期中考试仿真模拟试卷03-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份期中考试仿真模拟试卷03-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．给出下列判断，其中正确的是（ ）
A. 三点确定唯一一个平面
B. 空间中两两相交的三条直线在同一个平面内
C. 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行
D. 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3．在中，，，的面积为，则为（ ）
A. B. C. D.
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知圆锥底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6．在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
A 6B. C. 8D.
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A. 4B. C. 2D.
8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A. 点位于虚轴上B.
C. D.
10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为直角三角形
11．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A. 设，，若，则，
B. 设，则
C. 设，，若，则
D. 设，，若与的夹角为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．
14.在中，点满足，若，则_________
15. 轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcne)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为________________．
16．如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设是虚数，是实数，且．
（1）求的值；
（2）求的实部的取值范围．
18．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c．若，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
19．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
20．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
21．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.
（1）设，求的值；
（2）若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）若为锐角三角形，且，求a的取值范围；
（2）若点D在边上，且，，求面积的最大值．
期中考试仿真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列判断，其中正确的是（ ）
A. 三点确定唯一一个平面
B. 空间中两两相交的三条直线在同一个平面内
C. 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行
D. 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
【答案】C
【解析】A，过不在一条直线上的三点才可确定唯一一个平面，故A错误；
B，空间两两相交的三条直线可能交于同一个点，此时这三条直线不一定在同一个平面内，故B错误；
C，根据平面的性质，过直线外一点和该直线有且仅有一个平面，在该平面内作和已知直线平行的直线是唯一的，故C正确；
D，过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故D错误，
故选：C
2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，故，故复数的虚部为，
故选:B．
3．在中，，，的面积为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，
因为，，的面积为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
故选：B.
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，
故选:A.
5．已知圆锥底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：
由相似可得，，所以，，即圆柱的全面积为
，当且仅当时取等号．
故选：B．
6．在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
A 6B. C. 8D.
【答案】B
【解析】因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，
由可得，，即，同理可得，
，所以．
故选：B．
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，由余弦定理得：，解得，
所以，
所以的面积为
故选：D
8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
将与同时展平形成一个四边形，如图，
则此时对角线达到最小，
在等腰直角三角形中，，，
在中，，，，所以，即，
对于展开形成的四边形，在中，，，，
由余弦定理有．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A. 点位于虚轴上B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由复数的几何意义可知点、，
因为，则，则点对应的复数为，所以点在虚轴上，A对；
对于B选项，由A选项可知，则，B对；
对于C选项，，，所以，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：ABC.
10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为直角三角形
【答案】ABD
【解析】在中，正弦定理，
对于A，，A正确；
对于B，由射影定理得，又，即，
而，则，，为直角三角形，B正确；
对于C，由正弦定理可得，即，
而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，，由射影定理得，
即，而，则，，为直角三角形，D正确.
故选：ABD
11．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以，
当时（如图1），，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
当时（如图2），
过点作的平行线交于，
此时平面截正方体所得的截面为四边形，
当时，
过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，
综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.
故选：BC.
12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A. 设，，若，则，
B. 设，则
C. 设，，若，则
D. 设，，若与的夹角为，则
【答案】AC
【解析】，
对于A：即，则，
A正确；
对于B：
即
B错误；
对于C：若，
当即时，显然满足：；
当即或时，则，使得，
即
则可得，消去得：；
C正确；
对于D：结合可A、B知：若，
则，，
根据题意得：
即，可得：即
D不正确；
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．
【答案】6
【解析】复数对应点的坐标为，若点在虚轴上，则，解得．
故答案：6.
14.在中，点满足，若，则_________
【答案】
【解析】
因为，，所以，，
所以
，
所以，所以，
故答案为：.
15. 轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcne)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为________________．
【答案】
【解析】设为该等边圆锥的底面圆心，则其的高为
则该等边圆锥的内切球的圆心在等边圆锥的高上，设为,设半径为
设该等边圆锥内切球与等边圆锥的母线相切与点,连接
则在直角中，,则
解得
由题意正四面体在该圆锥内可以任意转动，当最大值时，正四面体为该球的内接正四面体.
将该球的内接正四面体补成正方体，则该正方体的外接球也是该球.
设正方体的棱长为，则正方体的对角线长等于球的直径，即
所以，则该正四面体的棱长为正方体的面对角线，即该正四面体的棱长为
故答案为：
16．如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．
【答案】 ①. ； ②. ##
【解析】（1）因为是等腰直角三角形，
又，所以，
所以.
因为，所以,
在△中，由正弦定理得,
在△中，由余弦定理得.
（2）设
所以,
在△中，由正弦定理得.
同理.
所以
，
因为，
所以当即时，取最小值.
所以,
所以的最大值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设是虚数，是实数，且．
（1）求的值；
（2）求的实部的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
则
∵z2是实数，且，
∴，得，∴.
(2)由(1)知，则，即，
∴z1的实部取值范围为.
18．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c．若，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
由及正弦定理，
得，整理得，
所以由余弦定理得.
又，所以.
（2）设外接圆半径为R，
由，，，，
可得，所以，
所以，所以.
由正弦定理，得，则.
因为，所以，所以，
所以是以B为直角的直角三角形，
所以的面积为.
19．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设边上的中点为E．连接，
又面面,面面，则平面，
即为四棱锥的高，．
所以四棱锥的体积．
（2）由题意得，，，
从而，所以，
所以，
所以
所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．
20．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）方案一：选条件①，
由题意可得，
.
为的平分线，，
，
即
又，
，即，
，
方案二：选条件②
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得
方案三：选条件③
由正弦定理得，
又，
，
，
易知，
；
（2）
，
又，，
所以.
21．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.
（1）设，求的值；
（2）若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.
【答案】（1）-3 （2）12
【解析】（1）由题意得：两个正六边形全等， ,
则,
故由，可得 ；
（2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系，
则,则 ,
由于直线OD的方程为 ，故设P点坐标为 ，
则 ，
所以，
则，
由于，此时函数为增函数，
故当时，取到最大值为144，
所以的最大值为12.
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）若为锐角三角形，且，求a的取值范围；
（2）若点D在边上，且，，求面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意知，
由正弦定理可得，，即，
，，
∵为锐角三角形，∴，∴，
即，所以，故，
（2）在中，，，
，
在中，，，
，
∵，所以，
所以，即，
又因为，所以，
即（当且仅当时取等号），
，所以面积的最大值．