2024年浙江省杭州市初中学业水平考试数学模拟练习卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．我国自主研发的“北斗系统”在卫星导航、通信、遥感等多项核心技术方面取得了突破，已经在国民经济和国防建设等多个领域得到了广泛的应用．2023年2月，北斗终端数量在交通运输营运车辆领域超过8000000台．将8000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：8000000用科学记数法表示应为．
故选：B．
2．（ ）
A．B．C．1D．17
【答案】C
【分析】先计算乘方，再计算加法即可．
【详解】解：
故选：C．
3．已知，请计算代数式的值为（ ）
A．2022B．2023C．﹣4044D．﹣4045
【答案】D
【分析】先对因式分解，然后再将代入计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：D．
4．如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）

A． B． C．D．
【答案】D
【分析】由数轴可得，，再根据有理数的加减运算法则以及不等式的性质，逐个判断即可．
【详解】解：由数轴可得，，
A、∵，，∴，则A不符合题意；
B、∵，∴，则B不符合题意；
C、∵，∴，则C不符合题意；
D、∵，∴，则D符合题意；
故选：D．
5. 某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 70分，80分B. 70分，75分C. 60分，80分D. 70分，85分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：由表可知，70分出现次数最多，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故选：B
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，
将线段平移至，那么的值为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，
∴，，
∴，
故选：A．
7．如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解．
【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接，
则，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：B．
8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）

A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，
与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3B．0或7C．3或4D．4或7
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y的最小值为．
当时，在中，y随x的增大而增大，
∴，
解得：，（舍去）；
当时，y的最小值为，舍去；
当时，在中，y随x的增大而减小，
∴，
解得：（舍去），．
∴m的值为0或7．
故选：B．
10 . 如图，在正方形中，为中点，连结，延长至点，使得，
以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．
现连结并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，
则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积的面积，可得的面积的面积，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，

设，
为中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积的面积，
的面积的面积）的面积的面积），
的面积的面积，
，
，
解得：或（舍去），
，
故选：C．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】首先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．如图，直线，现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，则的度数为 ．

【答案】/70度
【分析】延长交直线n于点D，根据三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：延长交直线n于点D，

∵是的一个外角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．
现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为，则袋中白球的个数是 ．
【答案】8
【分析】设袋中白球的个数为x个，利用概率白球数量球的总数量，列方程即可解答．
【详解】解：设袋中白球的个数为x个，
根据概率白球数量球的总数量，可得方程，
解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：8．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 . 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
如图，在中，，点分别在边，上，
连接，已知点和点关于直线对称．设，
若，则_________（结果用含的代数式表示）．

【答案】
【解析】
【分析】先根据轴对称性质和已知条件证明，
再证，推出，通过证明，
推出，即可求出的值．
【详解】解： 点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，
使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②或③，②，；③，
【分析】当，，时，，有两个相等的实根；
当，时，，没有实根，②组或③方程有实数根，代入，再解方程即可．
【详解】解：可以选②组或③组．
当，，时，，有两个相等的实根，故①不能选；
当，，时，，有两个不相等的实根，故②可以；
，，，；
当，，时，，有两个不相等的实根，故③可以；
，，，．
当，时，，没有实根，故④不能选．
某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
19．如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，
由DF∥BE，得，即可证明，得，
则四边形是平行四边形；
（2）作交的延长线于点G，因为，所以，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：作交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积是24．
20 .如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)点为轴上一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小；
(3)利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入即可求出，把代入即可求出得到，
把，代入即可求得一次函数解析式；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长度就是的最小值，
求出直线与轴的交点即为点的坐标；
（3）由函数的图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
反比例函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
由轴对称的性质可得：，，则的长度就是的最小值，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
；
（3）解：观察图象可得：
关于的不等式的解集为：或．
21. 在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．

（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设，则，，在中，利用勾股定理求解．
【小问1详解】
解：由题知，，
若，则．
四边形是正方形，
，
又，
，
，
即，
．
小问2详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：设，
则，．
在中，，
即，
解得．
．
设二次函数，（，是实数）．
已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入，得
，解得：，
∴．
【小问2详解】
解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
【小问3详解】
解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
23．已知：四边形内接于，对角线交于点E，且．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若为的直径．
①求证：；
②已知，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)①详见解析；②
【分析】（1）根据垂径定理得到，
由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得到，即可得到结论；
（2）①由为的直径得到，
由（1）可知，则是等腰直角三角形，
则，，证明，
则，即，则，即可得到结论；
②解：由①知，求出，
则，，证明，
则，由，解得或（不合题意，舍去），
由得到，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）①证明：∵为的直径，
∴，
由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则；
②解：由①知，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
又∵，
即，
解得．
24．（1）问题提出：如图1，正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，有，则________；
（2）如图2，平行四边形中，，，点、分别在边、上，
连接与交于点，当时，你能求出的比值吗？请写出求比值的过程；
问题解决：如图3，四边形，，，，，
点在边上，连接与交于点，当时，求的值．

【答案】（1）1；（2），过程见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得到，
再证明，即可利用证明得到，则；
先证明，得到，
由平行四边形的性质得到，，
进一步证明，得到，则，即可得到；
如图所示，过点D作交延长线于N，
过点A作交延长线于M，
则四边形是平行四边形，，，，
同（2）可得，在上取一点P使得，
连接，证明是等边三角形，得到，
再证明，得到，
设，则，，，
即可得到，解得，则，
即可得到．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2），过程如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点D作交延长线于N，
过点A作交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
在上取一点P使得，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数
5
15
9
6
5
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…