期中考试仿真模拟试卷05-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份期中考试仿真模拟试卷05-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若纯虚数满足，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
2．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解B. 一解
C. 两解D. 解的个数不确定
3．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．平面中两个向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 2B. C. D. -2
5．圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A. B. C. D.
6．在锐角△ABC中，∠C为最大角，且，则实数k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7．已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）
A. B. C. 3D.
8．已知分别为的边上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 为纯虚数
C. 的共轭复数为
D. 已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则符合条件的三角形不存在
D. 若，则一定是等腰三角形
11．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（ ）
A. 平面与棱的交点是的三等分点
B. 平面与棱的交点是的中点
C. 平面与棱的交点是的三等分点
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为
12．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. ，有
D. 若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.
14.如图，地平面上有一根旗杆，为了测得它高度，在地面上取一基线，，在处测得点的仰角，在处测得点的仰角，又测得，则旗杆的高度是________.
15. 复数、满足，，若，则的取值范围是______.
16．如图正四棱柱中，，，以为球心，为半径的球与侧面的交线为，点为交线上一动点，则从运动到时，所形成的曲面面积为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
18．已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
（1）求；
（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．
19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的边长均为，E，F分别是线段AC1和BB1的中点．
（1）求证：EF平面ABC；
（2）求三棱锥C﹣ABE体积．
20．在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
21．江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度．某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当米时，求的长；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值．
22．从①②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.
在中，分别是角的对边，若__________.
（1）求角的大小：
（2）若是的中点，，求面积的最大值.
（3）若为的外接圆圆心，且，求实数的值.
期中考试仿真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若纯虚数满足，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，则，解得，
故选：D.
2．在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解B. 一解
C. 两解D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解．
故选：C
3．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积.
故选：C.
4．平面中两个向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 2B. C. D. -2
【答案】B
【解析】由题意得：，
故在方向上的投影向量为 ，
故选：B
5．圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知：，所以
在中，，
在中，由正弦定理得 所以 ，
在中，
故选：D
6．在锐角△ABC中，∠C为最大角，且，则实数k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
所以由正弦定理可得，
因为∠C为最大角，所以为最大边，
所以有，
因为△ABC是锐角三角形，且∠C为最大角，
所以，
因此，
故选：A
7．已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】设球的半径为，由球的体积为可得，，解得．
因为三棱锥的高为1，所以球心在三棱锥外．
如图，设点为的外心，则平面．
在△中，由，且，得．
因为为等边三角形，所以，
所以．
故选：．
8．已知分别为的边上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
，所以，
，
又，，三点共线，所以，
化简得到，，当且仅当时取等号 ，
故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 为纯虚数
C. 的共轭复数为
D. 已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称
【答案】ABC
【解析】A选项：，故A正确；
B选项：， 为纯虚数，故B正确；
C选项：， 的共轭复数为，故C正确．
D 选项：，，
所以 与 实部相等，虚部互为相反数，
故复数， 在复平面内的对应点关于实部对称，故D 错误．
故选：ABC．
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则符合条件的三角形不存在
D. 若，则一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；
若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；
若，，，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确；
若，则，即,因为,所以或，即或，
所以为等腰或直角三角形，故D错误.
故选：AC
11．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（ ）
A. 平面与棱的交点是的三等分点
B. 平面与棱的交点是的中点
C. 平面与棱的交点是的三等分点
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为
【答案】ACD
【解析】如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，，
连接并延长交于点，连接，，则四边形就是平面与正方体的截面，
是平面的中心，是中点，，则，
可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，
点是线段靠近点的三等分点，故A正确，B错误，C正确；
作出线段的另一个三等分点，作出线段靠近的三等分点，连接，，，，
可知．
，
从而平面将正方体分成两部分的体积比为，
故D正确．
故选：ACD．
12．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. ，有
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，，
所以，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以
又，则由
得，解得，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.
【答案】
【解析】设，
因为和分别是边和的中点，可得,
又因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：.
14.如图，地平面上有一根旗杆，为了测得它高度，在地面上取一基线，，在处测得点的仰角，在处测得点的仰角，又测得，则旗杆的高度是________.
【答案】
【解析】在中，；在中，；
在中，由余弦定理得：，
即，，即旗杆的高度是.
故答案为：.
15. 复数、满足，，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，则，
所以，，
，故.
故答案为：.
16．如图正四棱柱中，，，以为球心，为半径的球与侧面的交线为，点为交线上一动点，则从运动到时，所形成的曲面面积为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，以为球心，为半径的球与侧面的交线为，
那么交线是一段圆弧，即平面截球所得的截面圆上的一段弧，
由于平面,该截面圆的圆心是点C，截面圆的半径等于 ，
故从运动到时，所形成的曲面是绕DC旋转形成的圆锥的侧面的一部分，该圆锥的母线长等于，
由于 , , ,
所以 , 而 ,
故 是正三角形，则 ,
所以所形成的曲面面积为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）由题可得，
，所以；
（2），
设和的夹角为，
所以.
18．已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
（1）求；
（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，
有，因的虚部为2，即，解得，，
所以.
（2）由(1)知，，，，则点，
，，因此，，
所以.
19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的边长均为，E，F分别是线段AC1和BB1的中点．
（1）求证：EF平面ABC；
（2）求三棱锥C﹣ABE体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【解析】（1）证明：取AC的中点为G，连结GE，GB，
在△ACC1中，EG为中位线，所以EGCC1，，
又因为CC1BB1，CC1＝BB1，F为BB1中点，
所以EGBF，EG＝BF，
所以四边形EFBG为平行四边形，
所以EFGB，又EF平面ABC，GB平面ABC，
所以EF平面ABC．
（2）因为E为AC1的中点，
所以E到底面ABC的距离是C1到底面ABC的距离的一半，
即三棱锥E﹣ABC的高h＝CC1＝，
又△ABC的面积为，
所以．
20．在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）（1）因为，
所以以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系如下图：
因为，
所以．
又因为对角线交于点，
所以由得，即，
因此，
而，所以，解得，
因此．
又因为点在上，所以设，
因此，
而，所以，
解得，即，
因此，而，
所以，
即的值为；
（2）因为线段上任意一点，
所以由（1）知：可设（包括端点），
因此，
所以．
因为函数的图象开口上，对称轴为，
而，
所以函数的值域为，
即的取值范围是．
21．江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度．某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当米时，求的长；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值．
【答案】（1）长为80米 （2）平方米
【解析】（1）扇形的半径，
因为圆心角为，所以，又，
在中，由余弦定理可得，，
即
解得或（舍去），
所以的长为80米.
（2）因为，，
在中，由正弦定理可得，，
所以，
所以的面积为，

故当，即时，的面积最大为平方米，
所以此时种植郁金香的最大面积是平方米
22．从①②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.
在中，分别是角的对边，若__________.
（1）求角的大小：
（2）若是的中点，，求面积的最大值.
（3）若为的外接圆圆心，且，求实数的值.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）选条件①时，，
根据正弦定理：，
所以，
由于，
所以．
选条件②时，，
利用正弦定理，
即
即，因为，所以，
所以，
由于，
所以．
（2）依题意，所以，
即，所以，即，当且仅当时取等号，
所以当且仅当时取等号，
所以当且仅当时取等号，
即；
（3）取的中点，则，
代入，得，，
，
，
，
，
由，化简可得，，
；