腰三角形的性质得，由可得，再根据平行线分线段成比例，由得到，所以，然后用等线段代换后约分即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：的值为．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：扇形的面积，
故答案为：．
把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：列表如下三辆车分别用，，表示：

所有等可能的情况有种，其中小明和小慧同车的情况有种，
则．
故答案为：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于”是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图所示：
反比例函数，当，
时，则，
故时，或．
故答案为：或．
首先画出图形，进而利用函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确画出函数图象是解题关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，作于，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，

故答案为：
如图，当是中点时，的面积最大，
连接，，，延长交于，
，，
、在的垂直平分线上，
，，
，

是等腰直角三角形，
，
，
是中点，
，
，
的面积，
的最大值是．
故答案为：．
如图，作于，由直角三角形的性质求出，的长，即可解决问题；
当是中点时，的面积最大，连接，，，延长交于，可以证明，由直角三角形的性质求出的长，的长得到的长，即可求出的最大值．
本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，关键是明白当是中点时，的面积最大，求出，的长即可解决问题．
 

17.【答案】解：圆圆的解答不正确．
原式

． 

【解析】直接利用分式的加减运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，；

扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：；

吨，
即该市吨垃圾中约有吨可回收物．
根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到的值；
根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
根据统计图中的数据，可以计算出该市吨垃圾中约有多少吨可回收物．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：，
，
平分，
，
．
；
解：过点作于．

，，，
在中，由勾股定理得 ，
即，
取正解，，
平分，，
，
在和中，

≌，
，
在中，由勾股定理得 ，
设，则，，
，
，
． 

【解析】本题考查勾股定理和等腰三角形的判定以及角平分线的性质，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答是解题关键．
根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
过点作于，根据勾股定理求出长，由角平分线性质可求出长，再利用证明≌，即可求出长，最后在中，利用勾股定理解答即可．
 

20.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
一次函数解析式为；
点在该一次函数图象上，
，



． 

【解析】把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可；
把点代入一次函数的解析式中，可得到，代入即可得到答案．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式．
 

21.【答案】证明：，，
，
，，，
，
，
，
∽；

解：设，则，，
由知，∽，
，
，
，
，，
，
在中，；

如图，

，，
是等边三角形，
，
，是等边的高，
垂直平分，垂直平分，
点是等边的外接圆的圆心，
，是的高，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即外接圆的面积为． 

【解析】由等腰三角形的性质得出，则可得出结论；
设，则，，求出，由等腰三角形的性质求出，则可求出答案；
先确定出点是的外接圆的圆心，再用锐角三角函数求，即可球场答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意，图象经过点，，
．
．
所求二次函数的表达式为：．
由题意，、在抛物线上，
，．
上述两式相减得，
．
．
显然、是两个点，
．
．
．
．
又是抛物线上的点，
．
即．
由题意，
二次函数满足当时，总有随的增大而减小，
，．
．
二次函数过点，
．
．
又，
．
．
，
．
又，
．
． 

【解析】由题意，将已知两点代入表达式分别求出和即可得解．
依据题意，把，两点代入所求解析式，然后两式相减，再适当变形可得的值，再代入的表达式式即可求出．
由题意可得，，再由过点可得，可得，又，故可得解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，需要熟练掌握并灵活运用．
 

23.【答案】证明：，，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
；
解：在正方形中，，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
令，
，
，
，
，
即，
；
解：由知，，
，
，，
，
，，
，
． 

【解析】根据正方形的性质得到全等，再依据全等三角形的判定可以得到线段相等；
先根据正方形得到平行，再利用平行线分线段成比例得到结论；
根据正方形的性质即可求得相似三角形，再根据相似比可以得到线段的关系进而得出面积的关系即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．